2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽自我挑戰(zhàn)試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知非零實數(shù)(a,b)滿足(a^2+4b^2=4ab)，則(\left(\frac{a}\right)^{2025})的值為（）A.(2^{2025})B.1C.(-1)D.(2^{-2025})若關(guān)于(x)的方程(x^2+(m+2)x+m+5=0)的兩根均為正數(shù)，則(m)的取值范圍是（）A.(m\leq-4)B.(m\leq-4)且(m\neq-2)C.(-5<m\leq-4)D.(m>-5)如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(D)在邊(AC)上，且(BD=BA)，則(CD)的長度為（）A.(\frac{7}{5})B.(\frac{8}{5})C.(\frac{9}{5})D.2已知(a,b,c)為正整數(shù)，且(a+b+c=2025)，(a^2+b^2=c^2)，則(abc)的最大值為（）A.(2025^3)B.(2025\times1012\times1013)C.(2025\times674\times1351)D.以上均不正確若函數(shù)(y=|x^2-4x+3|+kx)有且僅有三個零點，則(k)的值為（）A.(-2)B.(2\sqrt{2}-4)C.(-2)或(2\sqrt{2}-4)D.(-2)或(4-2\sqrt{2})在平面直角坐標(biāo)系中，點(P(x,y))滿足(x^2+y^2=1)，則(x+2y)的最大值與最小值之和為（）A.(2\sqrt{5})B.(\sqrt{5})C.0D.(-2\sqrt{5})已知(n)為正整數(shù)，且(n^2+2025n+2025^2)是完全平方數(shù)，則(n)的值為（）A.2025B.4050C.6075D.8100如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(AD=6)，點(E,F)分別在邊(BC,CD)上，且(\angleEAF=45^\circ)，則(\triangleAEF)面積的最小值為（）A.(\frac{24}{5})B.(\frac{36}{5})C.(\frac{48}{5})D.(\frac{60}{5})二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）計算：(\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\cdots+\frac{1}{2023\times2025}=)__________。已知實數(shù)(x,y)滿足(x^2+y^2=1)，則(\frac{x+y+2}{\sqrt{x^2+(y+1)^2}})的最小值為__________。如圖，(\odotO)的半徑為5，弦(AB=8)，點(C)在(\odotO)上，且(\triangleABC)為等腰三角形，則(AC)的長度為__________（寫出所有可能值）。若正整數(shù)(n)滿足(n^2+2025n)是完全平方數(shù)，則(n)的最小值為__________。在(\triangleABC)中，(\angleA=60^\circ)，(AB=2)，(AC=3)，點(D,E)分別在邊(AB,AC)上，且(DE\parallelBC)，將(\triangleADE)沿(DE)折疊，點(A)的對應(yīng)點為(A')，若(A')落在(\triangleABC)的外部，則(DE)長度的取值范圍是__________。已知(a,b,c)為非負(fù)實數(shù)，且(a+b+c=1)，則(a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3}abc)的最大值為__________。三、解答題（本大題共6小題，共74分）（12分）已知關(guān)于(x)的方程(x^2-(k+1)x+k=0)和(x^2-(k-1)x+k-2=0)的根都是整數(shù)，求整數(shù)(k)的值。（12分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，點(D)為(BC)的中點，點(E)在直線(AD)上，且(BE=BA)，連接(CE)，求證：(CE=\sqrt{3}BE)。（12分）已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像過點((1,2))，且對任意實數(shù)(x)，均有(ax^2+bx+c\geqx)，若(a+b+c=5)，求該二次函數(shù)的解析式。（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(A(0,3))，(B(4,0))，點(P)在直線(y=x)上，且(\trianglePAB)為直角三角形，求點(P)的坐標(biāo)。（13分）如圖，(\odotO)為(\triangleABC)的外接圓，(AD)平分(\angleBAC)交(\odotO)于點(D)，點(E)為(BC)的中點，連接(DE)，若(AB=5)，(AC=3)，(BC=7)，求(DE)的長度。（13分）已知正整數(shù)(n\geq2)，記(S(n))為(n)的各位數(shù)字之和，(T(n))為(n)的各位數(shù)字之積（若(n)為一位數(shù)，則(T(n)=0)）。（1）求證：對任意正整數(shù)(n)，(n\equivS(n)\pmod{9})；（2）若(n=S(n)+T(n))，求所有滿足條件的(n)；（3）若(n=2025)，求(S(n)+T(n))的值，并判斷是否存在正整數(shù)(m>2025)，使得(S(m)+T(m)=S(2025)+T(2025))。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.C3.B4.C5.D6.C7.B8.C二、填空題9.(\frac{1012}{2025})10.(\sqrt{2}-1)11.8,5(\sqrt{2}),(\sqrt{10})12.202513.(\left(\frac{3\sqrt{7}}{7},\sqrt{3}\right))14.1三、解答題15.解：方程(x^2-(k+1)x+k=0)可因式分解為((x-1)(x-k)=0)，根為(x_1=1)，(x_2=k)……（后續(xù)步驟略）證明：連接(BE)，由(AB=AC)及(D)為(BC)中點，得(AD\perpBC)，(\angleBAD=60^\circ)……（后續(xù)步驟略）解：由題意得(a+b+c=5)，且(ax^2+(b-1)x+c\geq0)恒成立，故(\Delta=(b-1)^2-4ac\leq0)……（后續(xù)