《全品高考復(fù)習(xí)方案》第22講簡(jiǎn)單的三角恒等變換【課標(biāo)要求】能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).1.半角公式(1)sinα2=±1(2)cosα2=±1+cos(3)tanα2=±1符號(hào)由α2的終邊所在象限決定2.常用的三角公式(1)1-cosα=,1+cosα=.(升冪公式)

(2)1±sinα=.(升冪公式)

(3)sinα=2tanα21+tan2α2,cosα=(4)半角正切公式的有理化tanα2=sinα1+cos3.三角恒等變換的基本技巧(1)變換函數(shù)名稱:使用誘導(dǎo)公式.(2)升冪、降冪:使用倍角(半角)公式.(3)常數(shù)代換:如1=sin2α+cos2α=tanπ4(4)變換角:使用角的代數(shù)變換、各類三角函數(shù)公式.題組一易錯(cuò)辨析判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)半角公式對(duì)任意角都適用. ()(2)sin8α=2sin6αcos2α. ()(3)sinα-cosα=sinα+π4.題組二教材改編1.已知cosx-π6=33,則cosx+cosx-A.-233 BC.-1 D.12.2cos2π12+1的值是 (A.32 B.C.1+32 D.23.已知cosα=13,且α是第四象限角,則cosα2=三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1(1)已知α為鈍角,sinα+sin2β=sin2β+π6+sin2β-π6A.7π12 B.2π3 C.3π4(2)sin50°(1+3tan10A.32 B.2 C.1 D.總結(jié)反思三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常見方法有弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪與升冪.化簡(jiǎn)結(jié)果要求函數(shù)種類盡可能少、次數(shù)盡可能低、項(xiàng)數(shù)盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對(duì)值等.【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)[2024·石家莊質(zhì)檢]已知4tanπ121+tan2π12cosαsinβ+π3A.3 B.3C.1 D.2(2)(多選題)下列等式成立的是 ()A.cos3x=4cos3x-3cosxB.sin3x=3sinx-4sin3xC.sin18°=5D.cos18°=2三角函數(shù)式的求值題型1給值求值例2(1)若cosπ3-α=23,則sin2A.-79 B.-C.19 D.(2)[2024·廣東廣州期末]在△ABC中,若sinA+π4=-35,則sin題型2給角求值例3(1)[2024·重慶榮昌區(qū)期末]計(jì)算:32tan10°+2sin10°=(A.12 B.C.2 D.1(2)(多選題)[2024·江西南昌質(zhì)檢]計(jì)算下列各式,結(jié)果為3的是 ()A.2sin15°+2cos15°B.cos215°-sin15°cos75°C.tan30D.3sin50°(1+3tan10°)題型3給值求角例4(1)[2024·江蘇鹽城期末]已知tanα=-13,tanβ=2,且α,β∈(0,π),則α+β的值為 (A.π4 B.C.5π4 D.(2)[2024·湖南衡陽(yáng)一模]已知α,β∈0,π2,sin(α+β)=56,tanα=4tanβ,則A.π3 B.C.π6 D.總結(jié)反思1.給值求值是指已知某個(gè)角的三角函數(shù)值(或三角函數(shù)式的值),求與該角相關(guān)的其他三角函數(shù)值(或三角函數(shù)式的值)的問(wèn)題,解題關(guān)鍵是觀察已知角與待求角的特征,合理“變角”,使角相同或具有某種關(guān)系,即可利用和、差、倍角公式進(jìn)行求解.2.給角求值該類問(wèn)題中給出的角一般都不是特殊角,需要通過(guò)三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?或者能夠正負(fù)相消,或者能夠約分相消,最后得到具體的值.3.通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角,在選取函數(shù)時(shí),有以下原則:(1)已知正切函數(shù)值,則選正切函數(shù).(2)已知正弦、余弦函數(shù)值,則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是0,π2,則選正弦、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,π),則選余弦函數(shù)較好;若角的范圍為-π2,π【對(duì)點(diǎn)演練2】(1)[2024·湖南衡陽(yáng)模擬]已知cosπ5-α=13,則sin11πA.79 B.-79 C.42(2)sin40°(tan10°-3)= ()A.23 B.-33 C.-23(3)[2024·江西贛州質(zhì)檢]已知α,β∈0,π2,且sinα=1010,cosβ=255,A.π4 B.π2 C.3π4 D.(4)已知α,β,γ∈0,π2,若sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,則α-β=A.-π3 B.π3 C.-π6 三角恒等變換的綜合應(yīng)用例5(1)設(shè)向量m=1+cosx2,sinπ6-x2,n=1-cosx2,A.-79 B.-13 C.13 (2)若當(dāng)x∈-π6,π3時(shí),不等式2sinxcosx-23cos2x+3≤λ恒成立,則A.22,+∞ C.[1,+∞) D.[2,+∞)總結(jié)反思(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓住:變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu),尤其是角之間的關(guān)系;注意公式的逆用和變形使用.(2)形如y=asinx+bcosx的式子可化為y=a2+b2·sin(x+φ),【對(duì)點(diǎn)演練3】[2024·四川南充期末]如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角∠POQ=α