初二數(shù)學(xué)期中考試平行四邊形專項(xiàng)習(xí)題解析同學(xué)們，期中考試的腳步日益臨近，平行四邊形作為初中幾何的重要基石，無(wú)疑是期中考察的重點(diǎn)內(nèi)容之一。這部分知識(shí)看似基礎(chǔ)，但往往在細(xì)節(jié)處見真章，需要我們?cè)鷮?shí)掌握定義、性質(zhì)與判定，并能靈活運(yùn)用到解題實(shí)踐中。本文將結(jié)合典型例題，對(duì)平行四邊形的?？碱}型進(jìn)行深度解析，希望能幫助大家梳理思路，鞏固所學(xué)，在考試中從容應(yīng)對(duì)。一、核心知識(shí)回顧與要點(diǎn)提示在著手解題之前，我們先來(lái)簡(jiǎn)要回顧一下平行四邊形的核心知識(shí)點(diǎn)，這是我們解決一切相關(guān)問(wèn)題的“武器庫(kù)”。1.平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（既是定義，也是最基本的判定方法）2.平行四邊形的性質(zhì)：*對(duì)邊平行且相等；*對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；*對(duì)角線互相平分；*是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。3.平行四邊形的判定定理：*兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定）；*兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；*一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；*兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；*對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。要點(diǎn)提示：*性質(zhì)是已知“平行四邊形”，能得出什么結(jié)論；判定是滿足什么條件，能判定一個(gè)四邊形是“平行四邊形”。兩者互為逆過(guò)程，需要清晰區(qū)分。*在運(yùn)用判定定理時(shí)，要注意“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”這種情況，是不能判定為平行四邊形的（反例：等腰梯形）。*遇到平行四邊形的問(wèn)題，要習(xí)慣性地想到它的對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線的關(guān)系，選擇合適的性質(zhì)或判定方法是解題的關(guān)鍵。二、典型例題精析（一）平行四邊形性質(zhì)的直接應(yīng)用這類題目主要考察對(duì)平行四邊形性質(zhì)的記憶和直接運(yùn)用能力，相對(duì)基礎(chǔ)，但需要細(xì)心。例1：已知平行四邊形ABCD中，∠A比∠B小20°，求這個(gè)平行四邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。解析：這道題主要涉及平行四邊形“對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)”的性質(zhì)。我們知道，平行四邊形的鄰角是互補(bǔ)的，即∠A+∠B=180°。題目又告訴我們∠A比∠B小20°，所以可以設(shè)∠A的度數(shù)為x，則∠B的度數(shù)為x+20°。根據(jù)鄰角互補(bǔ)可得方程：x+(x+20°)=180°解這個(gè)方程：2x+20°=180°→2x=160°→x=80°所以∠A=80°，∠B=80°+20°=100°。再根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì)，∠C=∠A=80°，∠D=∠B=100°。因此，這個(gè)平行四邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為80°，100°，80°，100°。例2：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，已知AB=6cm，BC=8cm，△AOB的周長(zhǎng)是18cm，求△AOD的周長(zhǎng)。解析：這道題考察平行四邊形對(duì)角線互相平分以及對(duì)邊相等的性質(zhì)。首先，在平行四邊形ABCD中，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm（對(duì)邊相等）。對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，所以O(shè)A=OC，OB=OD（對(duì)角線互相平分）。已知△AOB的周長(zhǎng)是18cm，即OA+OB+AB=18cm。因?yàn)锳B=6cm，所以O(shè)A+OB=18cm-AB=18cm-6cm=12cm。而△AOD的周長(zhǎng)=OA+OD+AD。由于OB=OD，所以O(shè)A+OD=OA+OB=12cm。AD=8cm，因此△AOD的周長(zhǎng)=12cm+8cm=20cm。所以，△AOD的周長(zhǎng)是20cm。（二）平行四邊形的判定判定一個(gè)四邊形是否為平行四邊形，需要根據(jù)題目給出的條件，靈活選擇判定定理。例3：已知四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）。解析：這是一道開放性題目，考察平行四邊形的判定方法。已知AD∥BC，即一組對(duì)邊平行。要使四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)判定定理，我們可以添加：1.AD=BC：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2.AB∥CD：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。3.∠A=∠C：可通過(guò)AD∥BC推出∠A+∠B=180°，若∠A=∠C，則∠C+∠B=180°，從而推出AB∥CD。4.∠B=∠D：同理可推出AB∥CD。所以，答案不唯一，例如可以填A(yù)D=BC或AB∥CD等。例4：如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥BD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。若DE∥BF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。（*此處假設(shè)有圖，大致內(nèi)容為四邊形ABCD，E在AB中點(diǎn)，F(xiàn)在CD中點(diǎn)，AG平行BD*）解析：要證明四邊形ABCD是平行四邊形，我們需要找到符合判定定理的條件。題目中給出了E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，以及DE∥BF，AG∥BD（這條可能是干擾項(xiàng)或?yàn)楹罄m(xù)步驟準(zhǔn)備，但我們先聚焦于DE∥BF）。證明思路：因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以AE=EB，DF=FC。已知DE∥BF，我們可以嘗試證明△ADE和△CBF全等，或者證明另一組對(duì)邊平行或相等。或者，連接EF，利用平行線間的距離或中位線性質(zhì)（如果適用的話）。這里，我們可以嘗試證明AB∥CD。由于DE∥BF，所以∠DEB=∠FBE（內(nèi)錯(cuò)角相等）。在△DEB和△BFC中，目前條件不足。換個(gè)角度，考慮證明△AED和△CFB全等？似乎也需要更多條件。我們換一種思路：因?yàn)镈E∥BF，假設(shè)AB和CD被這組平行線所截。若我們能證明EB=DF，那么結(jié)合DE∥BF，四邊形DEBF是否為平行四邊形呢？因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，所以EB=1/2AB，DF=1/2CD。如果能證明EB=DF，就能得到AB=CD。而DE∥BF，如果再能得到EB∥DF，就能證明四邊形DEBF是平行四邊形，從而EB=DF。EB和DF是否平行呢？即AB和CD是否平行？這正是我們要證明的。有點(diǎn)循環(huán)論證了。那么，我們可以嘗試用角的關(guān)系。設(shè)DE與BF相交于點(diǎn)O（如果原圖中它們不平行且不相交，此假設(shè)不成立，但題目說(shuō)DE∥BF，所以它們是平行的，不相交）。既然DE∥BF，且AG∥BD，這個(gè)AG∥BD的條件如何用？或許，我們可以先假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，看看需要什么，但這不是證明。好吧，我們回到最基本的判定。已知AD∥BC，我們已經(jīng)用過(guò)這個(gè)條件了嗎？題目中并沒(méi)有明確給出AD∥BC，是我看錯(cuò)了嗎？哦，例4的題目是“已知四邊形ABCD中，AD∥BC”嗎？不，我再仔細(xì)看一下：“已知四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥BD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。若DE∥BF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形?！迸?，題目中沒(méi)有AD∥BC這個(gè)條件，是我之前混淆了。抱歉。那我們重新來(lái)。已知E、F是AB、CD中點(diǎn)，DE∥BF。連接EF。在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)。若DE∥BF，我們可以考慮證明△AED≌△CFB嗎？或者，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD交BD于H，過(guò)點(diǎn)F作FI∥BC交BD于I。因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，EH∥AD，所以H是BD中點(diǎn)，EH=1/2AD。同理，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，F(xiàn)I∥BC，所以I是BD中點(diǎn)，F(xiàn)I=1/2BC。因此，H和I重合，都是BD中點(diǎn)。所以EH=FI，且EH∥AD，F(xiàn)I∥BC。因?yàn)镈E∥BF，所以∠EDH=∠FBH。在△DEH和△BFI中，∠EDH=∠FBH，∠DHE=∠BIF（對(duì)頂角相等），EH=FI，所以△DEH≌△BFI（AAS）。所以DE=BF。因?yàn)镈E∥BF且DE=BF，所以四邊形DEBF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）。所以EB∥DF，且EB=DF。因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，所以EB=1/2AB，DF=1/2CD。所以1/2AB=1/2CD→AB=CD。又因?yàn)镋B∥DF，而EB是AB的一部分，DF是CD的一部分，所以AB∥CD。因此，AB平行且等于CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。這樣就證明完畢了。這個(gè)過(guò)程稍微曲折一點(diǎn)，需要做輔助線，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而證明四邊形DEBF是平行四邊形，最終得到AB與CD平行且相等。（三）平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用這類題目往往需要我們交替使用性質(zhì)和判定，對(duì)邏輯思維能力要求較高。例5：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。（*此處假設(shè)有圖，ABCD為平行四邊形，E在AD上，F(xiàn)在BC上*）解析：要證明四邊形BFDE是平行四邊形，我們有多種判定方法可選。已知四邊形ABCD是平行四邊形，我們可以利用它的性質(zhì)來(lái)獲取證明所需的條件。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC（平行四邊形對(duì)邊平行），且AD=BC（平行四邊形對(duì)邊相等）。∵點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，∴DE∥BF（AD∥BC的一部分）。又∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF（等量減等量，差相等），即DE=BF?！逥E∥BF且DE=BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。這道題比較直接，利用了平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，通過(guò)簡(jiǎn)單的等量代換得到四邊形BFDE的一組對(duì)邊平行且相等，從而得證。例6：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。（*此處假設(shè)有圖，ABCD對(duì)角線交于O，E、F在AC上，AE=CF*）解析：這道題同樣是證明四邊形BFDE是平行四邊形，但已知條件是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)E、F滿足AE=CF。我們可以考慮利用“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這一判定定理。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴對(duì)角線AC、BD互相平分，即OA=OC，OB=OD?！逜E=CF，∴OA-AE=OC-CF（等量減等量，差相等），即OE=OF?！逴B=OD且OE=OF，∴四邊形BFDE的對(duì)角線BD和EF互相平分?！嗨倪呅蜝FDE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。這道題巧妙地利用了平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，通過(guò)簡(jiǎn)單的線段加減得到新四邊形BFDE的對(duì)角線也互相平分，從而得證。三、方法總結(jié)與備考建議通過(guò)以上例題的分析，我們可以總結(jié)出解決平行四邊形問(wèn)題的一些常用方法和思路：1.緊扣定義與定理：無(wú)論是性質(zhì)還是判定，都必須以定義和定理為依據(jù)。解題時(shí)，要明確題目給出的條件是什么，要達(dá)到的目標(biāo)是什么，需要用到哪個(gè)或哪些定理。2.善用數(shù)形結(jié)合：幾何問(wèn)題離不開圖形。仔細(xì)觀察圖形，標(biāo)注已知條件，嘗試在圖形中找到隱含的關(guān)系（如對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、公共邊、公共角等）。3.輔助線添加技巧：*連接對(duì)角線：這是解決平行四邊形問(wèn)題最常用的輔助線之一，它可以將平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，利用三角形全等或等腰三角形等知識(shí)解決。*過(guò)頂點(diǎn)作高：在涉及面積計(jì)算或角度問(wèn)題時(shí)可能用到。*構(gòu)造中位線：當(dāng)出現(xiàn)中點(diǎn)條件時(shí)，可以考慮構(gòu)造中位線，利用中位線平行且等于第三邊一半的性質(zhì)。4.多角度嘗試：對(duì)于一個(gè)證明題，往往有多種證明方法。如果一種思路走不通，不要鉆牛角尖，要學(xué)會(huì)換個(gè)角度思考，嘗試不同的判定定理或性質(zhì)。5.注重邏輯表達(dá)：證明過(guò)程要做到步步有據(jù)，條理清晰，書寫規(guī)范。每一步推理都要有明確的定理或定義作為支撐。備考建議：*夯實(shí)