第十五章軸對稱（舉一反三講義）全章題型歸納 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【培優(yōu)篇】 5【題型1圖形的軸對稱】 5【題型2等腰（邊）三角形性質(zhì)的應(yīng)用】 8【題型3證明是等腰（邊）三角形】 11【題型4利用等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解】 15【題型5利用等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)證明】 19【拔尖篇】 25【題型6與等腰（邊）三角形有關(guān)的動點問題】 25【題型7格點與等腰三角形】 29【題型8確定構(gòu)成等腰三角形個數(shù)的點】 32【題型9與等腰（邊）三角形有關(guān)的折疊問題】 35【題型10等腰（邊）三角形有關(guān)的分類討論問題】 39知識點1軸對稱圖形與對稱軸如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫作對稱點．這時，也說這個圖形關(guān)于這條直線對稱．知識點2兩個圖形成軸對稱1.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，也稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱．2.兩個圖形成軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱關(guān)系兩個圖形成軸對稱軸對稱圖形區(qū)別意義不同兩個圖形之間的對稱關(guān)系具有特殊形狀的圖形對象不同兩個圖形一個圖形對稱軸的位置不同在兩個圖形之間過圖形的某條直線對稱軸的數(shù)量不同只有一條至少有一條聯(lián)系（1）如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形（2）如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱3.軸對稱的性質(zhì)（1）成軸對稱的兩個圖形全等．（2）成軸對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段被對稱軸垂直平分．知識點3畫軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸畫軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的步驟如下：①找出軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的任意一對對應(yīng)點段的垂直平分線②連接這對對應(yīng)點這條垂直平分線就是該軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸．知識點4軸對稱變換1.由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫作軸對稱變換，軸對稱變換的實質(zhì)就是圖形的翻折，由翻折得到的圖形是全等形．2.一個圖形與其關(guān)于直線l對稱的圖形之間的關(guān)系l同．（2）新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點．（3）連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分．知識點5作軸對稱圖形1.幾何圖形都可以看作由點組成．對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，依次連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形．2.作軸對稱圖形的方法（1）找——在原圖形上找特殊點（如線段的端點）；（2）畫——畫各個特殊點關(guān)于對稱軸的對稱點；（3）連——按原圖形依次連接各對稱點．知識點6關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)的特點1.點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x，－y）；點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（－x，y）．2.在平面直角坐標(biāo)系中作已知圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形的方法（1）寫出對稱點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)對稱點的坐標(biāo)描點；（3）按原圖形對應(yīng)連接所描各點得到所求的圖形．知識點7線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)1.定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．書寫格式：如圖所示，點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．3.尺規(guī)作線段的垂直平分線：（1）以點A，B為圓心，以大于12AB（2）作為直線CD，CD為所求直線．知識點8線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理1.定義：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．2.書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上．知識點9互逆命題和互逆定理兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個命題叫作互逆命題，如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理．知識點10等腰三角形的性質(zhì)1.定義：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，相等的邊叫做腰．2.性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．3.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．4.拓展（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°．知識點11等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．拓展：（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等．因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．知識點12等邊三角形及其性質(zhì)1.等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°．拓展：（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．知識點13等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．知識點14含30°角的直角三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．2.拓展：（1）該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質(zhì)，更不能應(yīng)用．（2）這個性質(zhì)主要應(yīng)用于計算或證明線段的倍分關(guān)系．（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個性質(zhì)解決問題．【培優(yōu)篇】【題型1圖形的軸對稱】【例1】（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在3×3的正方形格紙中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中△ABC是一個格點三角形．請你分別在下列每張圖中畫出一個以D、E、F為頂點的格點三角形，使它與△ABC關(guān)于某條直線對稱．（所畫的

【答案】圖見解析【分析】本題考查了利用軸對稱圖形的定義設(shè)計圖案，熟知概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可．【詳解】解：如圖，△DEF

【變式1-1】（24-25八年級下·重慶渝北·期末）下列漢字中屬于軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查軸對稱圖形，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形的定義，即可解答．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，符合題意；B．不是軸對稱圖形，不符合題意；C．不是軸對稱圖形，不符合題意；D．不是軸對稱圖形，不符合題意．故選A．【變式1-2】如圖，若P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1,P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，【答案】24【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，可得PM=【詳解】解：∵P點關(guān)于OA、OB的對稱點為P1∴PM=∴△PMN的周長＝PM+PN+MN＝P1P2故答案為：24．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2025·河北邢臺·三模）剪紙是我國傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．嘉嘉將一張圓形紙片按圖3的流程進(jìn)行操作，即先沿虛線對折兩次，再沿虛線剪開，則展開后的剪紙形狀是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱圖形的特點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，觀察選項中右下角的圖是否符合圖3最右邊的圖即可得出答案．【詳解】解：A、中右下角的圖符合圖3最右邊的圖，符合題意；B、中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；C、中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；D、中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；故選：A．【題型2等腰（邊）三角形性質(zhì)的應(yīng)用】【例2】（24-25八年級下·河南洛陽·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=DC，AD的延長線交BCA．AE⊥BC BC．AD=2DE D【答案】C【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．證明△ABD和△ACD全等得∠BAD=∠CAD，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)得AE⊥BC，BE=CE，據(jù)此可對選項A，B進(jìn)行判斷；再根據(jù)BD【詳解】解：在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠BAD∴AD是∠∵AB∴△ABC又∵AD是等腰△ABC的頂角∴AE⊥BC故選項A，B正確，不符合題意；∵BD∴△DBC又∵DE∴∠BDE故選項D正確，不符合題意；∵根據(jù)已知條件無法判定AD=2∴選項C錯誤，符合題意．故選：C．【變式2-1】（24-25八年級下·重慶巴南·期末）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形CDE，連接AE，則∠AEC的大小為（

A．60° B．52.5° C．45° D．37.5°【答案】C【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，由正方形性質(zhì)得AD=CD，∠ADC=90°，由△CDE是等邊三角形性質(zhì)得CD=ED，∠CDE=∠【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=∵△CDE∴CD=∴AD=∴∠DEA在△ADE中，∠∵∠DEA∴2∠DEA∴∠DEA∴∠AEC故選：C．【變式2-2】（24-25九年級下·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=45°，將△ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)，旋轉(zhuǎn)后的點B落在BC上，點B的對應(yīng)點為D，連接AD，【答案】30°/30度【分析】如圖，AB=AD，∠BAD=α，根據(jù)角平分線的定義可得∠【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可得：AB=AD，∵AD是∠BAC∴∠CAD∵∠ADB=∠C∴∠B則在△ABC中，∵∠∴45°+2α解得：α=30°故答案為：30°【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（24-25八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，△ABD是等邊三角形，BC=BD，∠BAC=20°【答案】80°/80度【分析】本題考查等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和．熟練掌握是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得AB=BD．∠ABD=60°，可得AB=【詳解】解：△ABD∴AB=BD．∵BC=∴AB=∴∠BCA∴∠ABC∴∠CBD故答案為：80°．【題型3證明是等腰（邊）三角形】【例3】（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形ABCD中，F(xiàn)是CB的延長線上一點，連接DF交AB于點E，∠ADF=∠DFC，點G在邊BC上，連接DG，DF平分∠【答案】見解析【分析】本題考查的是等腰三角形的判定，先證明∠ADF=∠GDF，結(jié)合∠【詳解】證明：∵DF平分∠∴∠ADF∵∠ADF∴∠GDF∴GD∴△DFG【變式3-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD為邊(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出邊AC上的高線BE，與CD交于點O．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，判斷△BOC【答案】(1)作圖見解析(2)等腰三角形，理由見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線及等腰三角形的判定，（1）過點B作AC的垂線即可；（2）先證明∠ABC=∠ACB【詳解】（1）解：下圖即為所求作．（2）解：△BOC理由：在△ABC中，AB∴∠ABC∵CD,BE分別為邊∴∠BDC∴∠BCD∴OB=∴△BOC【變式3-2】（24-25八年級下·山西晉中·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D(1)尺規(guī)作圖：過點D作DE⊥BC于點E，交AB于點F（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法；如果完成有困難，可直接畫出草圖，解答第（(2)在（1）得到的圖中，若∠DAB=60°，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂線的尺規(guī)作圖，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)等邊對等角得到∠B=∠C，再導(dǎo)角證明∠BFE=∠【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵AB=∴∠B∵DE⊥∴∠DEB∴∠B+∠BFE∴∠BFE∵∠BFE∴∠CDE∴AD=又∵∠DAB∴△ADF【變式3-3】（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，已知△ABC和△ADE，點C在線段AD上，(1)求證△ABC(2)若∠BAC=60°，連接CE，求證【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．（1）由BC=DE，∠B=∠D，AB（2）由全等三角形的性質(zhì)得AC=AE，【詳解】（1）證明：在△ABC和△AB=∴△ABC（2）解：由（1）得△ABC∴AC∴△ACE【題型4利用等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解】【例4】（24-25八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為7，點E，F(xiàn)是BC邊的三等分點．分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA,CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEFA．3 B．163 C．7 D．【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)得到BC=7,∠B=∠C=60°，再求出EF【詳解】解：∵等邊三角形ABC的邊長為7，∴BC=7,∠∵點E，F(xiàn)是BC邊的三等分點，∴EF=∵DE∥∴∠DEF∴∠DEF∴△DEF∴DE=∴△DEF的周長是：3×故選：C．【變式4-1】（24-25八年級下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，過點A的直線DE∥BC，∠ABC與∠ACB的平分線分別交DE【答案】14【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)推知∠E=∠ABE，則AB【詳解】解：∵DE∴∠E∵BE平分∠∴∠ABE∴∠E∴AB同理可得：AD=∴DE故答案為：14．【變式4-2】（24-25八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB，過點B作BD⊥CD，垂足為D，連接【答案】12【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算；延長BD交AC于點E，可以算出AE，CE的長度，從而利用面積比得到△ABE的面積，而△ABD的面積又是【詳解】解：延長BD交AC于點E，∵CD平分∠ACB∴∠BCD∵BD⊥∴∠EBC∴BC∴S∴S∴S故答案為：125【變式4-3】（24-25八年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD，連接CE，(1)如圖1，若E為AB的中點，求證：CE=(2)如圖2，若E不是AB的中點，過點E作EF∥BC，交AC于點①求證：△AEF②判斷CE與DE是否相等，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②相等；理由見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等邊三角形性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，通過全等關(guān)系推導(dǎo)邊或角的等量關(guān)系．（1）利用等邊三角形ABC的性質(zhì)，得到CA=CB，∠ABC=∠ACB=60°．由E為AB中點，結(jié)合等邊三角形三線合一，推出AE=BE，∠BCE=30°．因為（2）①依據(jù)EF∥BC和△ABC是等邊三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，再結(jié)合∠A=60°，根據(jù)等邊三角形判定，證得△AEF是等邊三角形．②先由△ABC和△【詳解】（1）證明：∵△ABC∴CA=CB∵E為AB∴AE=BE∵AE∴BD∴∠BDE∵∠BDE∴∠BDE∴∠BDE∴CE（2）證明：∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∴△AEF②解：相等．理由：∵△ABC，△∴∠ABC=∠AFE=60°，∵∠DBE=180°-∠ABC∴∠DBE=∠CFE=120°，∴∠DBE=∠CFE∵AE∴EF∴△DBE∴DE【題型5利用等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)證明】【例5】（24-25八年級下·遼寧本溪·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上，點E在AD的延長線上，連接BE，EC，且∠(1)求證：∠AEC(2)求證：BE+【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定；（1）由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）在線段EA上截取EH=EC，連接HC，證明△EHC是等邊三角形△AHC≌△【詳解】（1）證明：∵△ABC∴∠ABC在△ABD中，∠在△CED中，∠又∵∠BAE=∠BCE∴∠AEC（2）證明：在線段EA上截取EH=EC，連接∵△ABC∴CA=CB，∵EH=EC，∴△EHC∴CE=EH=∴∠ACB∴∠ACB∴∠ACH∴△AHC∴BE=∵AH+∴BE+【變式5-1】（24-25八年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥(1)若∠C=36°，求(2)求證：FB=【答案】(1)∠(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形等邊對等角，三線合一．（1）先得出∠ABC=36°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠FBE=∠CBE=1【詳解】（1）解：∵AB∴∠C∵∠C∴∠ABC∵AB=AC，D是∴AD∴∠ADB∴∠BAD（2）證明：∵BE平分∠∴∠FBE∵EF∥∴∠CBE∴∠FBE∴FB【變式5-2】（24-25八年級上·湖南湘西·期中）如圖，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠4=72°(1)求證：△ABC(2)若△ABD的周長比△ADC的周長大9，求【答案】(1)證明見解析(2)9【分析】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）求解∠3=∠1+∠2=72°=∠4，∠DAC=180°-2×72°=36°，（2）證明DB=DA，AD=AC，結(jié)合BA=BC與△【詳解】（1）證明：∵∠1=∠2=36°，∠4=72°，∴∠3=∠1+∠2=72°=∠4，∴∠DAC∴∠BAC∴BA=∴△ABC是等腰三角形（2）解：∵∠1=∠2，∴DB=∵∠3=∠4，∴AD=AC，而∵△ABD的周長比△ADC的周長大∴AB+∴BC+∴BD+∴AD=9∴AC=9【變式5-3】（24-25七年級下·上海青浦·期末）在△ABC中，AB=BC，AB的垂直平分線分別交邊AC、邊AB和直線CB(1)點F在CB的延長線上，①如圖，求證：∠ABC②如圖，當(dāng)DC=DF，(2)當(dāng)△ACF是等腰三角形時，請直接寫出∠【答案】(1)①見解析；②3(2)∠ACB=36°【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別表示出∠ABC②證明△ABF（2）分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，求解即可．【詳解】（1）①證明：∵DF⊥∴∠ADE∵AB=∴∠CAB又∵∠ABC∴∠ABC②∵DC=∴∠DFC∴∠ADF又∵∠ABC∴∠ABC又∵∠ABC∴∠C=30°，∴∠ABF∵DF是AB的垂直平分線，∴FA=∴△ABF∴△ABF的周長為3（2）解：設(shè)∠當(dāng)CA=∵AB∴∠∴∠∵DF是AB的垂直平分線，∴FA=∴∠∴∠在△CAF中，∠C解得：α=180°7當(dāng)AC=AF時，同理可得∠CAF∴2α解得：α=36°，即∠當(dāng)FA=FC時，如圖，在△ABC中，∵DF是AB的垂直平分線，∴FA=∴∠∴∠∵BA∴∠∴α解得：α=90°∴此情形不存在，綜上所述，當(dāng)△ACF是等腰三角形時，∠ACB=36°【拔尖篇】【題型6與等腰（邊）三角形有關(guān)的動點問題】【例6】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點O是斜邊BC的中點，點D在射線BA上運動，點E在射線AC上運動，且OD⊥OE，若BD【答案】a+b【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；分兩種情況討論，當(dāng)點D在線段AB上時，當(dāng)點D在BA的延長線上時，證明△AOE≌△BOD【詳解】解：當(dāng)點D在線段AB上時，如圖所示，連接AO，∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°∴∠OAE=∠B=45°又∵OD⊥∴∠AOD∵AO∴∠BOD∴∠AOE∴△AOE≌△∴BD=∵BD=a，∴AC=當(dāng)點D在BA的延長線上時，如圖所示同理可得△AOE則BD∴AC故答案為：a+b或【變式6-1】（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，AB=18cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點C【答案】18【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)運動的時間為x，則BP=3x，AQ=2x，AP=18-3x，由【詳解】解：設(shè)運動的時間為x秒，則BP=3xcm∵△APQ是以PQ∴AP=AQ，即解得，x=故答案為：185【變式6-2】（24-25八年級下·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=60°，AB=20cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A【答案】4秒【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．設(shè)運動的時間為x，則BP=3xcm，AQ=2xcm，AP=【詳解】解：設(shè)運動的時間為x秒，∵AB=20cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2∴BP=3xcm，AQ∵△APQ∴AP=AQ，即解得：x=4答：運動的時間是4秒．【變式6-3】如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P(1)求證：△ABQ(2)∠CMQ(3)連接PQ，當(dāng)點P、Q運動多少秒時，△APQ【答案】(1)見解析；(2)∠CMQ的大小不發(fā)生變化，∠(3)當(dāng)點P、Q運動2秒時，△APQ【分析】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)等知識，掌握等邊三角形的性質(zhì)、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAQ（3）分三種情況分別討論即可求解．【詳解】（1）證明：∵△ABC∴∠ABQ=∠CAP∵點P、Q的速度相同，∴AP=在△ABQ和△AB=∴△ABQ（2）解：∠CMQ∵△ABQ∴∠BAQ∴∠QMC（3）解：當(dāng)AP=AQ時，僅當(dāng)P運動到B點，Q運動到故不符合題意；當(dāng)PQ=AQ時，僅當(dāng)P運動到B點，Q運動到故不符合題意；當(dāng)AP=當(dāng)AQ⊥BC時，故t=2÷1=2時，△綜上，當(dāng)點P、Q運動2秒時，△APQ【題型7格點與等腰三角形】【例7】（24-25七年級下·上海楊浦·階段練習(xí)）如圖，點A，B為4×4方格紙中的兩個格點，若以AB為邊在方格中畫點C（點C為格點），使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查格點作等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的判斷即可得到結(jié)論，掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)AB為腰時，如圖，②當(dāng)AB為底邊時，點C無格點，綜上可知：△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)有8故選：C．【變式7-1】（24-25七年級下·吉林長春·期中）如圖，圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫出圖形．(1)在圖1中，以AB為腰畫一個等腰銳角三角形△ABC(2)在圖2中，以AB為腰畫一個等腰直角三角形△ABD(3)在圖3中，以AB為腰畫一個等腰鈍角三角形△ABE【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，等腰三角形的定義；由等腰三角形的定義作圖即可．（1）按等腰三角形的定義作圖即可；（2）按等腰三角形的定義作圖即可；（3）按等腰三角形的定義作圖即可；【詳解】（1）解：如圖，∴△ABC（2）解：如圖，∴△ABD（3）解：如圖，∴△ABE【變式7-2】（24-25七年級下·河南·期中）如圖，點A、M、C、N、F都在格點上，AN與CM相交于點P，則∠APM=（A．30° B．60° C．45° D．50°【答案】C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，過點A作AD∥CM，連接DN，平行線的性質(zhì)，得到∠DAN=∠APM，證明△【詳解】解：過點A作AD∥CM，連接DN，則：由圖可知：AB=∴△ABD∴AD=∴∠CDN∴∠ADN∴∠DAN∴∠APM故選C．【變式7-3】如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點（各小正方形的頂點是格點），則以A，B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有個．【答案】4【分析】分三種情況討論：①當(dāng)A為頂角頂點時；②當(dāng)B為頂角頂點時；③當(dāng)C為頂角頂點時；分別作出圖形即可得出結(jié)果．【詳解】解：分三種情況：如圖所示：①當(dāng)A為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的點有C點1個；②當(dāng)B為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的點C有C1、C2點2個；③當(dāng)C為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的點C有C3點1個；綜上所述：以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有1+2+1=4（個）；故答案為：4．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的判定，分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．【題型8確定構(gòu)成等腰三角形個數(shù)的點】【例8】（24-25八年級上·江西吉安·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是1,0，點B的坐標(biāo)是-3,-3，點C是y軸上一動點，要使△ABC為等腰三角形，那么符合要求的點C的位置共有（A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】此題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，以點A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C1和C2，以點B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點C3和C4，AB的中垂線交【詳解】解：如圖，①以點A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C1和C2，此時②以點B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點C3和C4，此時③AB的中垂線交y軸于點C5，此時AC綜上所述，符合要求的點C的位置共有5個，故選：D．【變式8-1】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在直線BC或AC上取一點P，使得

A．6 B．7 C．8 D．3【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題，根據(jù)題意，畫出圖形結(jié)合求解．【詳解】如圖，第1個點在AC上，作線段AB的垂直平分線，交AC于點P，則有PA=第2個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP=AB，交AC延長線上于點第3個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP=AB，在上邊與CA延長線上交于點第4個點是以B為圓心，以BA長為半徑截取BP=BA，與AC的延長線交于點第5個點是以B為圓心，以BA長為半徑截取BP=BA，與BC在左邊交于點第6個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP=AB，與BC在右邊交于點故符合條件的點P有6個點．故選：A．

【變式8-2】點A，B在直線l同側(cè)，若點C是直線l上的點，且△ABC是等腰三角形，則這樣的點C最多有（

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，先以A點為圓心，AB為半徑作弧交直線l于點C1、C2，再先以B點為圓心，BA為半徑作弧交直線l于點C3，C4，最后作【詳解】解：如圖，點C1故答案為：A．【變式8-3】（24-25七年級下·上海楊浦·階段練習(xí)）如圖，直線a、b交于點O，A為直線a上一定點，B為直線b上一動點，∠1=α．若以點O、A、B

(1)如圖1，當(dāng)α=50°時，滿足條件的等腰三角形有______(2)如圖2，當(dāng)α=60°時，滿足條件的等腰三角形有______【答案】(1)4(2)2【分析】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定．（1）分4種情況畫圖討論，根據(jù)等腰三角形的判定作答即可；（2）分2種情況畫圖討論，根據(jù)等腰三角形的判定作答即可．【詳解】（1）如圖1，當(dāng)α=50°

當(dāng)OB1=當(dāng)OA=OB當(dāng)OA=AB當(dāng)OA=OB故答案為：4；（2）如圖2，當(dāng)α=60°時，滿足條件的等腰三角形有2

當(dāng)OA=OB當(dāng)OA=OB故答案為：2.【題型9與等腰（邊）三角形有關(guān)的折疊問題】【例9】（24-25八年級上·河南周口·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=12，點D在BC邊上，把△ABD沿著AD邊翻折得到△AED，AF平分∠【答案】4【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACD=30°，得△AEF≌△ACF【詳解】解：在△ABC中，AB=AC∴∠ABD由折疊得∠AED=∠ABD=30°，∴AE=∵AF平分∠EAC∴∠EAF在△AEF和△AE=∴△AEF∴∠AEF=∠ACF∴∠DEF又∵△DEF∴△DEF∴DE=∵BC=∴BC=即BC=3又∵BC=12∴BD=4故答案為：4．【變式9-1】（24-25八年級上·河南商丘·期末）如圖，在△ABC中，BC=5，AD為BC邊上的中線，∠ADB=60°，將△ABD沿AD所在直線翻折，點B翻折到點B'的位置，連A．5 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【分析】此題考查等邊三角形的判定及其性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊可知∠ADB'=∠ADB=60°，【詳解】解：由折疊可知：∠ADB'∴∠B∵BC=5，AD為BC∴DC=DB=2.5∴△B∴CB故選：B．【變式9-2】（24-25八年級上·廣西河池·期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，AB+BD=AC．將△ABD沿AD所在直線翻折，使點B落在AC邊上的點E

【答案】40°【分析】此題重點考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，利用翻折性質(zhì)及線段和差將AB+BD=AC轉(zhuǎn)換為線段相等是解題的關(guān)鍵．由翻折得AE=AB，ED=BD，【詳解】解：由翻折得AE=AB，ED=∴AB+∵AB+∴AE+∴ED=∴∠EDC∴∠B故答案為：40°．【變式9-3】（24-25八年級上·貴州黔東南·期末）如圖，在△ABC中，AB=15，BC=12，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，若∠C=2∠【答案】12【分析】本題考查了折疊性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等面積法的靈活運用，同角的補角相等，先過點A作AW⊥BC延長線于點M，過點D分別作DT⊥BA于點T，作DH⊥BC延長線于點H，連接WD，結(jié)合折疊且【詳解】解：過點A作AW⊥BC延長線于點M，過點D分別作DT⊥BA于點T，作DH⊥∵在△ABC中，AB=15，BC=12，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E∴EB=∠CDB∵∠C∴∠DEB則180°-∠DEB∴∠AED∴AD=∵DH⊥BC，DH∴DH=則S△∵AW⊥BC，則S△∴6AW故AW=∵S△∴S△∵S△ACW=12AC×∴S△∵DC=∴DC3+解得DC=故答案為：125【題型10等腰（邊）三角形有關(guān)的分類討論問題】【例10】如圖，在△ABC