41 44 47 47 48 49 51 52 54 54 57 58 60 61 80 89 91 題型4等體積法求點(diǎn)面距離 在三角函數(shù)化簡求值的問題中,當(dāng)遇到形如Asinα+BcosαAsin2α+Bcos2α的式Csinα+Dcosα,Csin2α+Dcos2αα,將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓瑃anα的式子.除此之外,對(duì)于形如Asin2α+Bcos2α+Csinαcosα,Asin2α+Bcos2α+Csin2α或Asin4α+tanα的式子來表示.如:①Asin2α+Bcos2α+Csinαcosα②Asin2α+Bcos2α+Csin2α=Asin2α+Bcos2α+2Csinαcosα③Asin4α+Bcos4α例例1(2021新高考I)若tanθ=-2,則)例例2已知sin[2(α+β([=nsin2γ,則由于sinx+cosx,sinx-cosx與sinxcosx這三個(gè)式子之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此只需知道其(2)(sinx-cosx(2=1-2sinxcosx=1-sin2x;(3)(sinx+cosx(2+(sinx-cosx(2=2.對(duì)于涉及sinx+cosx,sinx-cosx與sinxcosx的三角函數(shù)求最值問題,可以借助換元思想,其中,還有一個(gè)關(guān)鍵問題就是如何確定sinx-cosx與sinx+cosx的符號(hào):例例3函數(shù)f(x(=sinx-cosx+siA.(-∞,1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.(-∞,1(輔助角公式是一種高等三角函數(shù)公式,其主要作用是可把含sinx,cosx的一次三角函數(shù)式化為Asin(x±φ(或Acos(x±φ(的形式,從而便于進(jìn)一步探索三角函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)然,很多情況下,在使用輔助角公式之前,需要用二倍角公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行降冪.對(duì)于涉及輔助角三角函數(shù)中的降冪思想主要來源于二倍角公式的一些重要變形,如:aasinx+bcosx=、a2+b2sin(x+φ(,其中ab≠0,sinφ=aacosx+bsinx=、a2+b2cos(x-φ(,其中ab≠0,sinφ=a.第一類:求f(x(=asinx+bcosx的最值f(x(=asinx+bcosxsin(x+φ(,則當(dāng)sinxcosx時(shí),f(x(取當(dāng)sinxcosx時(shí),f(x(取得最小值-、a2+b2.第二類:方程asinx+bcosx=c有解求參若方程asinx+bcosxsin(x+φ(=cA.[-2,2[B.C.[-3,-3[D.整體代換是指將問題或者是問題的一部分看成一個(gè)整體,用一個(gè)新的變量代之,進(jìn)而簡化研究過程.整體代換思想是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要思想,這一思想在解決三角函數(shù)相關(guān)問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.在三角函數(shù)求值問題中,往往可以把已知式或待求式(經(jīng)常是一些角的和或差的形式)作為一個(gè)整體進(jìn)行變形代換,結(jié)合相應(yīng)的三角公式(誘導(dǎo)公式、倍角公式、和差角公式等)加以運(yùn)算,技巧.①2α=(α+β(+(α-β(；②2β=(α+β(-(α-β(；③α=(α+β(-β=(α-β(+β;在求解形如f(x(=Asinx+Bcos2x或g(x(=Acosx+Bcos2x(A,B為非零常數(shù))的三角函二次復(fù)合函數(shù)或余弦二次復(fù)合函數(shù),即f(x(=Asinx+B(1-2sin2x(或g(x(=Acosx+B(2cos2x-1((A,B為非零常數(shù)),再通過換元(令sinx=t或cosx=t,t∈[-1,1[),將上述函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),即y=At+B(1-2t2(或y=At+B(2t2-1(,t∈[-1,1[,最后借助二次函數(shù)的性質(zhì)求得原函數(shù)的最值.我們?cè)谘芯啃稳绾瘮?shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0(的性質(zhì)時(shí),可以根據(jù)函數(shù)y=sinx的相關(guān)性質(zhì),把y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0(中的ωx+φ看成一個(gè)整體,結(jié)合函數(shù)y=sinx的圖象,得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ(+b(A>0,ω>0(的性質(zhì),這一過程把“數(shù)形結(jié)合”與例例7函數(shù)f(x(=sin(2xcosx的最小值為.例例8(2022?新高考II)(多選)已知函數(shù)f(x(=sin(2x+φ((0<φ<π(的圖象關(guān)于點(diǎn)A.f(x(在區(qū)間上單調(diào)遞減B.f(x(在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C.直線x是曲線y=f(x(的對(duì)稱軸D.直線yx是曲線y=f(x(的切線卡根法是解決復(fù)合三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ((ω>0(或y=Acos(ωx+φ((ω>0(所涉及的重要結(jié)論(T為最小正周期,后面不再提):②任意相鄰對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的水平間距為②任意相鄰對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的水平間距為T.4一般地,任意對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)的水平間距為(n∈N*(;任意對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的水平間距為(n∈N*(.在限定的周期范圍內(nèi),給定單調(diào)性等條件,對(duì)于給定范圍內(nèi)單調(diào)或沒有零點(diǎn)的問題,卡根的范①f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在區(qū)間(a,b)(也可寫成[a,b[)內(nèi)單調(diào)→②f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn)?圖2③f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在區(qū)間[a,b[內(nèi)沒有零點(diǎn)?對(duì)于給定范圍內(nèi)出現(xiàn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,卡根的范圍通常是一個(gè)周期,即左端點(diǎn)卡半個(gè),右端點(diǎn)卡半個(gè),開區(qū)間滿足外取等,閉區(qū)間滿足內(nèi)取等.|-π+kπ-φkπ-φ④f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在區(qū)間(|-π+kπ-φkπ-φ<b≤,圖3⑤f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在區(qū)間[a,b[內(nèi)有n(n∈N*(個(gè)零點(diǎn)?圖4我們知道任意對(duì)稱軸x=a和對(duì)稱中心(b,0)的水平間距為n∈N*(,故可借助T構(gòu)造b-a|(n∈N*(,得到關(guān)于ω的函數(shù)的形式,再結(jié)合題目所給的單調(diào)區(qū)間或者最值區(qū)間所處的范圍進(jìn)行卡根,從而解決問題.例例9已知函數(shù)f(x(=2sin(wx在區(qū)間[0,2π[上恰有3個(gè)零點(diǎn),則正實(shí)數(shù)w的取值例例10已知把函數(shù)f(x(=sinwx(w>0(的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,f(x(在上具有單調(diào)性,則w射影定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理,它揭示了三角形的邊角關(guān)系,即任意一邊的長度是另外介紹射影定理的幾個(gè)應(yīng)用.在△ABC中,若將a,b,c順次記作三角形的角A,B,C的對(duì)邊,則有(1)直接應(yīng)用:在解三角形的題目中,若給出的條件中含有形如acosC+ccosA的代數(shù)式,則可考慮直接使用射影定理,快速完成邊角互化,解決問題.(2)間接應(yīng)用:在解三角形的題目中,往往可以逆向或配湊使用射影定理進(jìn)行條件處理,如將邊a代換為bcosC+ccosB,從而解決問題.(3)隱含型應(yīng)用--求邊:在解三角形的題目中,常規(guī)思路是利用正余弦定理求邊,解題過程中常涉及舍解的討論,此時(shí)不妨考慮利用射影定理(本身包含內(nèi)角和關(guān)系)求邊,可避免舍解.例例11記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=26,b=3,sin2(B+C(+定理一:在△ABC中,若將a,b,c順次記作三角形的角A,B,C的對(duì)邊,則有tanA=λtanB?c=(λ+1(bcosA?(λ+1)(b2-a2(+(λ-1(c2=0(λ為非零實(shí)數(shù)(.證明:由tanA=λtanB,得,所以sinAcosB=λsinBcosA,即sinAcosB+sinBcosA=(λ+1(sinBcosA,故sin(A+B(=sinC=(λ+1(.sinBcosA,即c=(λ+1(bcosA,又由余弦定理整理可得(λ+1)(b2-a2(+(λ-1(c2=0,由于推導(dǎo)過程可逆,故tanA=λtanB?c=(λ+1(bcosA?(λ+1((b2-a2(+(λ-1(c2=0(λ為非零實(shí)數(shù)),證畢.定理二:在△ABC中,若將a,b,c順次記作三角形的角A,B,C的對(duì)邊,則有定理三:在△ABC中,若將a,b,c順次記作三角形的角A,B,C的對(duì)邊,則有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.例例12(多選)若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足b-3a+C.4tanA+tanC=0D.tanB的最大值為例例13在斜三角形△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若4ccosA=b,則如圖,在△ABC中,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,AB邊上的中線為CM,證明:由2C=C+C,A=C-C,A=C+C-2C.C,兩式相加,可得4CM=2(C+C(-A,即CM.解決與中線有關(guān)的三角形問題時(shí),若能利用中線定理,直接構(gòu)建中線與邊的關(guān)系或向量數(shù)量積例例14(2021.浙江(在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn),AM=23,則AC=；cos∠MAC=.設(shè)A,B,C分別是過平面內(nèi)一點(diǎn)P所引三條射線PA,PB,PC上的點(diǎn),線段AC,CB對(duì)點(diǎn)P證明:由S△ABP=S△ACP+S△CBP,得PA×PB×sinPA×PC×sinPC×PB×sin推論:在定理的條件下,若α=β,即PC平分∠APB,在解三角形問題中,面積關(guān)系可反映邊角關(guān)系,而張角定理即為三角形面積和關(guān)系的變形,反映的是邊與角的相鄰關(guān)系,與正弦定理反映的對(duì)邊及對(duì)角關(guān)系不同,與余弦定理反映的三邊與一角關(guān)系也不同,張角定理可以看作正余弦定理的有益補(bǔ)充,掌握張角定理,可化繁為簡,提高解題效率.例15在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC例例16△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin∠BAC+3cos∠BAC=0,(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.在一些較為復(fù)雜的解三角形問題中,盡管題目條件中沒有直接出現(xiàn)圓的身影,卻以隱含條件的形式進(jìn)行描述,即隱形圓!與常規(guī)方法相比,挖掘出這個(gè)隱形圓,利用圓的性質(zhì)求解問題,往往能夠起到事半功倍的效果!下面歸納出隱形圓問題的常見條件形式.①定徑圓--利用圓的定義確定隱形圓.根據(jù)圓的定義--到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合,當(dāng)題目條件中出現(xiàn)線段定長或向量模為助解題.②定和冪圓--利用PA2+PB2為定值確定隱形圓.已知A,B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為O,AB=a,若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=k(k為定值(,則由中線定理可得PO,為定值,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心,PO長為半徑的圓.③阿氏圓--利用確定隱形圓(阿波羅尼斯圓).設(shè)點(diǎn)A(-m,0(,B(m,0(,m>0,平面內(nèi)任意一點(diǎn)P(x,y(滿足,則點(diǎn)P ,即點(diǎn)P的軌跡是圓,圓心為,半徑為幾何證明:如圖,由,可在線段AB及其延長線上分別取點(diǎn)C,D,使其滿足,連接PC,PD,則,可得PC平分∠APB.延長AP至點(diǎn)B/,使得PB/=PB,則,又,所以,所以S△PB/D=S△PBD,又PB/=PB,所以∠BPD=∠B/PD,又∠APC=∠BPC,∠APC+∠BPC+∠已知A,B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn),若∠APB=90O,由圓的性質(zhì)可得,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB②定角圓--利用定角(圓周角)確定隱形圓.若線段AB的長為定值,∠APB為定角,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB為弦長,∠APB為圓周角的圓弧,即定角圓,由正弦定理可得圓半利用P.P(P為動(dòng)點(diǎn),A,B為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn))為定值確定隱形圓.已知A,B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為O,AB=2a,若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA.PB動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心,PO長為半徑的圓.例例18在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),∠CAD=15°,則∠ABC的最大值為()共線向量定理是研究三點(diǎn)共線的一個(gè)有力工具.結(jié)論2:如圖,對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)O,若存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ,μ,使得,且λ+μ=1,則P,A,B三點(diǎn)共線.③當(dāng)0<μ<λ<1時(shí),點(diǎn)P在線段AB上且靠近點(diǎn)A；④當(dāng)0<λ<μ<1時(shí),點(diǎn)P在線段AB上且靠近點(diǎn)B；⑤當(dāng)λ<0且μ>1時(shí),點(diǎn)P在線段AB的延長線上;⑥當(dāng)μ<0且λ>1時(shí),點(diǎn)P在線段BA的延長線上.結(jié)論3:如圖,對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)O,若P,A,B三點(diǎn)共線,則一定存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ,μ等系數(shù)和線的概念主要用于解決向量線性表示中的系數(shù)和問題,如求基底系數(shù)代數(shù)的和、最值或取值范圍等,這類問題的解決方法更側(cè)重于利用數(shù)形結(jié)合的思想分析、解決問題.一般地,在向量的基底表示中,表示出兩個(gè)基底系數(shù)之和,從而可利用其幾何性質(zhì),將系數(shù)之和取值范已知平面內(nèi)一組基底O,O及任一向量O,且O=λ1O+λ2O(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),若點(diǎn)P在直線AB上或與AB平行的直線上,則λ1+λ2=k(定值),反之也成立.我們稱直線AB及與AB平行的直線為等系數(shù)和線(如圖).結(jié)論5:由相反向量的概念可知:若兩等系數(shù)和線關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,則相應(yīng)的定值互為相反數(shù).①連接AB,構(gòu)造直線AB；②連接(延長(OC交直線AB于點(diǎn)C/,則x+y,必要時(shí),應(yīng)利用平行線分線段成③若求x+y的取值范圍,可以過動(dòng)點(diǎn)C的軌跡上的點(diǎn)作l1ⅡAB,l2ⅡAB,且l1,l2分別為距離O點(diǎn)最近與最遠(yuǎn)的兩條平行線,則x+y,其中d,d1,d2分別為點(diǎn)O到直利用等系數(shù)和線處理向量分解中的系數(shù)和問題時(shí),應(yīng)注意問題中待求和的兩個(gè)數(shù)是否為基底的例例19如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),H是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)H作直線MN,分別與邊AB,AC交于點(diǎn)M,N,若AM=xAB,AN=yAC,則x+4y的最小值是. 1可以由向量關(guān)系得出三角形面積的比值,此類題屬于選擇、填空題中的難題,在高考中時(shí)有出現(xiàn),其基本特征是:已知三角形內(nèi)任意一點(diǎn),再給出相關(guān)向量的線性關(guān)系,求三角形面積的比值問題.奔馳定理可以很好地幫助我們解決此類問題.因?yàn)檫@個(gè)定理的圖形和奔馳的logo很相似,所以把它稱為“推論1:若點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且存在正實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a則奔馳定理及其推論對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題,尤其是解決與三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題時(shí),有重要作用.④如圖,O是△ABC的垂心?S△BOC:S△OA:S△AOB=tanA:tanB:tanC?tanA.O—+tanB.O+tanC.O=0.例21設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)且為△ABC的外心,∠BAC=30°,如圖,若△PBC,△PAC,△PAB的面積分別為,x,y,則x+y的最大值是.向量的數(shù)量積作為平面向量的重點(diǎn)考查內(nèi)容,解決方法多種多樣,不同求解方法雖然各有千秋但本質(zhì)上殊途同歸,能夠在不同場(chǎng)景下靈活應(yīng)用是高效解題的關(guān)鍵.下面闡釋數(shù)量積的六種常見求解方法.若已知或易求對(duì)應(yīng)向量的模與夾角,優(yōu)先考慮用定義法計(jì)算:即已知兩個(gè)非零向量a與b,在向量問題中,若已知向量關(guān)系式,需聯(lián)系條件中的模、數(shù)量積或夾角,考慮用平方法計(jì)算.例如:已知a=λe1+μe2,平方即為a2=(λe1+μe2(2=λ2e+2λμe1.e2+μ2e.坐標(biāo)法是解決向量數(shù)量積的通用方法,一般適用于具備垂直(易建系)、點(diǎn)的坐標(biāo)易寫出,或含有動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量積問題中.數(shù)量積的坐標(biāo)公式:若a=(x1,y1(,b=(x2,y2(,則a.b=x1x2+y1y2.若向量數(shù)量積的相關(guān)要素(對(duì)應(yīng)的模、夾角)未知或不易直接求出,則可考慮把已知向量利用合適的基底表示,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算求解.a.b=(me1+ne2(.(pe1+qe2(,此時(shí)a與b的數(shù)量積計(jì)算即可轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積運(yùn)算.若向量數(shù)量積的相關(guān)要素(對(duì)應(yīng)的模、夾角)未知或不易直接求出,而且在圖形中存在垂足確定的情況,或者其中一個(gè)向量的模為定值,即可考慮利用投影法計(jì)算數(shù)量積.向量a與b的求解向量數(shù)量積.直接求出,而且存在長度確定的線段,如底邊BC或中線AM確定,即可考慮使用極化恒等式,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段長相關(guān)的代數(shù)計(jì)算.如圖,在△ABC中,M為BC的中點(diǎn),設(shè)2-|C|2,例23已知平面向量a,b,c均為單位向量,且|a-b|=1,(a-2b(.(a-c(的取值范圍是A.[-3,3[B.[-2,2[C.[-7,7[D.[-3,3[例例24已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則P.(P+A.-2B.C.D.-1數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸,數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù),是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱,數(shù)列的問題最終歸結(jié)為對(duì)通項(xiàng)的研究,而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列{Sn{的通項(xiàng).求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和是最基本也是最重要的問題之一,與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系,是高考對(duì)數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn).當(dāng)題目中同時(shí)出現(xiàn)關(guān)于Sn,an的式子時(shí),一方面可通過特殊值法(令n=1(求出首項(xiàng),另一方面考慮將等式轉(zhuǎn)化為只含有Sn或只含有an的遞推式,然后再已知Sn可以求得ann≥2,注意最后要驗(yàn)證a1是否滿足an(n≥2(的表達(dá)式,若滿足可合并,若不滿足則要寫成分段形式.①由關(guān)系式消去Sn,建立an與an-1(n≥2(之間的關(guān)系式求an;②由關(guān)系式消去an,建立Sn與Sn-1(n≥2(之間的關(guān)系式求Sn,進(jìn)而求an.例例25設(shè)數(shù)列{an{滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.求{an{的通項(xiàng)公式.n為數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列{Sn{的前n項(xiàng)積,已知(2)求{an{的通項(xiàng)公式.作為常規(guī)的等差數(shù)列或等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解,但也有一些數(shù)列要先構(gòu)造成等差數(shù)列或等比數(shù)列,再應(yīng)用各自的通項(xiàng)公式求解.常見的類型如下.第一類:an+1=pan+q(p,q為常數(shù),p≠0,1)型把a(bǔ)n+1-pan+q化為an+1+λ=p(an+λ(的形式,其中λ由待定系數(shù)法求得,從而構(gòu)造等比數(shù)列an,得出答案.構(gòu)造過程:將an+1=pan+q化為an+1+λ=p(an+λ(,則有q=pλ-λ,所以,n=an,則數(shù)列{bn{是公比為p,首項(xiàng)為a的等比數(shù)列,所以an=(apn第二類:an+1=pan+qn+r(p,q,r為常數(shù),p≠0,1,q≠0)型將an+1=pan+qn+r化為an+1+t(n+1(+λ=p(an+tn+λ(,則有an+1=pan+(p-1(tn+(p-1(λ-t,所以q=(p-1(t,r=(p-1(λ-t,解得t,令bn=an,則數(shù)列{bn{是公比為p,首項(xiàng)為a+第三類:pan+1an=an-an+1(p為非零常數(shù))型在pan+1an=an-an+1(數(shù)列{an{中各項(xiàng)均不為0)的等號(hào)左右兩邊同時(shí)除以an+1an,化為p的形式,從而構(gòu)造公差為p的等差數(shù)列,得出答案.第四類:an+1=pan+rqn(p,r為常數(shù),p≠0,1,r≠0)型形如an+1=pan+rqn(p,r為常數(shù),p≠0,1,r≠0),方法一原遞推式可化為an+1+λqn+1=p(an+λqn(,用待定系數(shù)法求得,從而構(gòu)造首項(xiàng)為a,公比為p的等比數(shù)列anp≠q(,得出答案.方法二原遞推式兩邊同時(shí)除以qn+1,得,引入輔助數(shù)列{bn{(設(shè)bn=2022-2例例28在數(shù)列{an{中,a1=3,an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*(,若an>980,則n的最小值通過構(gòu)造特征方程,借助特征方程的根求得滿足二階線性遞推式的數(shù)列的通項(xiàng)的方法,叫作特征根法.對(duì)于形如an+2=pan+1+qan(p,q為非零常數(shù))的數(shù)列遞推式,構(gòu)造一元二次方程x2-px-q=0,若Δ=p2+4q≥0,設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則①若Δ=p2+4q>0,則x1≠x2,此時(shí),原遞推式可以轉(zhuǎn)變?yōu)閍n+2-x1an+1=x2(an+1-x1an(和an+2-x2an+1=x1(an+1-x2an(,可得數(shù)列{an+1-x1an{是公比為x2的等比數(shù)列,數(shù)列{an+1-x2an{是公比為x1的等比數(shù)列,根據(jù)數(shù)列{an+1-x1an{和{an+1-x2an{的通項(xiàng),易得數(shù)列{an{的通項(xiàng),形式通常為an=Ax+Bx,其中A,B是待定系數(shù),A,B的值可由a1,a2確定.②若Δ=p2+4q=0,則x1=x2,此時(shí),原遞推式可以轉(zhuǎn)變?yōu)閍n+2-x1an+1=x1(an+1-x1an(,可得數(shù)列{an+1-x1an{是公比為x1的等比數(shù)列,且an+1-x1an=(a2-x1a1(x-1,即a2-x1a1(x,可知數(shù)列為等差數(shù)列,易得數(shù)列{an{的通項(xiàng),形式通常為an=(An+B(x,其中A,B是待定系數(shù),A,B的值可由a1,a2確定.對(duì)函數(shù)f(x(,若存在實(shí)數(shù)x0,滿足f(x0(=x0,則稱x0為f(x(的不動(dòng)點(diǎn).對(duì)此定義有兩方面的理解.代數(shù)意義:若方程f(x(=x有實(shí)數(shù)根x0,則y=f(x(有不動(dòng)點(diǎn)x0.幾何意義:若函數(shù)f(x(=x與y=x有交點(diǎn)(x0,y0(,則x0為y=f(x(的不動(dòng)點(diǎn).利用遞推數(shù)列f(n(的不動(dòng)點(diǎn),可以將某些由遞推關(guān)系an=f(an-1((n≥2(所確定的數(shù)列轉(zhuǎn)化為較易求通項(xiàng)的數(shù)列(如等差數(shù)列或等比數(shù)列),這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.下面舉例說明幾種常見的遞推數(shù)列如何用不動(dòng)點(diǎn)法求其通項(xiàng)公式.(1)若數(shù)列{an{滿足an=f(an-1(,則稱f(x(為數(shù)列{an{的特征函數(shù).(2)方程f(x(=x稱為函數(shù)f(x(的不動(dòng)點(diǎn)方程(特征方程),其根稱為函數(shù)f(x(的不動(dòng)點(diǎn).(1)設(shè)f(x(=ax+b(a≠0且a≠1(,{an{滿足遞推關(guān)系an=f(an-1((n≥2(,p為f(x(的不動(dòng)點(diǎn),則an-p=a(an-1-p(.(2)已知數(shù)列{an{滿足anc≠0,ad-bc≠0(,特征函數(shù)為f(x,且首項(xiàng)a1≠f(a1(.①若f(x(有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)p,q,則②若f(x(只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)p,且p≠-d,則.(3)設(shè)函數(shù)f(x,e≠0)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)p,q,且由an=f(an-1(此時(shí)f(xa≠0(.例例30在數(shù)列{an{中,a1=1,a2=2,且an+2=3an+1+4an.(1)證明:{an+1+an{是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an{的通項(xiàng)公式.1.跳躍等差數(shù)列--形如an+2-an=d(d為非零常數(shù))型定義:an+2與an不是數(shù)列{an{中連續(xù)的項(xiàng),故此我們稱滿足an+2-an=d(d為非零常數(shù))條件的數(shù)列{an{為跳躍等差數(shù)列.求解跳躍等差數(shù)列的通項(xiàng),一般有兩種方法:對(duì)數(shù)列下標(biāo)n進(jìn)行換元,分為奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)兩種情況討論.于是an=a2k-1=a1+(k-1(d=ad=ad;于是an=a2k=a2+(k-1(d=ad=ad.注意說明換元求解時(shí),要將最后的結(jié)果還原成關(guān)于n的表達(dá)式.令an=xn+y+z(-1(n,其中x,代入n=1和n=2即可確定此外,跳躍等差數(shù)列還可以衍生出其他類型的數(shù)列遞推關(guān)系:第一類:等和數(shù)列--形如an+1+an=s(s為常數(shù))型定義:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的公和.s為常數(shù)),則數(shù)列{an{為等和數(shù)列,它是一個(gè)周期數(shù)列,周期為2,其通項(xiàng)分為奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.第二類:類等和數(shù)列一形如an+1+an=f(n(型n+an+1=f(n(=An+B(A,B為常數(shù),A≠0(時(shí),則an-1+an=A(n-1(+B,兩式相減得an+1-an-1=A,故{an{是公差為A的跳躍等差數(shù)列,2.跳躍等比數(shù)列--形如q(q為非零常數(shù))型定義:an+2與an不是數(shù)列{an{中連續(xù)的項(xiàng),故此我們稱滿足q(q為非的數(shù)列{an{為跳躍等比數(shù)列.求解跳躍等比數(shù)列通項(xiàng)的方法一般采用換元法,即對(duì)數(shù)列下標(biāo)n進(jìn)行換元,分為奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)兩種情況討論.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),可令n=2k-1(k∈N*(,得k,于是an=a2k-1=a1.qk-1=a1.定義:從第2項(xiàng)開始,如果每一項(xiàng)與它的前項(xiàng)的積是一個(gè)不為零的常數(shù)數(shù)列,那么這個(gè)數(shù)列若an+1.an=p(p為非零常數(shù)),則數(shù)列{an{為等積數(shù)列,它是一個(gè)周期數(shù)列,周期為2,其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.an+1an+2=f(n(=qA(n+1(+B(A,B為常數(shù),A≠0(時(shí),則anan+1=qAn+B,兩式相除得同時(shí),若an=2xn+y+z(-1(n,則an+1=2xn+x+y+z(-1(n+1,an.an+1=22xn+x+2y,例例32數(shù)列{an{滿足a1=1,且對(duì)任意k∈N*,a2k+1=a2例33已知{an{是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1=0,a2=3,an=an-2+2(n∈N*,n≥3),則數(shù)列{an{的通項(xiàng)公式為.倒序相加法相傳來源于高斯在計(jì)算1+2+3+?+n時(shí),“倒序”為n+(n-1(+?+1,將兩式相加,得到n個(gè)相同的數(shù)(即n+1)相加,從而把不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為n個(gè)相同的數(shù)求和.寫和倒著寫的兩個(gè)和式相加,就得到一個(gè)常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法.n=a1+a2+a3+?+an①,且a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?,得Sn=an+an-1+an-2+?+a1②,(1)計(jì)算f(-1(+f(1(,f(-2(+f(2(,f(-3(+f(3(的值;(3)求f(-6(+f(-5(+f(-4(+?+f(4(+f(5(+f(6(的值.這種方法適用于求數(shù)列{an.bn{的前n項(xiàng)和,其中{an{和{bn{分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,且等比數(shù)列的公比q≠1.③將所得的結(jié)果進(jìn)行求和,整理即可.①要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;②在書寫Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便下一步將準(zhǔn)確作差;③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比q=1和q≠1兩種情況求解.(1)求數(shù)列{an{的公比；(2)若a1=1,求數(shù)列{nan{的前n項(xiàng)和.裂項(xiàng)相消法的基本思路是設(shè)法將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)干項(xiàng),并使它們?cè)谙嗉訒r(shí)除了首尾各有一項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)外,其余各項(xiàng)都能前后正負(fù)相消,進(jìn)而-f(n(或an=f(n+k(-f(n(的形式.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià),又要注意求和時(shí),正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng).例例36(2022新高考I)記等差數(shù)列.(1)求{an{的通項(xiàng)公式；若數(shù)列{an{滿足an=bn±cn,且{bn{,{cn{為等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他易于求和的數(shù)列,則可采用分組求和法求{an{的前n項(xiàng)和.例37已知正項(xiàng)數(shù)列{an{的前n項(xiàng)和為Sn,2Sn=an(an+1(,則數(shù)列{(-1(nan{的前101例例38設(shè){an{是公差為d的等差數(shù)列,{bn{是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn{的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*(類型一:若奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式均為已知,則奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和,然后相加得到前n項(xiàng)和.類型二:若已知奇偶項(xiàng)滿足的遞推式,則分別求出奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式,①若an+2-an=d,則奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,則有an=an-1((n為奇數(shù)(;偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列,則有an=an-2((n為偶數(shù)).②若,則奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,則有an=an-1(n為奇數(shù));偶數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列,則有an=an-2(n為偶數(shù)).類型三:若奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)不可求,則可考慮連續(xù)若例例39數(shù)列{an{滿足an+2+(-1(nan=3n-= .例例40已知{an{為等差數(shù)列,{bn{為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3(,b5=4(b4-(1)求數(shù)列{an{和{bn{的通項(xiàng)公式;第一條路徑是微調(diào),看能否使數(shù)列中的前幾項(xiàng)不動(dòng),其余項(xiàng)放縮,從而減小放縮的程度,使之符合所證不等式;第二條路徑是選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試.⑦1=2n+1-1<2n+1=2-2n-1(2n-1((2n+1-1((2n-1((2n+1-1(2n-12n+1-1.往往需要多次嘗試探路,才可能試探到合適的放縮途徑,這樣會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力.如何提前預(yù)判,恰到好處的放縮就尤為關(guān)鍵.當(dāng)出現(xiàn)放縮過度的情況時(shí),可調(diào)整放縮的起點(diǎn),從第k(2≤k≤4(項(xiàng)開始放縮.對(duì)于放縮后,再裂項(xiàng)相消求和的類型,通過裂項(xiàng)后的首項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和即可判斷放縮的精度是否滿足題設(shè)要求.常見的題目無非是從第一項(xiàng)開始放縮、從第二項(xiàng)開始放縮或者從第三項(xiàng)開始從第一項(xiàng)開始放縮,放縮的精度為Sn從第二項(xiàng)開始放縮,放縮的精度為Sn;*(.在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中,常常會(huì)遇到一些含有指數(shù)形式的數(shù)列求和或不等式證明的問題,類似ai<M的形式,難度相對(duì)較高,解題時(shí)可以嘗試?yán)玫缺确趴s的思想,通過目標(biāo)值M或?qū)δ繕?biāo)式通項(xiàng)ai的分析,猜測(cè)放縮的路徑,然后利用輔助不等式或待定系數(shù)法來確定具體的形式.大致過程如下:①目標(biāo)值指引:令M,可得首項(xiàng)b1=M(1-q(,這樣等比數(shù)列{bn{的首項(xiàng)b1②待定系數(shù)法:直接尋找滿足ai<bi或ai≤bi的等比數(shù)列{bn{.通常構(gòu)造不等式an<λqn思想來處理.在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中,有時(shí)候借助數(shù)列的單調(diào)性會(huì)有助于解題.常采取作差法或作商法來判斷,也可結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.an+1-an>0?數(shù)列{an{是單調(diào)遞增數(shù)列;an+1-an<0?數(shù)列{an{是單調(diào)遞減數(shù)列;an+1-an=0?數(shù)列{an{是常數(shù)列.數(shù)列{an{是常數(shù)列.n<0時(shí),數(shù)列{an{是單調(diào)遞增數(shù)列;數(shù)列{an{是常數(shù)列.所謂“糖水不等式”,指的就是:當(dāng)a>b>0,m>0時(shí),有.之所以叫“糖水不等式”,就是這個(gè)不等式蘊(yùn)含著一個(gè)生活小常識(shí):一杯糖水加上一塊糖,它會(huì)變得更甜,即百分比濃度增大.如果把式中的a看成中所含糖的質(zhì)量,m看成是后加的一塊糖的質(zhì)量,那么就是原來糖水的百分比濃度,而就是加糖后的糖水的百分比濃度,顯然加糖后百分比濃度增大,從右往左分子、分母同減一個(gè)正數(shù),分式值會(huì)變小.這個(gè)不等式本身的證明很容易,利用這個(gè)不等式可以進(jìn)行放縮,證明有關(guān)不等式,體現(xiàn)了靈活性、技巧性與趣味性.“糖水抽象的數(shù)學(xué)問題變得簡單化、趣味化,能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.應(yīng)用“糖水不等式”證明有關(guān)問題在高考中常有體現(xiàn),并且具有較強(qiáng)的靈活性.累加公式:an-a1=(an-an-1(+(an-1-an-2(+…+(a2-a1(;a1an-1aa1an-1an-2a1①累加型:an-an-1≤f(n(；②累乘型:g(n(.對(duì)于累加型遞推關(guān)系可結(jié)合累加公式進(jìn)行放縮:an-aak-akf(k(,這種放縮方法稱為累加放縮.對(duì)于累乘型遞推關(guān)系可結(jié)合累乘公式進(jìn)行放縮:g(n(.g.….g(2(,這種放縮方法在遞推數(shù)列中,二次型遞推數(shù)列an+1=pa+qan+r有重要的地位,對(duì)于二次型遞推數(shù)列不等式,我們應(yīng)運(yùn)用恒等變形和構(gòu)造新數(shù)列的方法,并結(jié)合范圍的估計(jì)使之轉(zhuǎn)化為累加型an-an-1≤f(n(或累乘型g(n(,從而實(shí)現(xiàn)累加放縮或累乘放縮.形如an+1=pa+qan+r的二次型遞推數(shù)列可化為:an+1=pa+qan+r→an+1-qan=par→,其中對(duì)式子要進(jìn)行范圍的估計(jì),從而得到t(或≥t(,進(jìn)一步可化為t.qn(或≥t.qn(,此為累加放縮.也可將t(或≥t)化為k≤qk((或≥qk((,此為累乘放縮.利用不動(dòng)點(diǎn),形如an+1=pa+qan+r的二次型遞推數(shù)列也可化為:其中對(duì)式子an+k要進(jìn)行范圍的估計(jì),此為累乘放縮.n{滿足a1=1,an+1=ann∈N*(,則(N*(.記數(shù)列{an{的數(shù)列不等式的證明通常是高中學(xué)習(xí)的難點(diǎn),技巧性很高,尤其是在一些含有對(duì)數(shù)式或指數(shù)式的復(fù)雜的數(shù)列不等式中,常見的一些方法可能難以處理,但如果能夠通過切線放縮的方式,變成一次式或者等差、等比的形式,或者其他易于求和的形式,那么問題的解決可能就變得容易很多.③lnx≤x-1(x>0(,其中y=lnx與y=x-1的圖象相切于點(diǎn)(1,0),如圖2;④lnxx>0(,其中y=lnx與y的圖象相切于點(diǎn)(e,1),如圖2.圖2①ex-1≥x(x∈R(；②e-x≥1-x(x∈R(；⑤xlnx≥x-1(x>0(；用放縮法證明數(shù)列不等式是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容,放縮法靈活多變,技巧性強(qiáng),在使用該方法時(shí)往往把握不好放縮的度,找不到解題的規(guī)律,這時(shí)候可以考慮先構(gòu)造合適的形式,再利用待bn+c≥(n+λ((n+k+λ(,得(b-k-2λ(n+c-λk-λ2≥0.令b-k-2λ=0,c-λk-λ2≥0,聯(lián)立后得k如果成立,則命題得證.如果不成立,則考慮從第二項(xiàng)、第三項(xiàng)甚至第四項(xiàng)開始進(jìn)行放縮,也可以用不同的m值嘗試幾次.如果都不行,那只能重新尋找新的方法.存在k,使得an-bn≥λan(a>b>0,a>1)對(duì)于n≥k恒成立.證明:由an-bn≥λan,得n對(duì)于n≥k恒成立,則mink存在k,使得an<k(an-an+1((n∈N*(恒成立.【注:通常取k】有時(shí)候可以把兩個(gè)結(jié)論k和k≤m(a-b(結(jié)合起來考慮,確定k的取值.即①k,這可以確保起始的放縮式成立;②kam(首項(xiàng)開始放縮)或a1+kam(第二項(xiàng)開始放縮)或a1+a2+kam(第三項(xiàng)開始放縮)甚至第四項(xiàng)開始放縮等等,這可以確保最終的放縮求和結(jié)果滿足精度要求.因此①②結(jié)合,最終界定k值.例47設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n,m,求m的最小值.數(shù)學(xué)歸納法是一種遞推形式的數(shù)學(xué)證明方法,主要用于證明某個(gè)結(jié)論在自然數(shù)范圍內(nèi)成立,如證明一些等式和公式.數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一種比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸椒?只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定結(jié)論對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.第一步證明結(jié)論在常數(shù)的情況下成立,從數(shù)學(xué)的角度看,結(jié)論在常數(shù)的情況下成立,即結(jié)論在特殊的情況下成立,這是證明結(jié)論成立的基礎(chǔ),是最基本的步驟.第二步證明結(jié)論在任意常數(shù)下都成立,在實(shí)際解決問題中,我們通常采用未知數(shù)k來代表一般情況.在n=k的情況下結(jié)論成立,然后推導(dǎo)出n=k+1的時(shí)候結(jié)論也成立.這是證明結(jié)論成立關(guān)鍵的一步,同時(shí)它也代表著所要證明的結(jié)論具有普遍性.在歸納分析的時(shí)候,要將特殊的情況推廣到一般的情況才能證明結(jié)論成立.通常采用“歸納一猜想一證明”的思路,是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式.一般思路是:先通過觀察有限個(gè)特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方想出公式.空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn),也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn),考查空間想象能力及化歸能力.研究此類問題,既要運(yùn)用多面體的知識(shí),又要運(yùn)用球的知識(shí),為了幫助學(xué)生快速解決問題,現(xiàn)將此類問題?？疾榈哪Ｐ瓦M(jìn)行總結(jié).第二步：求DHBD，PO=PH-r，PD是側(cè)面ΔABP的高；第二步：求FHBC，PO=PH-r，PF是側(cè)面ΔPCD的高；等第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC?VP-ABC=SΔABC.r+SPAB.r+SPAC.r+SPBC.r=(SΔABC+SΔPAB+SPAC+SΔPBC).r②在Rt△用勾股定理求解外接球半徑(其中底面外接圓半徑r可根理=2r2=(h-R)2+r2(R為外接球半徑，r為底面外接圓半對(duì)棱相等模型是三棱錐的三組對(duì)棱長分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對(duì)角線長，即P面面垂直模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個(gè)互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ,△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅲ,△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角類型Ⅳ,△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面(其中r1r2為兩個(gè)面的外接圓的半徑，l為兩個(gè)面的交線的長).例例49已知正三棱錐的底面邊長為23,側(cè)棱長為25,則該正三棱錐內(nèi)切球的表面積為. 例50已知在三棱錐P-ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠APC=30°,平面PAC丄平面ABC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.原本不在同一平面上的兩點(diǎn)位于同一平面上,或使一點(diǎn)變成兩點(diǎn),接下來根據(jù)圖形特征,構(gòu)造三角形,利用余弦定理或勾股定理等,計(jì)算出兩點(diǎn)連成的線段長,從而得到幾何體表面上的最短距離.將目標(biāo)幾何體按照題設(shè)條件進(jìn)行展開,選擇路徑進(jìn)行計(jì)算,多條路徑對(duì)比下,選擇最短路對(duì)于長方體,求從A到B的最短路徑.如圖,觀察該長方體的展開圖,不難發(fā)現(xiàn)從A到B的路徑有根據(jù)題設(shè)條件,進(jìn)行選擇即可.棱錐等,選擇合適的棱或母線進(jìn)行展開即可.此類問題路徑是唯一確定的,只需要畫出幾何體的側(cè)面展開圖,利用勾股定理或解三角如圖,E,F分別是棱PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),求△AEF周如圖,對(duì)于棱柱ABC-A1B1C1,D是棱B1C1的中點(diǎn),M是棱BC上的動(dòng)點(diǎn),求AM+MD的最小值如圖,正方體內(nèi),P為A1B上的動(dòng)點(diǎn),求AP+PD1的折疊問題是立體幾何考查的熱點(diǎn),同時(shí)也是難點(diǎn)問題.對(duì)于折疊問題,有如下解題策略:之間的位置關(guān)系可能會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理,而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.所謂的關(guān)鍵點(diǎn),是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn).因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng),會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)用一個(gè)平面去截幾何體,得到的平面圖形,叫作這個(gè)幾何體的截面,此平面與幾何體表面的交線叫作截線,此平面與幾何體的棱的交點(diǎn)叫作截點(diǎn).解決立體幾何中的截面問題,常使用交線法.確定截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn),有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線,從而可求得截面.確定平面ABCD與平面BFD1E的交線平面AA1D1D,平面AA1B1B與兩平面均相交?延長D1F,DA,交于點(diǎn)M;FB∩AB=B?連接MB,MB即為所求,圖2視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為()例例52已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體在立體幾何中,求解平面的法向量是解題的常規(guī)操作,下面介紹三種求解平面法向量的方法,常規(guī)法是我們?cè)诹Ⅲw幾何解答題中書寫過程的規(guī)范,對(duì)于截距法、行列式法只可以作為我們快速求解平面法向量的方法或者對(duì)已求解出的法向量進(jìn)行驗(yàn)證,不可以書寫到解題過程中.如圖,若平面EGF在x,y,z軸上的截距分別為a,b,c(abc≠0(,則平面EGF的一個(gè)法證明:設(shè)F(a,0,0(,G(0,b,0(,E(0,0,c(,則a,bb,c),設(shè)平面EGF的法向量為n=(x,y,z),則取x,則n為平面EGF的一個(gè)法向量.如果平面與坐標(biāo)軸(如y軸)平行,可視截距為+∞,當(dāng)平面過原點(diǎn)時(shí),在x,y,z軸上的截距有0,0的倒數(shù)不存在,所以此時(shí)平面的法向量不能用截距法來求.若一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量為a=(1,2,4(,b=(2,1,5(,則該平面的一個(gè)法向量可用以下方法求解.124124215215取中間:2×5-4×1=6;4×2-1×5=3;1×1-2×2=-3.求得平面的法(6,3,-3),即(2,1,-1).行列式法適用于求解各種類型平面的法向量,但需要注意的是,考試時(shí)所寫的解題過程中不可以呈現(xiàn)該種方法,此方法可以幫助我們快速確定法向量或?qū)σ亚蟮玫姆ㄏ蛄窟M(jìn)行驗(yàn)證.例例53如圖1,AE⊥平面ABCD,CF?AE,AD?BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(2)若二面角E-BD-F的余弦值為,求線段CF的長.建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是解決立體幾何問題的關(guān)鍵,往往在建系的過程中,我們都是尋找從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩互相垂直的棱,作為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸,但是并不是所有的幾何體都存在上述情況,于是建系就遇到了障礙.接下來,我們將對(duì)常見的幾何體的“底圖”進(jìn)行研究,熟悉相關(guān)的幾何性質(zhì)與建系方法,有助于同學(xué)們突破立體圖形的建系難點(diǎn).第一類:底圖為“有一個(gè)角為60°的菱形”圖2圖4圖7圖5第三類:底圖為“矩形”對(duì)于底圖是矩形的問題,常常出現(xiàn)在折疊問題中.常見的有以下三種情況(如圖6).圖6易證明AE丄BD,所以我們可以選擇AE與BD的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行建系.除此之外,還存在以下兩種情況(如圖7).在建系過程中,要關(guān)注邊的長度,若滿足勾股定理,即存在垂直,也可由此尋得空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).第四類第四類:底圖為“圓圖8例54如圖1,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).DE；(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.生思考與求解問題的思維障礙,使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性,常見的題型有動(dòng)(1)定義法:結(jié)合題設(shè)條件,判斷動(dòng)點(diǎn)(2)坐標(biāo)法:根據(jù)題設(shè)中的立體圖形建立坐標(biāo)系,求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,由此確定軌跡.(3)截面法:若動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡形成一個(gè)空間曲面(含平面),再用給定的平面去截這個(gè)曲面,截線即為動(dòng)點(diǎn)M在給定平面上的軌跡.(4)交軌法:若動(dòng)點(diǎn)滿足兩種不同的軌跡,可以得知該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為兩種軌跡的公共部分.的關(guān)系,例如平行或垂直,特定的角度或者某種距離關(guān)系.下面提供三種解決此類問題的方法.利用空間向量求解該類問題是最常見的方法,具體步驟(1)假設(shè)該點(diǎn)存在,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo);(3)利用直線的方向向量和平面的法向量表示出相應(yīng)的位置關(guān)系或角度關(guān)系或距離關(guān)系,進(jìn)而建立等式,求解后得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；(4)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,判斷動(dòng)點(diǎn)是否存在動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)平面或者某條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足某種條件的點(diǎn)往往是一些特殊點(diǎn),如某條線過程往往比向量法簡單一些.此方法一般用于求參數(shù)范圍或者線段、面積、體積的范圍.動(dòng)點(diǎn)變化往往有一定的條件限定取值范圍或者最值.解題步驟如下:例例55如圖1,矩形ABCD中,AB=1,BC=3,將△ABD沿對(duì)角線BD向上翻折,若翻折過程中AC的長度在內(nèi)變化,則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為.E為AC的中點(diǎn).(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.空間余弦定理:在四面體ABCD中,設(shè)異面直線AC,BD所成的夾角為,證明:如圖,在四面體ABCD中,設(shè)異面直線AC,BD所成的夾角為θ,A.B=A.(A-A(=A.A-A.A=|A|.|A|cos∠CAD-|A|.AD2+BC2-AB2-CD2推論:在四面體ABCD中,利用空間余弦定理的關(guān)鍵在于構(gòu)造出空間四邊形,并且空間四邊形邊長及對(duì)角線長可求,為了快速求出空間四邊形的邊長,我們一般把幾何體放置在長方體或直棱柱中.例例57如圖1,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),AB=2,AD=23,∠BAD=90°.求異面直線BC與MD所成角的余弦值.空間向量在解決立體幾何中有關(guān)位置關(guān)系問題及其延伸出來的相關(guān)問題時(shí)有著比較廣泛的應(yīng)用,在解題過程中,學(xué)生通常偏愛于用坐標(biāo)法來解決問題,但實(shí)際上,利用向量基底法求解不僅過程可能更簡潔,而且在許多問題中往往更具有優(yōu)勢(shì).基底法的一般思路:將待表示的未知向量用已知長度且已知夾角的不共面的向量例例58在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1如圖,已知AD⊥平面α,設(shè)二面角A-BC-D的平面角為θ,則例例59(2022新高考I節(jié)選)如圖1,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為22,設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.等體積法是指在棱錐中,通過變換頂點(diǎn)與底面求棱錐的體積.一般情況下,變換頂點(diǎn)的方式有:利用平行變換頂點(diǎn),利用對(duì)稱變換頂點(diǎn),利用線段間的比例關(guān)系變換頂點(diǎn).等體積法除了可以求棱錐的體積,還可以解決空間角度與距離問題.接下來重點(diǎn)講述點(diǎn)面距離與線面角問題.求點(diǎn)或直線到平面的距離,可以把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化成三棱錐的高h(yuǎn),然后求出這個(gè)高對(duì)應(yīng)底面的面積S1、另外一個(gè)底面的面積S2和相應(yīng)的高h(yuǎn)2,利用體積相等建立方程S1h= S2h2,解方程求出h即可.通過構(gòu)造三棱錐利用等體積法求出直線上的點(diǎn)到平面的距離h,再求出斜線段的長度l,這樣例例60如圖1所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD丄底面ABCD且AB=1,PA=AD=PD=2,E為PD的中點(diǎn).求點(diǎn)B到平面ACE的距離.例例61如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點(diǎn).(2)求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值.在排列組合中把有要求滿足某種條件的元素或位置稱為特殊元素或特殊位置,對(duì)于這類問題一般采取優(yōu)先處理的方法.當(dāng)問題正面分類較多或計(jì)算較復(fù)雜,而問題的反面分類較少或計(jì)算更簡便時(shí),常常使用間接法,即先不考慮特殊元素(位置),求出所有元素的全排列數(shù),再減去不滿足特殊元素(位置)要求某些元素要求必須相鄰時(shí),可以先將這些元素看成一個(gè)整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰公式:N=A--.A(其中n為元素的總個(gè)數(shù),m為相鄰元素的個(gè)數(shù),且m≤n).某些元素要求不相鄰時(shí),可以先排其他元素,再將這些不相鄰元素插入空擋,這種方法稱為“插空法”,通常說法是“不相鄰問題插空法”.N=A--.A-m+1(其中n為元素的總個(gè)數(shù),m為不相鄰元素的個(gè)數(shù),且相同元素不相鄰問題:n個(gè)不同的元素排成一列,再將m(m≤n+1(個(gè)相同元素排進(jìn)來且相同元素不能相鄰,求排法總數(shù).其公式為N=A.C1.相同元素內(nèi)部不需要排序,所以只需要選空就行.元素之間的順序固定不變,??,-直到另有nr個(gè)元素之間的順序固定不變,且n1+n2+?+nr=n,則其排列總數(shù)計(jì)算公式是N.在n個(gè)元素中,有n1個(gè)元素相同,又另有n2個(gè)元素相同,??,一直到另有nr個(gè)元素相同,且n1+n2+?+nr=n,這n個(gè)元素的排列問題叫作不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題,其計(jì)算公式是N.n個(gè)不同的元素依照不同的順序并按一定的方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)排成環(huán)狀稱為圓排列或環(huán)狀排列問題,其排列數(shù)計(jì)算公式為N.其中,順序不同的排法才算不同的排列,而順序相同(即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合)的排法認(rèn)為是方法:假想將某一種已經(jīng)排好的環(huán)剪開,根據(jù)剪法的不同,可以得到以下m種不同的線性排m,?,am-1,即m個(gè)不同的元素的線性全排列是環(huán)形全排列的m倍,于是有向環(huán)形排列的總數(shù)為N=.從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)不同元素排成一個(gè)無向環(huán)形(即不區(qū)別順時(shí)針和逆時(shí)針).方法:即總數(shù)為N.沒有特別表明元素相同的情況下,本節(jié)元素通常都是默認(rèn)為不同元素.甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有60種,那么這m位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí),不同的站法總數(shù)為()當(dāng)n個(gè)人排成一列時(shí),若重新站隊(duì),每個(gè)人都不站在原來的位置上,探究不同的站隊(duì)方式共有多少種的問題即為錯(cuò)排問題.例如a,b,c,d,則d,c,a,b是其中一個(gè)錯(cuò)位排列.易得3個(gè)元種可以作為小結(jié)論掌握.①第2個(gè)人恰好站在第1個(gè)位置,則余下的(n-2)個(gè)人有an-2種站隊(duì)方3個(gè)位置,第4個(gè)人不站在第4個(gè)位置,...,第n個(gè)人不站在第n個(gè)位置,也即相當(dāng)于轉(zhuǎn)化為(n-1)個(gè)人的錯(cuò)排問題,所以有an-1種站隊(duì)方式.由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理,我們便得到了數(shù)列{an{的遞推關(guān)系式:an=(n-1((an-2+an-1((n>2,n∈N*(,顯然,a1=0,a2=1,典型問題:錯(cuò)位排列最常見的類型是賀卡問題與信封問題.下面介紹伯努利信封問題.用A,B,C,…表示寫著n位友人名字的信封,a,b,c,…表示n份相應(yīng)寫好的信紙.把錯(cuò)誤裝法的總數(shù)記為f(n(.假設(shè)把a(bǔ)錯(cuò)裝進(jìn)B信封,包含這種錯(cuò)①b裝入A信封,這時(shí)每種錯(cuò)誤裝法的其余部分都與A,B,a,b四者無關(guān),應(yīng)有f(n-2(種錯(cuò)誤裝法;②b裝入A,B之外的一個(gè)信封,這時(shí)的裝信工作實(shí)際是把(n-1)(除a之外的)份信紙b,c,…裝入除B以外的(n-1)個(gè)信封A,C,…,顯然這時(shí)裝錯(cuò)的方法有f(n-1)種.因此在a錯(cuò)裝進(jìn)B信封的情況下,有錯(cuò)誤裝