/2024-2025學年重慶市高二上期10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是空間的一個基底，那么下列選項中不可作為基底的是（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)共面向量的判斷方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷.【詳解】對A：設，即，因為不共面，故不存在實數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底；對B：因為存在實數(shù)，使得，故共面，不可作為基底；對C：設，即，因為不共面,故不存在實數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底；對D：設，即，因為不共面，故不存在實數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底.故選：B.2.如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用空間向量的線性運算，用基底表示向量.【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.3.已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【正確答案】D【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D4.已知向量，，，當時，向量在向量上的投影向量為（）（用坐標表示）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.【詳解】，，解得，，所以在上的投影向量為.故選：A.5.空間內(nèi)有三點，則點P到直線EF的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出，得到直線EF一個單位方向向量，利用點到直線距離公式得到答案.【詳解】因為，所以直線EF的一個單位方向向量為．因為，所以點P到直線EF距離為．故選：A6.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（）A. B.3 C.2 D.5【正確答案】B【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系計算求解即可.【詳解】因為平面，平面，所以，又因為四邊形是矩形，所以，以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，所以，，所以．故選：B7.已知正方體不在同一表面上的兩個頂點，，則正方體的體積為（）A.32 B.64 C.48 D.【正確答案】B【分析】利用空間兩點距離公式求得正方體的體對角線長，然后求出正方體的棱長，進而求出正方體的體積.【詳解】，又因為，兩點不在同一表面上，所以A，B兩點間的距離即為正方體的體對角線長.設正方體的邊長為a，則，即，所以正方體的體積為64.故選：B8.已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】夾角為鈍角只需滿足，排除共線的情況即可.【詳解】由，解得當共線時，由，即解得，所以當夾角為鈍角時，故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（多選）下面關于空間直角坐標系的敘述正確的是（）A.點與點關于z軸對稱B.點與點關于y軸對稱C.點與點關于平面對稱D.空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分【正確答案】BD【分析】結(jié)合空間直角坐標系的概念對選項逐一分析即可.【詳解】點與點關于x軸對稱，故錯誤；點與關于y軸對稱，故正確；點與不關于平面對稱，故錯誤；空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分，故正確．故選.10.下列說法錯誤的是（）A.若是空間任意四點，則有B.若，則存在唯一的實數(shù)，使得C.若共線，則D.對空間任意一點與不共線的三點，若（其中），則四點共面【正確答案】BCD【分析】利用向量加法運算判斷A；利用共線向量定理判斷B；利用向量共線的意義判斷C；利用共面向量定理判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，當時，不存在，B錯誤；對于C，共線，可以在同一條直線上，C錯誤；對于D，當時，四點不共面，D錯誤.故選：BCD11.已知正三棱柱的所有棱長都為2，P是空間中的一動點，下列選項正確的是（）A.若，則的最小值為2B.若，則三棱錐P-ABC的體積為定值C.若，則直線AP與平面ABC所成角的正弦值的最大值為D.若，則平面PBC截三棱柱所得的截面面積為【正確答案】BCD【分析】如圖，建立空間直角坐標系，由，求出，由空間中兩點的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；由點到平面的距離公式和三棱錐的體積公式可判斷B；由線面角的向量公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；先求出點，再求出平面PBC截三棱柱所得的截面，即可判斷D.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，B（0，1，0），C（0，-1，0），，，．因為，所以，所以，所以．當，時，，所以A錯誤；因為，所以，因為平面ABC的法向量為，所以點P到平面ABC的距離為為定值，即三棱錐P-ABC的體積為定值，所以B正確；因為，平面ABC的一個法向量為，設AP與平面ABC所成的角為θ，所以，，當時，，所以C正確；因為，所以，由圖可知平面PBC截三棱柱所得的截面為，，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知點、，C為線段AB上一點，若，則點C的坐標為__________．【正確答案】【分析】利用空間向量的坐標運算法則求解即可.【詳解】，，得，，即點的坐標為.故答案為.13.在四面體中，，，，，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算進行求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.又，，所以，所以.又，所以．故30°14.如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為______．【正確答案】##-0.125【分析】根據(jù)給定條件，證明平面PAB，將用表示出，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】連接，如圖，因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，則平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中點，則，又，，當且僅當取“=”，所以的最小值為.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，.（1）求；（2）求；（3）求.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】由空間向量的數(shù)量積，模長公式及夾角公式的坐標運算直接求解.【小問1詳解】;【小問2詳解】,則；【小問3詳解】，則16.如圖，在正方體中，分別是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（2）根據(jù)平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.【小問1詳解】以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以直線與所成角的余弦值為；【小問2詳解】設平面的法向量為，則得取，則，得平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為．17.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設，，．（1）求的長；（2）求和夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后結(jié)合空間數(shù)量積公式求出，求出答案；（2）先求出，結(jié)合空間向量夾角余弦公式求出答案.【小問1詳解】由題意得，又，，，，，故，故；【小問2詳解】，則.18.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，平面平面，．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說用理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）存在；【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：在中，，，由余弦定理，得，所以，即．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．【小問2詳解】設，的中點分別為，，連接，，因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因為，分別為，的中點，所以，又，所以，即，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，B1,0,0，，，，設，則，所以．，，設m=x,y,z是平面的法向量，則即令，則，，即平面的一個法向量為．設直線與平面所成角，又，則，即，解得．所以存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時．19.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖一，球的半徑為，為球面上三點，劣弧的弧長記為，設表示以為圓心，且過的圓，同理，圓，的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做球面三角形，若設二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為.（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；（2）若將圖一中四面體截出得到圖二，若平面三角形為直角三角形，，設，，.①求證：；②延長與球交于點，連接，若直線與平面所成的角分別為，，，，為中點，為中點，設平面與平面的夾角為，求的最小值.【正確答案】（1）（2）①證明見解析；②.【分析】（1）根據(jù)平面，平面，平面兩兩垂直，得，即可求解；（2）①根據(jù)余弦定理及勾股定理即可證明；②建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】解：因為平面，平面，平面兩兩垂直，所以，所以球面三角形ABC的面積；【小問2詳解】解：①證明：由余弦定理可得：，且,所以，即，消去，則有：即；②由題意可知是球的直徑，則有,又，所以平面，又因為平面