§8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．知識(shí)梳理1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ______0Δ______0Δ______0幾何觀點(diǎn)d______rd______rd______r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝________________________________________________________________________.(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝________________________________.常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離．()(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切．()(4)在圓中最長的弦是直徑．()2．(選擇性必修第一冊P93T1改編)直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交3．(選擇性必修第一冊P93T3改編)直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)4．(選擇性必修第一冊P98練習(xí)T1改編)圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關(guān)系是()A．外切B．相交C．外離D．內(nèi)切題型一直線與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1位置關(guān)系的判斷例1(1)M(x0，y0)為圓x2＋y2＝1內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x＋y0y＝1與該圓的位置關(guān)系為()A．相切 B．相交C．相離 D．相切或相交(2)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．命題點(diǎn)2弦長問題例2(1)(2023·滁州模擬)已知過點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)|AB|＝2eq\r(3)時(shí)，直線l的方程為________________________．(2)(2023·新高考全國Ⅱ)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值為________．思維升華弦長的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).命題點(diǎn)3切線問題例3已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華當(dāng)切線方程斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．命題點(diǎn)4直線與圓位置關(guān)系中的最值問題例4已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為________．思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練1(1)若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1相交，則()A.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1 B.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1C．a(chǎn)2＋b2<1 D．a(chǎn)2＋b2>1(2)直線l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4題型二圓與圓的位置關(guān)系例5(1)(2024·齊齊哈爾模擬)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關(guān)系為()A．內(nèi)含B．相交C．外切D．外離(2)(2023·重慶模擬)圓A：x2＋y2＝4與圓B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為()A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0跟蹤訓(xùn)練2(1)若圓x2＋y2＋4x－4y＝0和圓x2＋