四川省德陽市第五中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.已知平面向量，，若，則（）A.-9 B.-4 C.4 D.9【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程求解即可.【詳解】，，解得.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，.故選：C3.為落實(shí)“雙碳”目標(biāo)，某環(huán)保組織調(diào)研10個(gè)國家2024年度的人均碳排放強(qiáng)度（單位：噸/人·年）后，得到數(shù)據(jù)如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義計(jì)算求解.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大為：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，且，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是.故選：B.4.若m，n為兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中真命題的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定判斷AC；利用面面平行性質(zhì)判斷B；利用線面平行的判定判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，在平面取點(diǎn)，在此平面內(nèi)作，而，，則，而，則，而，因此，A正確；對(duì)于B，由，，，得或是異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在長方體中，平面與平面分別為，直線分別為，滿足，而平面，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，得或，D錯(cuò)誤.故選：A.5.已知直角梯形的上底長為1，下底長為2，高為，則直角梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，將所求轉(zhuǎn)換為圓錐、圓柱的表面積計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，則直角梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積，加上圓柱的側(cè)面積，再加上圓柱的一個(gè)底面的面積，而圓錐的母線長為，故所求為.故選：C.6.如圖，在棱長為2的正四面體中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，過作的平行直線，利用幾何法求出異面直線夾角的余弦.【詳解】在正四面體中，取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.7.，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，先求，再利用向量的模長公式可得即可求解.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)取等，所以的最大值是.故選：C.8.如圖，為的重心，過點(diǎn)的直線分別與，交于點(diǎn)，，且，，其中，則的最小值為（）A. B.3 C. D.9【答案】B【解析】【分析】連接并延長交于點(diǎn)，由為的重心可得，且，將條件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案.【詳解】如圖，連接并延長交于點(diǎn)，因?yàn)榈闹匦?，則，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，故（*），因，，則有，，，代入（*）可得：，即，因三點(diǎn)共線，故，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為3.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)在最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)是奇函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；由可求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換以及正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則，該函數(shù)為奇函數(shù)，D對(duì).故選：AD.10.關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）A.若，，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)和，則B.若，，則向量，的夾角為鈍角C.若，，且和的夾角為，則D.若點(diǎn)在同一平面內(nèi)，且，則三點(diǎn)共線【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用向量垂直的充要條件即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律計(jì)算即可排除；對(duì)于D，利用平面向量基本定理即可推得.【詳解】對(duì)于A，因，則，故，即A正確；對(duì)于B，由，且與不共線，則向量，的夾角為鈍角，故B正確；對(duì)于C，因，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得，，即與共線，故三點(diǎn)共線，即D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列說法中正確的是（）A.存在點(diǎn)使得平面B.直線與平面所成角正弦值為C.的最小值為D.若點(diǎn)在正方體，表面上運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】BCD【解析】【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直線與平面相交判斷A；利用定義法作出線面角，并在直角三角形中求出線面角的正弦判斷B；把三角形與三角形置于同一平面內(nèi)，利用余弦定理求出線段長判斷C；先利用線面垂直的判定推理平面，取棱的中點(diǎn)利用面面平行的判定推理得平面平面，進(jìn)而平面，從而求出點(diǎn)的軌跡為正六邊形，求解周長即可判斷D．【詳解】對(duì)于A：先證平面平面，由正方體性質(zhì)可知，且，且，所以四邊形和均為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫谄矫嫱猓云矫妫矫?，又平面，，所以平面平面，又為的中點(diǎn)，為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），所以直線與平面相交，從而直線與平面相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：連接，則，由平面，平面，得，又，，平面，則平面，過作交于，連接，于是平面，是直線與平面所成的角，，，所以，故B正確；對(duì)于C，把三角形與三角形置于同一平面內(nèi)，連接，則的最小值為，在中，，，，由余弦定理得，C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)知平面，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，平面，故平面；如圖，取棱的中點(diǎn)分別為，連接，可得六邊形為正六邊形，而，平面，平面，故平面，同理可證平面，，，平面，故平面平面，所以平面，即過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面即為正六邊形，邊長為，其周長為，所以點(diǎn)的軌跡為正六邊形，則點(diǎn)的軌跡長度為，D正確．故選：BCD三、填空題（本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.）12.已知某地區(qū)有小學(xué)生12000人，初中生11000人，高中生9000人，現(xiàn)在要了解該地區(qū)學(xué)生的近視情況，準(zhǔn)備抽取320人進(jìn)行調(diào)查，則按比例分配的分層抽樣應(yīng)該抽取高中生______人.【答案】90【解析】【分析】先求出高中生所占的比例，根據(jù)分層抽樣定義計(jì)算即得.【詳解】由題意，應(yīng)該抽取高中生的人數(shù)為：.故答案為：90.13.已知，，，，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)角的范圍分別求出和，繼而利用拆角的方法結(jié)合兩角和差的正弦公式，即可求得答案.【詳解】由，得，結(jié)合，知；由，得，結(jié)合，知，故，故，故答案：14.在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面，若，，則這個(gè)四棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】【分析】先求得四棱錐的外接球的半徑，再去求外接球表面積即可解決.【詳解】取BC中點(diǎn)E，連接EA、ED，取PC中點(diǎn)H，連接EH、BH，等腰梯形中，，，則有，則四邊形為平行四邊形，則，又，則為等邊三角形，則，則為等邊三角形則，故點(diǎn)E為等腰梯形的外接圓圓心，中，，則又底面，則底面，又，，即，故點(diǎn)H為四棱錐的外接球球心，球半徑則四棱錐外接球表面積為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.遂寧市為進(jìn)一步發(fā)展遂寧文旅，提升遂寧經(jīng)濟(jì)，現(xiàn)對(duì)“五一”假期部分游客發(fā)起滿意度調(diào)查，從飲食、住宿、交通、服務(wù)等方面調(diào)查旅客滿意度，滿意度采用百分制，統(tǒng)計(jì)的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中.（1）求圖中的值，并估計(jì)此次調(diào)查中綜合滿意度得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）求此次調(diào)查綜合滿意度的第75百分位數(shù)（3）若參與本次調(diào)查游客共有2000名，請(qǐng)估計(jì)在參與調(diào)查的2000名游客中綜合滿意度打分不低于平均分的人數(shù).【答案】（1），76.5（2）85（3）1045【解析】【分析】（1）結(jié)合已知根據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形面積之和為1列式得，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解即可；（2）先確定累計(jì)頻率為0.75所在的區(qū)間，然后根據(jù)頻率列式求解即可；（3）先求出不低于平均分的頻率，然后求解人數(shù)即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，，又，解得，平均分為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得，前3組頻率之和為0.6，第四組頻率為0.3，故第75百分位數(shù)在，則.【小問3詳解】由（1）知平均分為，故不低于平均分的頻率為，則打分不低于平均分的人數(shù)為.16.若的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，若圖象的一個(gè)對(duì)稱軸為，求的最小值；（3）在第（2）問的前提下，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）（3）單增區(qū)間為，單減區(qū)間為【解析】【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)平移原則得gx=2cos2x（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，解不等式，結(jié)合的范圍，可求單調(diào)增區(qū)間，余下即為減區(qū)間【小問1詳解】由圖知周期，∴且A=2，∴，把，y=0代入上式得cosφ?π∴φ?π6又，∴.即.【小問2詳解】gx由題意得：2?5π6∵，∴當(dāng)k=2時(shí)，的最小值為.【小問3詳解】此時(shí)，令，解得，結(jié)合，得，于是函數(shù)在上的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中A,ω,φ的意義是正確解題的關(guān)鍵，三角函數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)稱性、單調(diào)性，屬于中檔題．為振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通過圖象我們可得和,稱為初象，通常解出A，之后，通過特殊點(diǎn)代入可得.17.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用正弦的和角公式轉(zhuǎn)化，然后解方程即可求得；（2）利用正弦定理，得到關(guān)于的函數(shù)，再求該函數(shù)的值域，結(jié)合面積公式即可求得.【詳解】（1）由正弦定理有，又由，代入上式得，，由，有，上式可化為：，得，由，有，故有，故；（2）由（1）知，，由正弦定理有，由為銳角三角形，有，得，有，可得，故面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理將邊化角，以及利用正弦定理求解三角形面積范圍，涉及正弦的和角公式，屬解三角形中的經(jīng)典重點(diǎn)題型.18.如圖，在四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，平面.（1）證明：平面（2）求證：平面平面（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）由已知可得，，由線面垂直的判定定理可得面，進(jìn)而即可證得結(jié)論；（3）由平面可得，作于，可知面，所以為直線與平面所成角，在直角中求解即可．【小問1詳解】∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】∵平面，平面，∴，連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴平行四邊形為正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.【小問3詳解】∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，∴∴為二面角的平面角，從而，所以，作于，連接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以為直線與平面所成角，在直角中，，，，∴，因?yàn)槊?，面，所以，在直角中，，，∴，則直線與平面所成角的正切值為.19.若函數(shù)和均存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)完全相同，則稱和是一對(duì)“共零函數(shù)”.（1）判斷與是否為“共零函數(shù)”，并說明理由；（2）已知與是一對(duì)“共零函數(shù)”，求的值；（3）已知是實(shí)數(shù)，若函數(shù)與是一對(duì)“共零函數(shù)”，函數(shù)與也是一對(duì)“共零函數(shù)”，求的值.【答案】（1）不是；（2）；（3）.【解