§2.4函數(shù)的周期性和對(duì)稱性分值：90分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，則f(2026)等于()A.1 B.0 C.1 D.22.函數(shù)y=ex與y=ex的圖象()A.關(guān)于x軸對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱3.若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=2x+11的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則f(4)的值為()A.1B.B.1 C.2 D.24.(2024·茂名模擬)函數(shù)y=f(x)和y=f(x2)均為R上的奇函數(shù)，若f(1)=2，則f(2025)等于()A.2 B.1 C.0 D.2二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.已知函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)f(2x)=0，則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D.函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱6.(2025·漳州質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)不恒等于0，f(π)=0，且對(duì)任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(xy)，則()A.f(0)=1B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)中心對(duì)稱D.2π是f(x)的一個(gè)周期三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·龍巖模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2x)，且f(x)在(∞，2]上單調(diào)遞減，則不等式f(2x+3)≤f(1)的解集為.

8.(2025·八省聯(lián)考)已知曲線C：y=x32x，兩條直線l1，l2均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，l1和C交于M，N兩點(diǎn)，l2和C交于P，Q兩點(diǎn).若△OPM的面積為2，則△MNQ的面積為四、解答題(共27分)9.(13分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.(1)證明：f(x)是周期函數(shù)；(6分)(2)若當(dāng)x∈[2，2]時(shí)，f(x)=x2+1，求當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，f(x)的解析式.(7分)10.(14分)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)b為奇函數(shù).(1)若f(x)=x33x2，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；(9分)(2)類比上述推廣結(jié)論，寫(xiě)出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.(5分)11~13題每小題5分，14題6分，共21分11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，fx+12為偶函數(shù)，f(2x)+f(x)=0，f13=12，則fA.12 B.13 C.012.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x2)為偶函數(shù)，f(x3)+f(x+1)=0，當(dāng)x∈[1，0]時(shí)，f(x)=x+1，則19Σk=1f(k)等于(A.19 B.0 C.1 D.113.(2025·呂梁模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+f(xy)=23f(x)f(y)，f(1)=32，則下列結(jié)論不正確的是(A.f(0)=3B.函數(shù)f(2x1)的圖象關(guān)于直線x=12C.f(x)+f(0)≥0D.f(x)的周期為314.(多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x)+f(y)=f

x+y2

f

x-y2，且A.f(0)=3B.f(x)=f(x)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)12D.f(1)+f(2)+…+f(2024)=0答案精析1.B2.C3.A4.D[因?yàn)閥=f(x2)為奇函數(shù)，f(x2)=f(x2)，所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，即f(x)+f(x4)=0，又y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)=f(x)，有f(x)=f(x4)?f(x+4)=f(x)，所以y=f(x)的一個(gè)周期為4，故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=f(1)=2.]5.BD[由f(x)f(2x)=0，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.對(duì)f(x)f(2x)=0求導(dǎo)，得f'(x)+f'(2x)=0，則函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以A，C錯(cuò)誤，B，D正確.]6.ABC[對(duì)于A，根據(jù)題意令x=y，則由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(xy)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等于0，則f(0)=1，即A正確；對(duì)于B，令y=x，可得f(2x)+f(2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(2x)，即對(duì)任意的x∈R滿足f(x)=f(x)，即f(x)是偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，令x+y=π，則由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(xy)，可得f(2π2y)+f(2y)=2f(π)f(π2y)=0，即f(x)滿足f(2πx)+f(x)=0，因此可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)中心對(duì)稱，即C正確；對(duì)于D，由于f(x)是偶函數(shù)，所以滿足f(x2π)+f(x)=0，即f(x)+f(x+2π)=0，可得f(x2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π是f(x)的一個(gè)周期，即D錯(cuò)誤.]7.[1，0]解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又因?yàn)閒(x)在(∞，2]上單調(diào)遞減，則f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞增，則由f(2x+3)≤f(1)得|2x+32|≤|12|，即|2x+1|≤1，解得1≤x≤0，則不等式的解集為[1，0].8.22解析因?yàn)楹瘮?shù)y=x32x為奇函數(shù),所以曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又兩條直線l1和l2均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,則P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則四邊形PNQM為平行四邊形又S△OPM=2,則S△MNQ=22.9.(1)證明因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f(x+2)=f(2x)，即有f(x)=f(x+4)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，有f(x)=f(x)，所以f(x+4)=f(x)=f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)解當(dāng)x∈[2，2]時(shí)，f(x)=x2+1，又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，x4∈[2，2]，所以f(x)=f(x4)=(x4)2+1，所以f(x)=(x4)2+1=x2+8x15，x∈[2，6].10.解(1)設(shè)函數(shù)f(x)=x33x2的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)P(a，b)，g(x)=f(x+a)b，則g(x)為奇函數(shù)，故g(x)=g(x)，故f(x+a)b=f(x+a)+b，即f(x+a)+f(x+a)=2b，即[(x+a)33(x+a)2]+[(x+a)33(x+a)2]=2b.整理得(3a3)x2+a33a2b=0，故3a-3=0所以函數(shù)f(x)=x33x2的圖象的對(duì)稱中心為(1，2).(2)推論：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).11.A[因?yàn)閒x+所以f

-x+12所以f(x+2)=f(x1)，又因?yàn)閒(2x)+f(x)=0，故f(x1)+f(x)=0，即f(x)=f(x1)，所以f(x1)=f(x2)，故f(x)=f(x2)，故函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2，故f

163=f

-23+6在f(x1)+f(x)=0中，令x=13f

-23+f

1因?yàn)閒

13=1所以f

-23=故f

163=f

-23=1212.D[因?yàn)閒(x2)是偶函數(shù)，所以f(x2)=f(x2)，則f(x)=f(4x)，①即對(duì)稱軸為直線x=2，又因?yàn)閒(x3)+f(x+1)=0，所以f(x3)=f(x+1)，則f(x)=f(x2)，②即對(duì)稱中心為點(diǎn)(1，0).由①②得f(4x)=f(x2)，令t=x2，則4x=t2，所以f(t2)=f(t)，即f(x2)=f(x)，③所以f(x4)=f(x2).④由③④得f(x4)=f(x)，所以f(x)=f(x+4)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[1，0]時(shí)，f(x)=x+1，則f(0)=1，f(1)=0，f(2)=f(0)=1，f(3)=f(1)=0，根據(jù)周期性得f(1)=f(3)=0，f(2)=f(2)=1，f(3)=f(1)=0，f(4)=f(0)=1，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=01+0+1=0，又因?yàn)?9=4×4+3，故19Σk＝1f(k)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=4×0+013.D[令x=1，y=0，則2f(1)=23f(1)f(0)又f(1)≠0，解得f(0)=3，A正確；令x=0，則f(y)+f(y)=23f(0)f(y)=2f(y)所以f(y)=f(y)，即f(x)是偶函數(shù)，所以f(2x1)=f(2x+1)=f[2(1x)1]，所以函數(shù)f(2x1)的圖象關(guān)于直線x=12對(duì)稱，B令y=x，則f(2x)+f(0)=23[f(x)]2≥0令t=2x，則f(t)+f(0)≥0，所以f(x)+f(0)≥0，C正確；令y=1，則f(x+1)+f(x1)=f(x)，①所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)，②聯(lián)立①②得f(x+2)=f(x1)，所以f(x+3)=f(x)，f(x+6)=f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期為6，D錯(cuò)誤.]14.BD[定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x)+f(y)=f

x+y2

f

x-y2，令x=y=1，則f(1)+f(1)=f(1)f(0)，而f(1)=1，因此f(令y=x，則f(x)+f(x)=f(0)f(x)=2f(x)，則f(x)=f(x)，B正確；顯然f(0)+f(1)=3≠0，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)12，0令y=x2，則f(x)+f(x2)=f(x1)f(1)=f(x1)，同理f(x+1)+f(x1)=