微專題04數(shù)列的性質(zhì)、蛛網(wǎng)圖、最值問題、恒成立問題、插項(xiàng)問題、公共項(xiàng)問題、規(guī)律問題、奇偶問題總結(jié)1.數(shù)列的周期性，此類問題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出周期性.2.函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.3.證明數(shù)列單調(diào)性的方法：根據(jù)與的關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性（當(dāng)恒為正或者負(fù)時(shí)，可以考慮利用與的大小關(guān)系判斷數(shù)列單調(diào)性）.4.當(dāng)出現(xiàn)與年份有關(guān)的數(shù)列選擇題，題目本身難度比較大的時(shí)候，比如，出現(xiàn)2019、2020、2021類似這樣的數(shù)字，我們完全可以通過逐個(gè)分析選項(xiàng)，通過選項(xiàng)找規(guī)律后判斷是否符合題意，來決定哪個(gè)選項(xiàng)正確.比如求，可以令，將選項(xiàng)中的所有數(shù)字用來表示，然后通過來驗(yàn)證哪個(gè)選項(xiàng)正確.如果題目問的是之類的偶數(shù)年份，最好是通過這樣的偶數(shù)項(xiàng)來驗(yàn)證.典型例題例1．（福建省廈門第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖所示，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按如下規(guī)則標(biāo)上標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0，記，；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字1，記為；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0，記為；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字，記為；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字；記為；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字，記為；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0，，記為；點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字1，記為；以此類推，格點(diǎn)坐標(biāo)為的點(diǎn)處所標(biāo)的數(shù)字為（均為整數(shù))，記，則A． B．0 C． D．【答案】D【詳解】分析：首先根據(jù)題意，找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的關(guān)系，將點(diǎn)陣看做若干個(gè)正方形點(diǎn)陣來處理，并且根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)項(xiàng)的規(guī)定，從而求得各層的正方形點(diǎn)陣的各項(xiàng)和為零，下一步需要確定的就是各層點(diǎn)陣的個(gè)數(shù)，以便于分析第2018個(gè)點(diǎn)的位置，建立關(guān)于n的合適的不等關(guān)系式，再者需要確定的是將比較多的值的和應(yīng)用逆向思維，轉(zhuǎn)化為比較少的項(xiàng)的和來處理，比較簡(jiǎn)單.詳解：根據(jù)題中所給的格點(diǎn)圖，可以從正方形陣入手，從內(nèi)向外，第一層正方形陣共有個(gè)點(diǎn)，即共有8項(xiàng)，第二層正方形陣有個(gè)點(diǎn)，第三層正方形陣有個(gè)點(diǎn)，以此類推下去，每層的正方形陣對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)成以8為首項(xiàng)，以8為公差的等差數(shù)列，并且各層的正方形陣所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和都為0，所以有，而，令，解得，且，所以，再者可以確定這六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，故可以得到，從而可以求得這六項(xiàng)和為，所以答案是，故選D.點(diǎn)睛：該題所考查的是數(shù)列的綜合應(yīng)用，一是將點(diǎn)陣看做正方形陣，找出每層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再判斷每層的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和的值為零食解決該題的突破口，最后需要關(guān)注的就是將正方形陣補(bǔ)齊，將對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化為比較少項(xiàng)數(shù)的和的問題，并且最后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置還比較好找，從而將難度降低.例2．（浙江省杭州市第二中學(xué)濱江校區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且對(duì)任意的都存在，使得成立，則數(shù)列的首項(xiàng)須滿足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷數(shù)列的單調(diào)性，再根據(jù)選項(xiàng)作取舍.【詳解】設(shè)，令，得到.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.即.要使對(duì)任意的都存在，使得成立，顯然時(shí)，，一定能滿足題意；當(dāng)時(shí)，，如圖此時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，如圖此時(shí)滿足題意；綜上，.故選：C例3．（2021秋?新蔡縣月考）數(shù)列滿足，則數(shù)列的前60項(xiàng)和等于A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【解答】解：由，可得數(shù)列的前60項(xiàng)和為．故選：．例4．（2021?江蘇模擬）若單調(diào)遞增數(shù)列滿足，且，則的取值范圍是，．【解答】解：?jiǎn)握{(diào)遞增數(shù)列滿足，且，，解得，，解得，由條件可以得出，也就是隔3項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為3．只要保證就可以保證整個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增．單調(diào)遞增數(shù)列中，，，，解得．的取值范圍是，．故答案為：，．例5．（廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021屆高三考前熱身訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，平面內(nèi)三個(gè)不共線的向量，，，滿足，，，若，，在同一直線上，則___________.【答案】【分析】先根據(jù)三點(diǎn)共線求解出之間的關(guān)系，由此確定出為周期數(shù)列，并求解出前項(xiàng)的值，然后根據(jù)周期性可求的值.【詳解】設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期為的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知平面中三點(diǎn)共線(O在該直線外)，若，則必有.例6．（江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】【分析】由已知變形為，可得數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，再運(yùn)用求和公式求得，代入，利用不等式的恒成立思想和數(shù)列的最值可求得答案.【詳解】由為變形為，又所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為，所以，可得，所以，則，所以，解得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，而，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，而，所以，綜上得，所以實(shí)數(shù)的最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.例7．（江西省臨川二中、臨川二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020屆高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切正整數(shù)，不等式恒成立，則滿足條件的最小整數(shù)為______.【答案】2020【分析】首先根據(jù)得到，代入，可得不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為，通過不等式可得的最大值，進(jìn)而可得滿足條件的最小整數(shù).【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，整理得，等式兩邊同除得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，則，所以不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，即對(duì)一切正整數(shù)恒成立，令，當(dāng)時(shí)，最大，，解得，因?yàn)?，，此時(shí)，，即。所以滿足條件的最小整數(shù)為2020.故答案為：2020【點(diǎn)睛】本題考查遞推式求通向公式，考查數(shù)列不等式恒成立問題，關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，是一道難度較大的題目.過關(guān)測(cè)試一、單選題1．（四川省眉山市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)，則（）；（）.A．35B．36C．37D．38【答案】C【分析】結(jié)合圖形中的規(guī)律直接求出和，進(jìn)而總結(jié)出遞推公式時(shí)，，利用累加法即可求出結(jié)果.【詳解】由圖中規(guī)律可知：，所以，，，，因此當(dāng)時(shí)，，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，符合，所以，故選：C.2．（山東省、湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2018屆高三第二次（12月）聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為，第二行為，，第三行為，，，第四行為，，，，如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位于第行，第列的數(shù)記為，例如，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】奇數(shù)數(shù)列，即為第1010個(gè)奇數(shù).按照蛇形排列，第1行到第行末共有個(gè)奇數(shù)，則第1行到第行末共有個(gè)奇數(shù)；第1行到第行末共有個(gè)奇數(shù)；則2019位于第45行；而第行是從右到左依次遞增，且共有個(gè)奇數(shù)；故位于第45行，從右到左第20列，則，故選C.3．（浙江省之江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】求出，，，，，，判斷出是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．4．（2016屆浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三5月模擬數(shù)學(xué)（理）試卷（帶解析））在數(shù)列中，若存在非零整數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)均成立，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫做數(shù)列的周期，若數(shù)列滿足，如（），當(dāng)數(shù)列的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2016項(xiàng)的和是A．672 B．673 C．1342 D．1344【答案】D【詳解】試題分析:當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可得，所以（舍去）或，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和是，沒有答案．當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可得，所以，而，且當(dāng)時(shí)，，即;當(dāng)時(shí)，，即（不成立，應(yīng)舍去）．所以數(shù)列的前2016項(xiàng)和的值為，應(yīng)選D．考點(diǎn)：周期數(shù)列的性質(zhì)與求和．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以數(shù)列的有關(guān)知識(shí)為背景，考查的是歸納猜想的合情推理等知識(shí)的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的綜合問題．求解時(shí)充分借助題設(shè)條件中的有效信息，利用題設(shè)觀察出這些數(shù)的特征和規(guī)律，然后再計(jì)算出，而，進(jìn)而利用數(shù)列的周期性求出數(shù)列的前項(xiàng)和的值為．5．（福建省龍巖第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)積為，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次代入可得是以為周期的周期數(shù)列，由可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.故選：D.6．（陜西省西安中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題）數(shù)列滿足若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)后得出數(shù)列是周期數(shù)列，從而求值．【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列具有周期性，周期為4，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性，此類問題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出周期性．7．（安徽省淮南第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，若，且存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，令，進(jìn)而證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故可得，，在結(jié)合題意將問題轉(zhuǎn)化為，再求數(shù)列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.【詳解】，．令，，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，即，，∵存在，使得成立，．令得則，，或．，，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．8．（新疆維吾爾自治區(qū)布爾津縣高級(jí)中學(xué)2021屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則的最小值是（）A． B．1C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)得出，然后通過累加法求出，根據(jù)均值不等式及，即可求出結(jié)果．【詳解】由得所以則所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，故取或最小，又，所以的最小值?故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題通過累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，根據(jù)均值不等式及，求得最值．9．（浙江省三校聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足：，，，其中為的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意的n均有恒成立，則正數(shù)k的最大值為（）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的單調(diào)性判斷參數(shù)的范圍．【詳解】當(dāng)n≥1時(shí)，由條件，可得，整理可得，化簡(jiǎn)得：從而故，因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，即依題意只需令則，

當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．10．（陜西省西安市高新第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若不等式對(duì)任意恒成立，則最小的整數(shù)（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【分析】構(gòu)造數(shù)列，分析的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，從而求解出的取值范圍.【詳解】設(shè)，所以，所以，所以，所以是單調(diào)遞減的數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)，難度較難.證明數(shù)列單調(diào)性的方法：根據(jù)與的關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性（當(dāng)恒為正或者負(fù)時(shí)，可以考慮利用與的大小關(guān)系判斷數(shù)列單調(diào)性）.11．（2020屆河北省石家莊市高三五月模擬（七）數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得，再用函數(shù)圖象可得，可得出選項(xiàng)．【詳解】令，由可得在上單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減，且，可得，又恒成立，若，則數(shù)列為常數(shù)列，不滿足，所以，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且，，由圖象可得，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合問題，考查了學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力和計(jì)算能力，屬于難題.12．（浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校2020屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列{an}滿足，an+1＝an+1，a1＝a，則一定存在a，使數(shù)列中（）A．存在n∈N*，有an+1an+2＜0B．存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0C．存在n∈N*，有D．存在n∈N*，有【答案】C【分析】由函數(shù)與y＝x有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（1，1），對(duì)a分類判斷A，B錯(cuò)誤；由a1＞1時(shí)，a2一定小于，則之后均小于，判斷D錯(cuò)誤；舉例說明C正確.【詳解】因?yàn)閍n+1＝an+1，所以在函數(shù)圖象上，因?yàn)榕cy＝x有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（1，1），如圖所示：可知當(dāng)a1＜0時(shí)，數(shù)列遞減，∴an＜0；當(dāng)0＜a1＜1時(shí)，數(shù)列遞增，并且an趨向1；當(dāng)a1＞1時(shí)，數(shù)列遞減，并且an趨向1，則可知A，B錯(cuò)誤；又當(dāng)x＞1時(shí)，，則當(dāng)a1＞1時(shí)，a2一定小于，則之后均小于，∴D錯(cuò)誤；對(duì)于C，可取，得，，所以，滿足要求.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特性，還考查了推理論證的能力，屬于難題.13．（浙江省湖州中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期3月月考（網(wǎng)測(cè)）數(shù)學(xué)試題）已知無窮項(xiàng)數(shù)列，滿足，且，下列關(guān)于數(shù)列描述正確的是（）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增 B．存在，使得數(shù)列為單調(diào)數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，存在，使得 D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定存在無限多項(xiàng)的值大于【答案】C【分析】設(shè)函數(shù)，分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，由，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且當(dāng)時(shí)，，則可以作出，如圖.且，為無窮項(xiàng)數(shù)列，則.選項(xiàng)A.當(dāng)時(shí)，由函數(shù)圖像有，，所以此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，所以A不正確.選項(xiàng)B.(1)當(dāng)時(shí)，由函數(shù)圖像可得，且，由，根據(jù)上面對(duì)選項(xiàng)A的分析可知，數(shù)列從第2項(xiàng)起單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，由函數(shù)圖像可得，且，，且，根據(jù)上面對(duì)選項(xiàng)A的分析可知，數(shù)列從第3項(xiàng)起單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)圖像可得.如圖，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)軸的垂線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)軸的垂線交于點(diǎn)，依此作下去，可得在開始階段數(shù)列是遞減的，如圖，其值一定會(huì)遞減至中.若是第一個(gè)滿足，可得，由前面的證明可得，從數(shù)列從第項(xiàng)開始是遞增的.所以時(shí)，數(shù)列不是單調(diào)的，所以B不正確.選項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A的推導(dǎo)，可知數(shù)列單調(diào)遞增，顯然滿足條件.當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)B的推導(dǎo)，可知數(shù)列第項(xiàng)開始是遞增的，顯然滿足條件.所以C正確.選項(xiàng)D.由對(duì)選項(xiàng)B的判斷過程可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列先減后增，只有前面有限多項(xiàng)的值大于，遞增部分的無限多項(xiàng)的值都小于，所以D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)來探究遞推數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.14．（重慶市巴蜀中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）數(shù)列滿足，，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項(xiàng)，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計(jì)算作答.【詳解】數(shù)列中，，，則有，而，因此，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，即，則，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，則，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得是數(shù)列的最大值的項(xiàng)，即當(dāng)n=3時(shí)，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為.故選：C15．（專題7.1—數(shù)列的概念及其表示-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練）已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義建立不等式組，解之可得選項(xiàng).【詳解】解：若是遞增數(shù)列，則，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．16．（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2017-2018學(xué)年高三11月月考數(shù)學(xué)（文）試題）整數(shù)列滿足，則A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴∵數(shù)列，∴∴…以上各式相加得∵∴選B17．（浙江省2022屆高考模擬卷數(shù)學(xué)試題（四））已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則正確的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．存在，使得D．存在，使得【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，通過作圖排除A，B，C.【詳解】設(shè)，則可知當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，令，由于，因此，在上有一零點(diǎn)，作出草圖如圖，利用蛛網(wǎng)法，可知，故A，B，C均為錯(cuò)誤，選D.故選：D.18．（山東省棗莊市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下：第一組是兩個(gè)1，即，第二組是，第三組是，…，在每一組的相鄰兩個(gè)數(shù)之間插入這兩個(gè)數(shù)的和得到下一組．設(shè)第n組中有個(gè)數(shù)，且這個(gè)數(shù)的和為．則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察和的數(shù)組中的數(shù)的差異，它們之間的聯(lián)系，得出的遞推關(guān)系式，構(gòu)造出等比數(shù)列求得通項(xiàng)公式，從而易得．【詳解】設(shè)中數(shù)組是，即，則的數(shù)組是，比的數(shù)組中多了這些數(shù)：，這些數(shù)相加．除只出現(xiàn)1次外，均出現(xiàn)2次，而，所以，因此，又，，所以是等比數(shù)列，公比為3，，所以．從而，故選：D．19．（山東省煙臺(tái)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所以被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，把和的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意數(shù)列、都是等差數(shù)列，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】根據(jù)題意數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為5的等差數(shù)列，，數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為15的等差數(shù)列，.對(duì)于A，，，，錯(cuò)誤對(duì)于B，，，，正確.對(duì)于C，，，，，錯(cuò)誤.對(duì)于D，，，，，錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題20．（福建省福州第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；，所以因此，故D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于難題.21．（湖南省永州市2021屆高三高考押題卷數(shù)學(xué)試題（二））在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個(gè)每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項(xiàng)，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意求出n，然后即可求出，再利用錯(cuò)位相減法求出新數(shù)列的和.【詳解】設(shè)介于第個(gè)1與第個(gè)1之間或者為這兩個(gè)1當(dāng)中的一個(gè)，則從新數(shù)列的第1個(gè)1到第個(gè)1一共有項(xiàng)，從新數(shù)列的第1個(gè)1到第個(gè)1一共有項(xiàng)，所以，解得，而，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，令，則，，，所以，故D正確，C錯(cuò)誤，故選：AD.22．（湖北省黃岡市麻城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第四次模擬數(shù)學(xué)試題）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則（）A． B．C．的前項(xiàng)和 D．的前項(xiàng)和為【答案】BC【分析】先分析出數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，從而判斷出，求出的前項(xiàng)和.【詳解】令，所以，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，所以，所以的前項(xiàng)為.故選：BC.【點(diǎn)睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運(yùn)用性質(zhì)．三、雙空題23．（廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)2022屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次"擴(kuò)展".將數(shù)列1，2進(jìn)行"擴(kuò)展"，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；....擴(kuò)展得到的數(shù)列的第6項(xiàng)為___________；設(shè)第n次“擴(kuò)展"后得到的數(shù)列為，并記，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，得出第三次擴(kuò)展的數(shù)列，求得數(shù)列的第6項(xiàng)，再由，得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，即可求解.【詳解】由題意，將數(shù)列1，2進(jìn)行"擴(kuò)展"，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列；第三次得到數(shù)列：，所以數(shù)列的第6項(xiàng)為.又由，可得，即，則，又由，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：；.24．（山東省青島市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的平均數(shù)，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列、進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；第次得到數(shù)列、、、、，則第次得到的數(shù)列項(xiàng)數(shù)為__________；記第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________．【答案】【分析】設(shè)第次得到的數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，分析得出，利用待定系數(shù)法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，然后利用分組求和法可求得.【詳解】設(shè)第次得到的數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，則，，，第次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列可在第次“擴(kuò)展”后得到的項(xiàng)數(shù)中任意相鄰的兩項(xiàng)中取其平均數(shù)，共增加了個(gè)數(shù)，則，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比也為，，，由題意可知，每次“擴(kuò)展”后所得到的數(shù)列均為等差數(shù)列，則，所以，.故答案為：；.25．（第四課時(shí)課后4.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用）已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5，8，11，…與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝________；若數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為100，則{cn}的項(xiàng)數(shù)是________.【答案】##【分析】由已知得{cn}也是等差數(shù)列，且公差為3×4＝12，求得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)，再求得，，建立不等式，可求得n的范圍，得出答案..【詳解】解：由于數(shù)列{an}是以3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是以4為公差的等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列，且公差為3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又，，所以由解得1≤n≤25.25，故{cn}的項(xiàng)數(shù)為25.故答案為：12n－1；25.26．（北京市昌平區(qū)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）數(shù)列，，，，；，，，，，定義數(shù)列，，，，，，，.①設(shè)，，，則數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于___________；②設(shè)，，，則數(shù)列與有___________個(gè)公共項(xiàng).【答案】192【分析】①由題意可以得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)?的通項(xiàng)公式可以知道29個(gè)項(xiàng)里面有9個(gè)1，10個(gè)，10個(gè)2，從而得到問題解答；②由題意可以得到數(shù)列和的通項(xiàng)公式，再令即可得到?的關(guān)系式，最后根據(jù)5的倍數(shù)與4的倍數(shù)的特征可以得到解答.【詳解】①由題意可得：，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為：；②由題意可得：，，很顯然，要使，必須?同時(shí)為3的倍數(shù)或者同時(shí)不為3的倍數(shù)，若?同時(shí)為3的倍數(shù)，則有，則或，此時(shí)或，不成立；若?同時(shí)不為3的倍數(shù)，則有，則或14或19或29，此時(shí)對(duì)應(yīng)的有或11或15或23，把與題意相矛盾的舍去，剩下，或，，即或，即數(shù)列與有2個(gè)公共項(xiàng)；故答案為19；2.四、填空題27．（山東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）將數(shù)列3，6，9，……按照如下規(guī)律排列，記第行的第個(gè)數(shù)為，如，若，則_______．【答案】44【分析】本題首先可以通過數(shù)列來確定2019是數(shù)列的第673項(xiàng)，然后通過計(jì)算前多少行共有多少個(gè)數(shù)來確定第673項(xiàng)在哪