中小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題專項(xiàng)訓(xùn)練合集數(shù)學(xué)應(yīng)用題是中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，它不僅考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，更檢驗(yàn)其運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、邏輯思維能力和分析判斷能力。很多學(xué)生在面對(duì)應(yīng)用題時(shí)，常常感到無從下手，思路混亂。本合集旨在通過系統(tǒng)梳理和專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握應(yīng)用題的解題技巧，提升解題信心，真正做到學(xué)以致用。一、應(yīng)用題解題的通用步驟與核心原則要攻克應(yīng)用題，首先需要掌握一套科學(xué)的解題流程和一些核心原則，這是打開所有應(yīng)用題大門的“萬能鑰匙”。1.審題是前提：明確題意，抓住關(guān)鍵審題是解題的第一步，也是最關(guān)鍵的一步。很多錯(cuò)誤往往源于對(duì)題目理解的偏差。*通讀題目：至少讀兩遍，第一遍了解大意，第二遍精讀，邊讀邊思考。*圈點(diǎn)勾畫：找出題目中的已知條件、未知量（通常是問題）以及關(guān)鍵詞句（如“一共”、“平均”、“比……多/少”、“增加到”、“增加了”、“幾分之幾”、“百分之幾”等）。*明確問題：清楚題目要求我們解決什么問題，避免答非所問。*理解隱含條件：有些題目條件不會(huì)直接給出，需要結(jié)合生活常識(shí)或數(shù)學(xué)概念進(jìn)行推斷。例如，“勻速行駛”意味著速度不變；“出勤率”隱含著出勤人數(shù)與總?cè)藬?shù)的關(guān)系。2.分析是核心：梳理關(guān)系，建立模型在理解題意的基礎(chǔ)上，對(duì)已知條件和未知量之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深入分析。*尋找等量關(guān)系：這是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。題目中的數(shù)量關(guān)系往往可以通過一些標(biāo)志性詞語體現(xiàn)出來，如“是”、“比”、“占”、“相當(dāng)于”等。*選擇分析方法：*從問題入手（分析法）：思考要解決這個(gè)問題，需要知道哪些條件？哪些條件是已知的？哪些條件是未知的？如何找到這些未知條件？*從條件入手（綜合法）：根據(jù)已知條件，可以求出什么新的條件？逐步推進(jìn)，直至求出問題的答案。*畫圖輔助：對(duì)于一些復(fù)雜的應(yīng)用題，如畫線段圖、示意圖、表格等，可以將抽象的文字信息轉(zhuǎn)化為直觀的圖形或表格，幫助理清數(shù)量關(guān)系。線段圖在解決和差倍、行程問題等方面尤為有效。3.列式是關(guān)鍵：選擇方法，準(zhǔn)確表達(dá)根據(jù)分析得到的數(shù)量關(guān)系，選擇合適的數(shù)學(xué)方法（算術(shù)方法或代數(shù)方法）列出算式或方程。*算術(shù)方法：直接根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出算式，通過四則運(yùn)算求出結(jié)果。適用于數(shù)量關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單、逆向思維要求不高的題目。*代數(shù)方法（列方程）：設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，求解方程得到答案。適用于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、特別是需要逆向思考的題目。設(shè)未知數(shù)時(shí)，通常選擇與多個(gè)量相關(guān)的未知量，或直接設(shè)問題為未知數(shù)。4.計(jì)算是保障：細(xì)心演算，避免失誤列出算式或方程后，需要進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。*細(xì)心計(jì)算：無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，都要嚴(yán)格按照運(yùn)算法則進(jìn)行，注意小數(shù)點(diǎn)位置、通分約分等細(xì)節(jié)。*選擇合適的計(jì)算技巧：在保證準(zhǔn)確性的前提下，可以運(yùn)用簡(jiǎn)便運(yùn)算簡(jiǎn)化計(jì)算過程。5.檢驗(yàn)是習(xí)慣：反思過程，驗(yàn)證結(jié)果求出結(jié)果后，務(wù)必進(jìn)行檢驗(yàn)，確保答案的正確性。*代入檢驗(yàn)：將結(jié)果代入原題的條件中，看是否符合題意，能否推出所有已知條件或滿足等量關(guān)系。*邏輯檢驗(yàn)：檢查解題過程的邏輯是否清晰，方法是否得當(dāng)，計(jì)算是否有誤。*結(jié)果合理性檢驗(yàn)：結(jié)合生活實(shí)際或常識(shí)，判斷結(jié)果是否合理。例如，人數(shù)不能為負(fù)數(shù)或小數(shù)，速度不能超過常識(shí)范圍等。*作答規(guī)范：檢驗(yàn)無誤后，按照題目要求，完整、規(guī)范地寫出答案。二、中小學(xué)常見應(yīng)用題類型與專項(xiàng)訓(xùn)練以下將按照中小學(xué)階段常見的應(yīng)用題類型進(jìn)行分類，并輔以解題思路點(diǎn)撥和典型例題解析，幫助學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)突破。（一）整數(shù)與小數(shù)四則運(yùn)算應(yīng)用題這類應(yīng)用題主要涉及加、減、乘、除的基本運(yùn)算，是其他復(fù)雜應(yīng)用題的基礎(chǔ)。*求和、求差、求幾個(gè)相同加數(shù)的和（乘法）、把一個(gè)數(shù)平均分成幾份（除法）：直接運(yùn)用四則運(yùn)算的意義解決。*“比多比少”問題：關(guān)鍵在于確定誰是標(biāo)準(zhǔn)量，誰是比較量。求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)用加法；求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)用減法；已知一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾或少幾，求另一個(gè)數(shù)，用減法或加法。*“幾倍”問題：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少用乘法；已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)用除法；求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍用除法。*“歸一”與“歸總”問題：*歸一問題：先求出單一量（“每份是多少”或“每單位是多少”），再以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例如：“買3支筆花了6元，買同樣的5支筆需要多少錢？”先求每支筆的價(jià)格（單一量）。*歸總問題：先求出總數(shù)量（“一共是多少”），再根據(jù)其他條件求出所要求的數(shù)量。例如：“一批貨物，每車運(yùn)5噸，需要6車運(yùn)完。如果每車運(yùn)3噸，需要幾車運(yùn)完？”先求貨物總噸數(shù)（總數(shù)量）。例題解析：例1：學(xué)校圖書館原有圖書若干本，開學(xué)初買來新書200本，又借出150本，現(xiàn)在還有圖書800本。學(xué)校圖書館原有圖書多少本？審題與分析：已知買來新書（增加）、借出圖書（減少）和現(xiàn)在的圖書數(shù)量，求原來的圖書數(shù)量?？梢詮默F(xiàn)在的數(shù)量倒推，也可以直接設(shè)原有圖書為未知數(shù)。解法一（算術(shù)法，倒推）：現(xiàn)在有800本，是借出150本之后的數(shù)量，那么借出之前有800+150=950本。這950本又是買來200本之后的數(shù)量，所以原來有950-200=750本。解法二（方程法）：設(shè)原有圖書x本。根據(jù)題意，x+200-150=800。解方程得x=800+150-200=750。檢驗(yàn)與作答：將750代入原題，750+200=950，950-150=800，符合題意。答：學(xué)校圖書館原有圖書750本。（二）分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)高年級(jí)和初中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，其核心在于理解單位“1”的量、對(duì)應(yīng)分率（百分率）和對(duì)應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系。*求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）：用“一個(gè)數(shù)÷另一個(gè)數(shù)”，結(jié)果用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)表示。注意確定誰是單位“1”（通常是“是”、“占”、“比”后面的量）。*求一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少：?jiǎn)挝弧?”的量×對(duì)應(yīng)分率（百分率）=對(duì)應(yīng)數(shù)量。*已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少，求這個(gè)數(shù)：對(duì)應(yīng)數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率（百分率）=單位“1”的量。（此類型常用方程解答）*“比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾（或百分之幾）的數(shù)是多少”的問題：?jiǎn)挝弧?”的量×(1±分率/百分率)=比較量。*“已知比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾（或百分之幾）的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的問題：比較量÷(1±分率/百分率)=單位“1”的量。（此類型常用方程解答）*百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用：如出勤率、發(fā)芽率、合格率、利潤(rùn)率、折扣、稅率、利率等。這些都是特定情境下的百分?jǐn)?shù)問題，關(guān)鍵是理解其含義，找到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。例如，利潤(rùn)率=（利潤(rùn)÷成本）×100%；現(xiàn)價(jià)=原價(jià)×折扣；利息=本金×利率×?xí)r間（注意時(shí)間與利率的對(duì)應(yīng)）。例題解析：例2：某商品原價(jià)200元，現(xiàn)在打八五折出售，現(xiàn)在售價(jià)是多少元？比原價(jià)便宜了多少元？審題與分析：“打八五折”意味著現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的85%。單位“1”是原價(jià)，已知原價(jià)，求現(xiàn)價(jià)（一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少）。便宜的金額=原價(jià)-現(xiàn)價(jià)。列式與計(jì)算：現(xiàn)價(jià)：200×85%=200×0.85=170（元）便宜金額：200-170=30（元）或200×(1-85%)=200×15%=30（元）檢驗(yàn)與作答：170元確實(shí)是200元的85%，便宜30元也合理。答：現(xiàn)在售價(jià)是170元，比原價(jià)便宜了30元。例3：某工廠十月份生產(chǎn)零件500個(gè)，比九月份多生產(chǎn)了10%。九月份生產(chǎn)零件多少個(gè)？審題與分析：“比九月份多生產(chǎn)了10%”，單位“1”是九月份的產(chǎn)量，未知。十月份產(chǎn)量是九月份的（1+10%）。已知十月份產(chǎn)量（比較量），求九月份產(chǎn)量（單位“1”的量）。適合用方程解答。解法（方程法）：設(shè)九月份生產(chǎn)零件x個(gè)。根據(jù)題意，x×(1+10%)=500。即1.1x=500，解得x=500÷1.1≈455（個(gè)）（若題目要求精確值，可用分?jǐn)?shù)表示為5000/11個(gè)，但實(shí)際生活中取整數(shù)）。算術(shù)法：500÷(1+10%)=500÷1.1≈455（個(gè)）。檢驗(yàn)與作答：455×1.1≈500，符合題意。答：九月份生產(chǎn)零件約455個(gè)。（三）行程問題行程問題涉及物體的運(yùn)動(dòng)，基本量為路程、速度和時(shí)間，三者關(guān)系為：路程=速度×?xí)r間，速度=路程÷時(shí)間，時(shí)間=路程÷速度。常見類型有：*相遇問題：兩個(gè)物體從兩地出發(fā)，相向而行，最終相遇?；镜攘筷P(guān)系：速度和×相遇時(shí)間=總路程；甲路程+乙路程=總路程。*追及問題：兩個(gè)物體同向運(yùn)動(dòng)，快者追慢者?；镜攘筷P(guān)系：速度差×追及時(shí)間=追及路程（初始距離）；快者路程-慢者路程=追及路程。*相背而行：兩個(gè)物體從同一地點(diǎn)出發(fā)，背向而行?；镜攘筷P(guān)系：速度和×?xí)r間=相距路程。*環(huán)形跑道問題：相遇或追及問題在環(huán)形跑道上的應(yīng)用，需注意相遇或追及一次的路程關(guān)系（如相遇一次共行一圈，追及一次多行一圈）。*流水行船問題：涉及船在水中航行，需考慮水流速度。順?biāo)俣?船速+水速；逆水速度=船速-水速。解題關(guān)鍵：畫線段圖分析運(yùn)動(dòng)過程，明確運(yùn)動(dòng)方向、出發(fā)時(shí)間、出發(fā)地點(diǎn)、相遇或追及地點(diǎn)，找準(zhǔn)路程、速度、時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例題解析：例4：甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行50千米，經(jīng)過3小時(shí)兩車相遇。A、B兩地相距多少千米？審題與分析：典型的相遇問題，已知兩車速度和相遇時(shí)間，求總路程。列式與計(jì)算：速度和×相遇時(shí)間=總路程。(60+50)×3=110×3=330（千米）或者：甲車路程+乙車路程=總路程。60×3+50×3=180+150=330（千米）。檢驗(yàn)與作答：兩車3小時(shí)共行駛330千米，符合速度和與時(shí)間的乘積。答：A、B兩地相距330千米。（四）工程問題工程問題研究工作總量、工作效率和工作時(shí)間之間的關(guān)系，通常將工作總量看作單位“1”。*基本關(guān)系式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間；工作效率=工作總量÷工作時(shí)間；工作時(shí)間=工作總量÷工作效率。*特點(diǎn)：*若甲單獨(dú)完成需a天，則甲的工作效率為1/a。*合作時(shí)，工作效率為各部分工作效率之和。*工作總量可以是具體數(shù)量，也可以是抽象的“1”。解題關(guān)鍵：確定工作總量（設(shè)為“1”或具體量），表示出各自的工作效率，再根據(jù)題目中的工作方式（單獨(dú)做、合作做、交替做等）找出等量關(guān)系。例題解析：例5：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成。如果甲、乙兩隊(duì)合作，幾天可以完成這項(xiàng)工程的一半？審題與分析：工作總量看作“1”，甲隊(duì)效率為1/10，乙隊(duì)效率為1/15。合作效率為兩隊(duì)效率之和。求完成“一半”（即工作總量為1/2）所需時(shí)間。列式與計(jì)算：工作時(shí)間=工作總量÷工作效率和。(1/2)÷(1/10+1/15)=(1/2)÷(3/30+2/30)=(1/2)÷(5/30)=(1/2)×(30/5)=(1/2)×6=3（天）。檢驗(yàn)與作答：甲3天完成3/10，乙3天完成3/15=1/5，合起來3/10+1/5=3/10+2/10=5/10=1/2，正好是工程的一半。答：3天可以完成這項(xiàng)工程的一半。（五）幾何圖形應(yīng)用題這類問題主要涉及平面圖形的周長(zhǎng)、面積和立體圖形的表面積、體積（容積）的計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用。*關(guān)鍵：熟練掌握各種基本圖形的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算公式，并能靈活運(yùn)用。注意單位的統(tǒng)一性。*常見類型：計(jì)算土地面積、鋪地磚數(shù)量、粉刷墻壁面積（需扣除門窗）、容器容積、不規(guī)則圖形面積（轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形）等。例題解析：例6：一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，長(zhǎng)100米，寬50米。小明沿著操場(chǎng)跑了兩圈，他一共跑了多少米？這個(gè)操場(chǎng)的面積是多少平方米？審題與分析：第一問求跑的總路程，即長(zhǎng)方形操場(chǎng)周長(zhǎng)的2倍。第二問求面積。列式與計(jì)算：周長(zhǎng)：(100+50)×2=150×2=300（米）兩圈路程：300×2=600（米）面積：100×50=5000（平方米）檢驗(yàn)與作答：周長(zhǎng)和面積計(jì)算無誤，單位也正確。答：他一共跑了600米，這個(gè)操場(chǎng)的面積是5000平方米。三、應(yīng)用題綜合訓(xùn)練建議1.循序漸進(jìn)，由淺入深：先掌握基礎(chǔ)題型，再挑戰(zhàn)復(fù)雜題型和綜合題型。