2024年人教版中學七7年級下冊數(shù)學期末解答題綜合復習含答案

一、解答題

1.（1）若一圓的面積與這個正方形的面積都是2乃cm?,設(shè)圓的周長為。即，正方形的周長

為Q,則CwQ.（填或"<〃或?！ㄌ枺?/p>

（2）如圖，若正方形的面積為16cm2,李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為

12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2,他能裁出嗎？請說明理由.

2.如圖，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.

（1）求出這個魔方的棱K：

（2）圖中陰影部分是一個正方形ABCD,求出陰影部分的邊長.

3.如圖,8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，

（1）每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（要求列方程組進行解答）

（2）小明想用一塊面積為7平方米的正方形桌布，沿著邊的方向裁剪出一塊新的長方形桌

布，用來蓋住這塊長方形木桌，你幫小明算一算，他能剪出符合要求的桌布嗎？

4.小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁處一塊面積為300cm2的長

方形紙片.

⑴請幫小麗設(shè)計一種可行的裁剪方案；

⑵若使長方形的長寬之比為3:2,小麗能用這塊紙片裁處符合要求的紙片嗎？若能，請幫小麗

設(shè)計一種裁剪方案，若不能，請簡要說明理由.

5.工人師傅準備從一塊面枳為25平方分米的正方形工料上裁剪出一塊18平方分米的長方

形的工件.

（1）求正方形工料的邊長；

（2）若要求裁下來的長方形的長寬的比為3:2,問這塊正方形工料是否合格？（參考數(shù)

據(jù)：72=1.414,73=1.732,75=2.236）

二、解答題

6.如圖1,點A在直線MN上，點8在直線ST上，點C在MN,ST之間，且滿足

ZMAC+ZACB+NSBC=360°.

(1)證明：MN//ST；

(2)如圖2,若ZAC8=60。，AD//C8,點E在線段8c上，連接AE,且

4DAE=2/CBT,試判斷NC4E與/CW的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

1QAO

(3)如圖3,若ZACB=——(〃為大于等于2的整數(shù)「點E在線段BC上，連接4E,

n

7.如圖1,AB//CD,點E、尸分別在AB、CD上，點。在直線A3、之間，且

/EOF=100。.

(1)求N8EO+NO尸Z)的值；

(2)如圖2,直線MN分別交N8石。、/O”"的角平分線于點M、N,直接寫出

/EMN-/FNM的值;

(3)如圖3,EG在NAEO內(nèi)，ZAEG=tn^OEG-,FH在NDFO內(nèi),

/DFH=m/OFH,直線MV分別交EG、/分別于點M、N,且

NFMN—NENM=50。，直接寫出〃?的值.

8.已知點C在射線上.

(1)如圖①,CD//OE,若N408=90。，N08=120°,求N80￡的度數(shù)；

(2)在①中，將射線OE沿射線OB平移得OF(如圖②)，若N4O8=a,探究/。8

與N80F的關(guān)系(用含a的代數(shù)式表示)

(3)在②中，過點。，作08的垂線，與NOCD的平分線交于點P(如圖③)，若N80,

=90°,探究/AOB與N80E的關(guān)系.

A

yB

EE，E'/

圖①圖②圖③

9.已知，如圖：射線正分別與直線人8、。。相交于E、F兩點,NPFD的角平分線與

直線AA相交于點M,射線PM交CD于點、N,設(shè)NP/M=a。，NEM/=/。且

(a-35)2+|^-a|=O.

(1)a=,B=:直線AB與CO的位置關(guān)系是；

(2)如圖，若點G是射線M4上任意一點，且ZMGH=/PNF,試找出NFMN與NGH/

之間存在一個什么確定的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

(3)若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖)分別與AB、CD相交于點

M和點N|時，作/尸M出的角平分線M?與射線廠用相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中

(1)如圖1,AB//CD,N曰8=128。，ZPCD=119°.求NAPC度數(shù).小穎同學的解題思

路是：如圖2,過點P作PE//AB,請你接著完成解答.

問題遷移：

(2)如圖3,AD//8C,點尸在射線上運動，當點P在A、4兩點之間運動時，

Z4DP=Za,NPCE=9.試判斷NCP。、Na、”之間有何數(shù)量關(guān)系？(提示：過點

尸作P///4。)，請說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，且AC的延長線與B。的延長線有交點，當點M在線段

的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出44與/C所有可能的數(shù)量關(guān)系.

13.已知直角4ABe的邊與直線。分別相交于0、G兩點，與直線b分別交于E,F

點，且ZAC8=90。.

(1)將直角“BC如圖1位置擺放，如果ZAOG=56。，則NCM=；

(2)將直角-八3c如圖2位置擺放，N為AC上一點,/NEF+NCEF=180。,請寫出

NN￡F與乙A0G之間的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)將直角1ABe如圖3位置擺放，若/GOC=135。，延長AC交直線b于點Q,點P是射

線G/上一動點，探究/POQZOPQ與NPQF的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論.

14.課題學習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化〃功能.

閱讀理解：

如圖1,已知點4是8c外一點，連接48,AC,求N84C+N8+NC的度數(shù).

(1)閱讀并補充下面推理過程

解：過點4作EDWBC,

N8=NEAB,NC=

又「NEA8+N8AC+NDAC=180°

ZB4-ZBAC-iZ.C=180°

解題反思：

從上面推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化〃的功能，將N8AC,N8,NC“湊”在一

起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

方法運用：

(2)如圖2,已知4811ED,求N8+N6CO+ND的度數(shù).(提示：過點C作CFIIA8)

深化拓展：

(3)如圖3,已知4811c。，點C在點。的右側(cè)，Z.ADC=7QQ,點8在點，的左側(cè)，

NABC=60。，8E平分NABC,DE平分NADC,BE,0E所在的直線交于點E,點E在與

CD兩條平行線之間，求N8E。的度數(shù).

15.如圖，兩個形狀，人小完全相同的含有30-60?的三角板如圖放置，PA.P8與直線

MN重合，且三角板以C,三角板P8O均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）①如圖1,ZDPC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角

形”，如圖1,三角板8P。不動，三角板以C從圖示位置開始每秒10。逆時針旋轉(zhuǎn)一周

（0。（旋轉(zhuǎn)＜360。），問旋轉(zhuǎn)時間t為多少時，這兩個三角形是"攣生三角形〃.

（2）如圖3,若三角板P4C的邊外從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速37秒，同時三

角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2）秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程

中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）.設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為t秒，以

/cpn

下兩個結(jié)論：①7而》為定值：②/8PN+/CP。為定值，請選擇你認為對的結(jié)論加以證

圖1圖2圖3

四、解答題

16.如圖，直線A8//C。，E、產(chǎn)是48、C。上的兩點，直線/與AB、CD分別交于點

ZPFD=.

（2）若點P與點、E、尸不在一直線上，試探索NAEP、/EPF、NC/75之間的關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

圖1圖2圖3

（習題回顧）己知：如圖1,在，A3c中，ZAC^=90°,是角平分線，CD是高，

AE.C。相交于點F.求證：NCFE=NCEF：

（變式思考）如圖2,在&A8C中，ZAC8=90。，CO是A3邊上的高，若4AHe的外帶

N8AG的平分線交CD的延長線于點尸，其反向延長線與8c邊的延長線交于點E,則

NCFE與NC所還相等嗎？說明理由：

（探究延伸）如圖3,在‘八3c中，A8上存在一點。，使得NACD=N8,4MC的平分

線AE交CD于點、F.一A3C的外角NBAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M.

直接寫出NM與NC正的數(shù)量關(guān)系.

18.如圖所示，已知射線C8//O4,AB〃OC,/C=NQ48=100.點E、F在射線CB上，且

滿足=0E平分NCO/7

（1）求NEOB的度數(shù)；

（2）若平行移動AB,那么NO4C:NOW的值是否隨之發(fā)生變化？如果變化，找出變化規(guī)

律.若不變，求出這個比值；

（3）在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使NOECMOBA?若存在，求出其度

19.R3ABC中，NC=90。，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點.令

ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且Na=50。,則N1+N2=。；

（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則Na、N1、N2之間的關(guān)系為：

（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則Na、Nl、N2之間有何關(guān)系？

猜想并說明理由.

C

E

D

B

圖3圖4

（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則Na、N1、/2之間的關(guān)系為：—.

20.如圖1,已知4811CO,8E平分NA8D,OE平分N8DC.

（1）求證：ZBED=90°；

（2）如圖2,延長BE交CO于點H,點F為線段EH上一動點，ZEDF=afNA8F的角平

分線與NCDF的角平分線DG交于點G,試用含a的式子表示/BGD的大??；

（3）如圖3,延長8E交CO于點H,點F為線段EH上一動點，NE8M的角平分線與

NFDN的角平分線交于點G,探究N8G。與/8F。之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)

論：

【參考答案】

一、解答題

1.（1）V;（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)

大小比較的方法，可得答案；

（2）設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于

解析：（1）＜；（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)

大小比較的方法，可得答案；

（2）設(shè)裁出的長方形的長為3〃9〃），寬為2a9”），由題意得關(guān)于。的方程，解得。的值，

從而可得長方形的長和寬，將其與正方形的邊長比較，可得答案.

【詳解】

解：（1）圓的面積與正方形的面積都是2萬0/,

二?圓的半徑為V2（（vn）,正方形的邊長為,

/.O-21yLr-48M（cm）,。正=472^=）32萬（?！保?

,32星=84*4>84入乃,

，

，Cw<C正?

（2）不能裁出長和寬之比為3:2的長方形，理由如下：

設(shè)裁出的長方形的長為初⑷〃），寬為2〃（。〃），由題意得：

3ax2a=12,

解得a=0或〃=-也（不合題意，舍去），

?a?長為342cm，寬為2叵cm，

，.正方形的面積為16c77，，

?.?正方形的邊長為4?！?，

3x/2>4,

???不能裁出長和寬之比為3:2的長方形.

【點睛】

本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長計算中的簡單應用，熟練掌握相關(guān)計算

公式是解題的關(guān)鍵.

2.（1）棱長為4；（2）邊長為：（或）

【分析】

（1）由立方體的體積為棱長的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接計算

得到答窠.

【詳解】

解：（1）設(shè)正方體的棱長為，則，所以，即正方體的棱長為4.

解析：（1）棱長為4；（2）邊長為：&（或2拒）

【分析】

（1）由立方體的體積為棱長的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接計算得到答案.

【詳解】

解：（1）設(shè)正方體的棱長為3則片=64,所以x=4,即正方體的棱長為4.

（2）因為正方體的棱長為4,所以AB=,2?+2?=瓜=2日

【點睛】

本題考查的是立方根與算術(shù)平方根的理解與計算，由實際的情境去理解問題本身就是求一

個數(shù)的立方根與算術(shù)平方根是關(guān)鍵.

3.⑴長是1.5m,寬是0.5m.；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)每塊小長方形地磚的長為xm,寬為ym,列方程組求解即可；

（2）把正方形的邊長與大長方形的長比較即可.

【詳解】

解：

解析：⑴長是L5m,寬是0.5m.；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)每塊小長方形地磚的長為xm,寬為ym,列方程組求解即可;

（2）把正方形的邊長與大長方形的長比較即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)每塊小長方形地磚的長為xm,寬為ym,由題意得：

x=3y

\x+y=2'

.二長是L5m，寬是0.5m.

（2）?「正方形的面積為7平方米，

」?正方形的邊長是5米，

不<3,

他不能剪出符合要求的桌布.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用，算術(shù)平方根的應用，找出等量關(guān)系列出方程組是解

（1）的關(guān)鍵，求出正方形的邊長是解（2）的關(guān)鍵.

4.（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段

作為寬即可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.

【解析】

（1）解；設(shè)面積為400cm2的正方形紙片的邊長為0cm

*

■?

解析：（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即

可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.

【解析】

（1）解：設(shè)面積為400cm2的正方形紙片的邊長為acm

/.a2=400

又<a>0

a=20

又???要裁出的長方形面積為300cm2

???若以原正方形紙片的邊長為長方形的長，

則長方形的寬為:3004-20=15（cm）

???可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即可裁出符

合要求的長方形

（2）???長方形紙片的長寬之比為3：2

」?設(shè)長方形紙片的長為3xcm,則寬為2xcm

6x2=300

x2=50

又=“〉。

.?.x=5x/2

???長方形紙片的長為15〃

又（15立『=45（）>202

即：15a>20

???小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片

5.（1）正方形工料的邊長是5分米；

（2）這塊正方形工料不合格，理由見解析.

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出的值即可；

（2）設(shè)長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的邊長是5分米；

（2）這塊正方形工料不合格，理由見解析.

【詳解】

試題分析?：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出V25的值即可；

（2）設(shè)長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，得出方程3x?2x=18,求出x=G，再求出

長方形的長和寬和5比較即可得出答案.

試題解析：（1）???正方形的面積是25平方分米，

正方形工料的邊長是5分米；

（2）設(shè)長方形的長寬分別為3x分米、2x分米.

則3x*2x=18,

x2=3,

xi=>/3,X2=->/3（舍去），

3x=3y/3>5,2x=273<5,

即這塊正方形工料不合格.

二、解答題

6.（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1

【分析】

（1）連接AB,根據(jù)已知證明NMAB+NSBA=180。，即可得證；

（2）作CFIIST,設(shè)NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根據(jù)

解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1

【分析】

（1）連接48,根據(jù)已知證明NM48+N584=180。，即可得證；

（2）作CFIIS7,設(shè)NCBT=a,表示出NCAM4ACF,匕BCF,根據(jù)ADII8C,得到

ND4c=120。，求出NC4E即可得到結(jié)論：

(3)作CFIIST,設(shè)NCBT=6,得到NC8T=N8CF=6,分別表示出NC4V和/CAE,即可得到

比值.

【詳解】

解：(1)如圖，連接A3,

Z/VfAC+ZAC8+ZS8C=360°,

ZACB+ZABC+ZBAC=180°,

.?.ZJW4B+ZSZM=180°,

:.MN!/ST

(2)NC4￡=2NGW,

理由：作b〃▽，則A/N〃CE〃ST,如圖,

設(shè)NCOT=a,則NZM￡=2a.

ZBCF=ZCar=a,ZG4^=ZACF=60°-a,

VAD//BC,ZmC=1800-ZACB=l20°,

/.ZC4E=1200-ZDAE=120>—2a=2(60°-a)=2ZCW.

BPZCAE=2ZCAN.

(3)作b〃5T,則MV〃C/〃ST,如圖，設(shè)/。7=/，則NM4E=〃4.

CF//ST,

NCBT=NRCF=0,

八5a180。A180。-〃？

ZACF=/CA1N=------fi=-------—,

nn

IX0C

ZG4E=1800-ZMAE-4CAN=180°-+/?--=-—---(i8(r-/?/7),

ZC4E:ZC4N=—:-=?-1,

nn

故答案為〃-1.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式.

7.(1)；(2)的值為40°；(3).

【分析】

(1)過點。作OGIIAB,可得ABIIOGIICD,利用平行線的性質(zhì)可求解：

(2)過點M作MKIIAB,過點N作NHIICD,由角平分線的定義可設(shè)NBEM

解析：(1)ZBEO+ZDFO=260°；(2)/EMN-NFNM的值為4。。；(3)

【分析】

(1)過點。作OGIIA8,可得A8IIOGIICD,利用平行線的性質(zhì)可求解;

(2)過點M作MKWAB,過點N作NHWCD,由角平分線的定義可設(shè)/8EM=NOEM=K,

ZCF/V=ZOFN=y,由/BEO+ADFO=260?？汕髕-y=40°,進而求解；

(3)設(shè)直栽FK與EG交于點H,FK與AB交于點、K,根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性

質(zhì)及/FMN-NENM=50,,可得NK/7)-NAEG=50。，結(jié)合

ZAEG=nZOEG,DFK=nNOFK,N4￡O+NOFO=260。，可得

NAEG+-ZAEG+180°-乙KFD--Z.KFD=100°,

nn

即可得關(guān)于〃的方程，計算可求解〃值.

【詳解】

證明：過點。作。GIIA8,

?「A8IICD,

/MBIIOGIICD,

NBEO+/EOG=180°,ZDFO4-ZFOG=180°,

ZBEO+ZEOG+ZDFO+ZFOG=360°,

UP/BEO+4EOF+/DFO=360°,

,/ZEOF=1QO°,

NBEO+ZDFO=20)°；

(2)解：過點M作MKIIA8,過點N作/VHIICD,

E

圖2

丁EM平分NBEO,FN平分NCFO,

設(shè)NBEM=/OEM=x,NCFN=40FN=y,

ZBEO+ZZ)FO=260°

ZBEO+ZDFO=2x+180°-2y=260°,

x-y=40°,

,/MKWAB,NHWCD,ABWCD,

：.AB\\MKWNHWCD,

...NEMK=/BEM=x,ZHNF=NCFN=y,4KMN=￡HNM,

/.NEMN+NFNM=ZEMK+4KMN-QHNM+4HNF)

=x+NKMN-NHNM-y

=x-y

=40°,

故/EMN—/FNM的值為40。；

(3)如圖，設(shè)直線FK與EG交于點H,FK與AB交于點K,

圖3

,/4811CD,

ZAKF=/KFD,

?：ZAKF=/EHK+4HEK=/EHK+ZAEG,

：.AKFD=ZEHK+ZAEG,

ZEHK=ZNMF-ZENM=50°,

Z/C/,D=5()°+ZA￡G,

即NKFD-ZAEG=50°,

???ZAEG=n/OEG,FK在NDFO內(nèi),ADFK=nZOFK.

ZCFO=1800-ZDFK-ZOFK=180O-ZKFD--4KFD,

n

ZAEO=ZAEG+NOEG=/AEG+-4AEG,

ZBEO+ZDro=260°,

ZAEO+ZCFO=100°,

AAEG+-ZAEG+X80°-ZKFD--ZKFD=100°,

n

即(1+!(ZKFD-ZAEG)=S()0,

l+-jx50°=80°,

解得〃].

經(jīng)檢驗，符合題意，

故答案為：

【點睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(1)150°；(2)ZOCD+ZBO'E'=360°-a；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求

得/BOE的度數(shù)；

解析：(1)150°；(2)NOCO+N8O'E'=360°-a；(3)ZAOB=Z.BO'E'

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求得N8OE的

度數(shù)；

(2)如圖②，過。點作OFIICD,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得/OCD、/8OF的數(shù)量關(guān)

系；

(3)由已知推出CPIIOB,得到N4O8+NPCO=180。，結(jié)合角平分線的定義可推出

ZOCO=2NPCO=3600-2ZAOB,根據(jù)(2)ZOCD+Z8OE=3600-NAOB,進而推出

ZAOB=ABOE.

【詳解】

解：(1),/CDWOE,

.，.ZAOE=￡OCD=120°,

：.Z8OE=360°-ZAOE-4A08=360°-90°-120°=150°；

(2)ZOCD+Z8O'E'=360°-a.

證明：如圖②，過。點作OFIIC。,

國②

VCDIIO'E',

OFIIO'E',

Z4OF=1800-ZOCD,Z8OF=NF0'0=1800-NBOE,

ZA08=NAOF+Z.8OF=180°-Z08+180°-/8O'E'=360°?(ZOCO+NBOE)=a,

...ZOCD+Z8OE=360°-a；

(3)ZAOB=Z.BOF.

證明：?「NCPO=90。，

/.PO'±CP,

PO'A.OB,

：.CPWOB,

：.ZPCO+N408=180°,

2ZPCO=3600-2ZAOB,

??,CP是Noc。的平分線，

Z08=2/PCO=360°-2ZAOB,

,/th(2)知，NOCD+N8O'F=36(r-a=36(r-NAO。,

/.360°-2ZAO8+N80F=350°-/AOB,

：.ZAOB=Z.BOF.

【點睛】

此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，直角的定義，角平分線的定義，正確作出

輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

9.(1)35,35,平行；(2)ZFMN+ZGHF=180°,證明見解析；(3)不變,

2

【分析】

(1)根據(jù)(a-35)2+|B-a|=0,即可計算a和B的值，再根據(jù)內(nèi)錯角相等可證

ABIICD；

(2

解析：(1)35,35,平行；(2)NFMN+NGHF=180°,證明見解析；(3)不變，2

【分析】

(1)根據(jù)(a-35)2+|6句=0,即可計算a和6的值,再根據(jù)內(nèi)錯角相等可證A8IICD；

（2）先根據(jù)內(nèi)錯角相等匯GHIIPN,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補和等量代換得出

ZFMN+NGHF=180°；

(3)作NPE/Vh的平分線交MQ的延長線于/?,先根據(jù)同位角相等證ERIIFQ,得

ZFQMi=AR,設(shè)NPER"REB=x,ZPMiR=NRMiB=y,得出NEPMi=2AR,即可得

/Q—2.

【詳解】

解：(1)V(a-35)2+|6-a|=0,

a=6=35,

/.ZPFM=NMFN=35",ZEMF=35°,

：.ZEMF=Z.MFN,

」.4811CD；

(2)ZFMN+4G"=180°；

理由：由(1)得4811CD,

ZMNF必PME,

?//MGH=/MNF,

：.ZPME=NMGH,

GWIIPN,

：.ZGHM=Z.FMN,

?「ZGHF+AGHM=180°,

ZFMN+AGHF=180°；

NFPN

(3)2」的值不變，為2,

理由：如圖3中，作N的平分線交MiQ的延長線于/?,

,/4811CD,

：.ZPEM產(chǎn)NPFN,

,/ZPER=^Z.PEMlf匕PFQ=^4PFN,

ZPERMPFQ,

ERIIFQ,

圖3

ZFQM產(chǎn)NR,

設(shè)NP￡/?=NREB=x,ZPM盅-，RMiB-y,

y=A+Z.R

則有:

2y=2x+NEPM'

可得/EPMi=2ZR,

ZEPMi=2ZFQMi，

NEPMiNFPN\

=2.

“QM-NQ

【點睛】

本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)錯角相等證平行，平行線同旁內(nèi)角互補等

知識是解題的關(guān)鍵.

10.（1）見解析；（2）,理由見解析；（3）①當在延長線時（點不與點重

合），；②當在之間時（點不與點，重合），.理由見解析

【分析】

（1）過P作PEIIAB,構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得NAPC=

解析：（1）見解析；⑵NCPO=Na+180。-/4，理由見解析；（3）①當P在明延

長線時（點P不與點A重合），ZCPr>=180o-Z/7-Z?；②當。在BO之間時（點尸不與

點4,。重合），NCPO=Na—180。+//.理由見解析

【分析】

（1）過P作PEIIA8,構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得/APC=113。：

（2）過過尸作打7/A。交CO于/，，推出AP//P尸根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

?BCP180??〃，即可得出答案；

（3）畫出圖形（分兩種情況：①點P在8A的延長線上，②當。在80之間時（點夕不與

點〃，O重合）），根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

解：（1）過尸作莊//48,

VAB//CD,

:.PE//AB//CD,

\?APE制8=180,ZCPE+ZPCD=180°,

VZPAB=\2SO,ZPCD=119°

/.ZAPE=52°,/CPE=6l。,

.-.ZAPC=52O+61°=113°；

(2)ZCPD=Za+18O°-Z/7,理由如下:

如圖3,過夕作/Y7/AP交C。于產(chǎn)，

AD//BC,

AD//PF//BC,

:.ZADP=4DPF,5CP=NCPF,

ZBCP+ZPCE=180°,4PCE=40,

NB"=180。-“

又.ZADP=/a

\?CPD?DPF^iCPF-a+180??b；

B

（3）①當尸在84延長線時（點產(chǎn)不與點A重合），NCPD180°-Z//-Z<z；

理由：如圖4,過。作分//AQ交。。于產(chǎn)，

AD//BC,

..AD//PF//BC,

:.ZADP=/DPF,ZBCP=ZCPF,

???NBCP+NPCE=180°,NPCE=邛,

/.ZBCP=18O°-Z/7,

又.ZADP=/a,

4CPD=/CPF-乙DPF=180°-Za-Z^;

②當P在30之間時（點。不與點8,。重合），ZCPD=-180。+〃.

理由：如圖5,過P作球/MD交。。于尸，

,AD//BC,

:AD//PFHBC,

:.ZADP=ZDPF,"CP=/CPF,

.?/BCP+NPCE=180°,NPCE=N尸，

ZBCP=180°-Z/?,

又?.ZADP=^a

ZCPD=NDPF-/CPF=Za+Z/7-180°.

U/

E

圖5

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線

構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角.

三、解答題

11.（1）NA+NC=90＞；（2）①見解析；②105°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；

（2）①過點B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作

BGII

解析：（1）N4+NC=90。；（2）①見解析；②105。

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；

（2）①過點8作8GII根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點8作8GII

根據(jù)角平分線的定義，得出NA8F=/G8F,再設(shè)NO8E=a,ZABF=6,根據(jù)

ZCBF+Z.BFC+^BCF=180°.可得2a+6+3tx+3cr+6=180°,根據(jù)4B_L8C,可得6+6+2覆=90°,最

后解方程組即可得到NABE=15°,進而得出NEBC=AA8E+N2BC=15°+90°=105°.

【詳解】

解：（1）如圖1,AM與8c的交點記作點O,

,/AMWCN,

：.ZC=ZAOB,

-：AB±BC,

ZA+Z408=90°,

Z4+NC=90°；

???BD±AM,

DB±BG,

Z08G=90°,

ZABD+Z.ABG=90°,

,/AB±BC,

ZCBG+Z48G=90°,

/.ZABD=Z.CBG,

「AMIICN,BGWDM,

BGHCN、

ZC=ZCBG,

NABD=ZC：

BF平分NDBC,BE平分/ABD,

：.ZO8F=/C8F,ZDBE=ZABE,

由（2）知N48O=/CBG,

ZABF=Z.GBF,

設(shè)/DBE=a,ZABF=6,

則NABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

/GRF=/AFR=fi,

ZBFC=3NDBE=3af

ZAFC=3a+6,

?/ZAFC+Z.NCF=180°,/FCB+NNCF=180°,

/.ZFCfi=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由NC8F+N8FC+N8CF=180°得：

2a+6+3a+3a+6=180°,

AB±BC,

6+6+2a-90°,

a=15",

/48E=15°,

ZffiC=ZABE+Z./A8C=15o+90o=105°.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角

的余角（補角）相等進行推導.余角和補角計算的應用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相

關(guān)聯(lián).解題時注意方程思想的運用.

12.（1）50°；（2）ZA+ZC=300+a,理由見解析；（3）NA-NDCM=3（T+a或

30°-a

【分析】

（1）過M作MNIIAB,由平行線的性質(zhì)即可求得/M的值.

（2）延長BA,DC交于E,

解析：（1）50°；（2）NA+NC=30°+a,理由見解析；（3）N4/DCM=30°+a或30”

【分析】

（1）過M作MNII4B,由平行線的性質(zhì)即可求得NM的值.

（2）延長B4DC交于E,應用四邊形的內(nèi)角和定理與平角的定義即可解決問題.

（3）分兩種情形分別求解即可;

【詳解】

解：（1）過M作MNWAB,

V

M

BD

圖1

?「4811CD,

MNl\CD,

Z1=ZA,Z2=ZC,

ZAMC=N1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案為：50。；

（2）Z4+ZC=30°+a,

延長BA,DC交于￡,

E9k?

Z8+Z0=150°,

ZE=30。，

ZBAM+NDCM=360°-(ZEAM+ZECM)=360°-(360°-/E-ZM)=30°+a：

即NA+ZC=30°+a；

(3)①如下圖所示:

延長84、DC使之相交于點E,延長MC與BA的延長線用交于點F,

*/Z8+N0=150°,ZAMC=a,：.Z￡=30°

由三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系得：

Z1=30°+/2

Z2=z3+a

Zl=30°+Z3+a

Z1-Z3=30°+a

即:ZA-￡C=30°+a.

②如圖所示，210-ZA=(180°-ZDCM)+a,即N4/DCM=30°-a.

綜上所述，ZA-Z.DCM=3Q°+a或30°-a.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì).解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線“IA8,利用平行

線的性質(zhì)(兩直線平行內(nèi)錯角相等)將所求的角NM與已知角NA、NC的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起

來，從而求得NM的度數(shù).

13.(1)146°；(2)ZAOG+ZNEF=90°；(3)見解析

【分析】

(1)作CP〃a,?ijCP//a//b,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解.

(2)作CP〃a,由平行線的性質(zhì)及等量代換得NAOG+NN

解析：(1)146°：(2)NAOG+NN￡F=90。；(3)見解析

【分析】

(1)作CP〃a,則CP〃a〃b,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解.

(2)作CP//。，由平行線的性質(zhì)及等量代換得/AOG+NN"=NACP+N產(chǎn)C8=9U°.

（3）分類討論點P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點P作a,b的平行線求

解.

【詳解】

解：（1）如圖，作CP〃a,

,/a//b,CP//a,

CP//a//bt

ZAOG=AACP=56°,ZBCP+ACEF=180°,

ZaCP=1800-ZCEF,

ZACP+A8cp=90",

ZAOG+180°-ZCEF=90°,

ZCEF=180°-90°+Z40G=146°.

(2)ZAOG+Z./VEF=90°.理由如下：

如圖，作CP〃6則CP〃a〃b,

ZA0G=AACP,ZBCP+ZCEF=180°,

ZNEF+4CEF=130°,

：.Z8CP=ZNEF,

ZACP+Z.8cp=90°,

...ZAOG+NNEF=90°.

（3）如圖,當點P在GF上時,作PN〃明連接PQ,OP,則PN〃a〃b,

A

/.ZGOP=NOPN,ZPQF=NNPQ,

...ZOPQ=ZOP/V+NNPQ"GOP+NPQF,

,/ZGOC=NGOP+NPOQ=135°,

/.ZGOP=135°-ZPOQ,

...ZOPQ=135°-ZPOQ+NPQF.

如圖，當點P在GF延長線上時，作PA/〃a,連接PQ,OP,則PN〃a〃b,

/.ZGOP=ZOPN,ZPQF=ZNPQ,

,：ZOP/V=ZOPQ+ZQPN,

：.ZGOP=/OPQ+ZPQF,

1350-ZPOQ=NOPQ+ZPQF.

【點睛】

本題考查平行線的性質(zhì)的應用，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，通過添加輔助線及分

類討論的方法求解.

14.(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)過C作CFIIAB根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ND=ZFCD,ZB=ZBCF,然后根據(jù)

已知條件即可得到結(jié)論；

解析：(1)ZDACi(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)過C作CFWAB根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/D=ZFCD,Z8=NBCF,然后根據(jù)已知條件即

可得到結(jié)論；

(3)過點E作EFII48,然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求N8E。的度數(shù).

【詳解】

解：(1)過點4作EDII8C,

Z8=ZEAB,ZC=ZDCA,

又?「ZE48+/8AC+NDAC=1SO°,

：.Z8+ZBAC+Z.C=180°.

故答案為：ZDAC；

(2)過C作CFIIAB,

B

圖2

,/4811DE,

CFWDE,

ZD=ZFCD,

■：CFWAB,

/.Z8=ZBCF,

'：Z8CF+Z8C0+NDCF=360",

Zfi+Z8CD+ND=360°；

(3)如圖3,過點￡作EFIIAB,

,/4811CD,

A8IICDIIEF,

ZABE=ABEF,ZCDE=ZDEF,

??8E平分/ABC,。￡平分NAOC,NA8c=60°,ZADC=7T,

/.ZABE=^A4BC=30。，NCDE=gNAOC=35°,

ZBEDS8EF+NO￡F=300+35°=65°.

【點睛】

此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)進行

推算.

15.（1）①90；②t為或或或或或或；（2）①正確，②錯誤，證明見解

析.

【分析】

（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：從而可得答案；②當時，有兩種

情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和

解析：（1）①90；②t為3s或6s?或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正確，②錯

誤，證明見解析.

【分析】

（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：NDPC=180。-NCQA-NOP氏從而可得答

案；②當8Q//PC時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差

求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時旬：當44〃4。時?，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行

線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當4C〃OP時，有兩種情況，畫出

符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當

時，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得

旋轉(zhuǎn)時間；當AC7/3P時的旋轉(zhuǎn)時間與N/8O相同；

（2）分兩種情況討論：當?。在MN上方時，當PD在MN下方時,①分別用含，的代數(shù)

式表示4CPD/BPN,從而可得三攜的值；②分別月含/的代數(shù)式表示

4BPN

/CPD/BPN,得到47W+NC叨是一個含/的代數(shù)式，從而可得答案.

【詳解】

解：（1）①/ZDPC=1800-Z.CPA-Z.DPB,ZC%=60°,ZDPB=30°,

ZDPC=180-30-60=90°,

故答案為90；

②如圖1-1,當BDWPC時，

圖1-1

,.1PCWBD,ZDBP=90°,

/.ZCPN=NOBP=90°,

ZCPA=60°,

ZAPN=30°,

轉(zhuǎn)速為107秒，

???旋轉(zhuǎn)時間為3秒；

如圖1-2,當PCIIBD時,

PC"BD、￡P(guān)BD=90°,

ZCP8=Z08P=90°,

ZCPA=60\

NAPM=30°,

三角板P4：繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°=210°,

轉(zhuǎn)速為107秒，

「?旋轉(zhuǎn)時間為21秒，

如圖1-3,當以II8。時，即點。與點C重合，此時NACP=N8PD=30。，則八Gl8P,

圖1-3

,/PAWBD,

：.ZDBP=Z.APN=90°,

「?三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90。,

轉(zhuǎn)速為107秒，

「?旋轉(zhuǎn)時間為9秒，

如圖1-4,當外II8D時，

ZDPB=^ACP=30\

/.ACWBP,

PAWBD,

：.ZDBP=N8%=90°,

一?三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°+180°=270°,

轉(zhuǎn)速為107秒,

旋轉(zhuǎn)時間為27秒，

如圖1-5,當4GlDP時，

圖1-5

?「ACWDP,

ZC=ZDPC=30°,

ZAPN=180°-30°-30?-60°=60°,

「?三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為60。,

轉(zhuǎn)速為icr7秒,

「?旋轉(zhuǎn)時間為6秒，

如圖1-6,當AC〃QP時.

AC//DP,

：.NOPA=NPAC=90。，

ZDPN+ZDPA=180°-30°+90°=240°,

???三角板P4C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為240。,

轉(zhuǎn)速為107秒，

旋轉(zhuǎn)時間為24秒，

如圖1-7,當4GlBD時,

'：ACWBD,

ZDBP=ABAC=90°,

點八在MN上，

三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180°,

轉(zhuǎn)速為107秒，

???旋轉(zhuǎn)時間為18秒，

當AC7/8P時，如圖1-3,1-4,旋轉(zhuǎn)時間分別為：9s,27s.

綜上所述：當t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s時，這兩個三角形是“攣生三角

形”；

(2)如圖，當尸。在MN上方時，

①正確，

理由如下：設(shè)運動時間為t秒，則N8PM=23

ZBPN=1800-23NDPM=300-2t,ZAPN=3t.

ZCPD=1800-ZDPM-乙CPA-乙APN=90°-t

...4BPN=2ZCPD=180°-2r,

?_N_C__P_D_—_1

一~ZBPN~2'

②N8PN+NCPD=180°-21+90。-t=270°-33可以看出NBPN+NCPD隨著時間在變化,

不為定值，結(jié)論錯誤.

當PO在MN下方時，如圖，

①正確，

理由如卜.：設(shè)運動時間為t秒，則NBPM=2t,

ZBPN=180n-2t,ZDPM=2/-301/APN=3t.

ZCPD=33-4CPA-公PN-/DPB-4BPN

=360°-60o-3r-30o-(180°-2r)

二90。7

/.4BPN=2NCPD=180。一2/,

.zeroi

,,~2BPN~I'

②NBPN+ACPD=180°-2H90。-t=270°-3t,可以看出N8P/V+NCPD隨著時間在變化，

不為定值，結(jié)論錯誤.

綜上：①正確，②錯誤.

【點睛】

本題考查的是角的和差倍分關(guān)系，平行線的性質(zhì)與判定，角的動態(tài)定義(旋轉(zhuǎn)角)的理

解，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

四、解答題

16.(1)120°；(2)ZEPF=ZAEP+ZCFP或NAEP=ZEPF+ZCFP,證明見詳

解.

【分析】

(1)根據(jù)題意，當點與點、在一直線上時，作出圖形，由