高等數(shù)學（上冊）（慕課版）第1講不定積分的概念與性質(zhì)第4章不定積分01原函數(shù)02不定積分的概念03不定積分的幾何意義04不定積分的性質(zhì)05基本積分公式本講內(nèi)容3定義4.1

設是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對任意或則稱是在區(qū)間I上的一個原函數(shù).例如，因為，所以是在內(nèi)的一個，都有原函數(shù)；

所以是在

內(nèi)的一個原函數(shù).，01原函數(shù)定理4.24定理4.1(原函數(shù)存在定理)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則在該區(qū)間上一定存在原設函數(shù)是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，在區(qū)間I上的任意一個原函數(shù)可以表示為，其中C是任意常數(shù).01原函數(shù)那么01原函數(shù)02不定積分的概念03不定積分的幾何意義04不定積分的性質(zhì)05基本積分公式本講內(nèi)容定義4.26如果函數(shù)是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則

在區(qū)間I上所有原函數(shù)的全體稱為在區(qū)間I上的不定積分，記作，即其中，稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).02不定積分的概念7求不定積分

(1)；

（2）．

（1）因為,所以．

（2）由題可知,被積函數(shù)的定義域為：,所以

當時,,即；

當時,,即．

例1

解故．02不定積分的概念8求不定積分

因為,所以．同理可知：

例2

解02不定積分的概念．101原函數(shù)02不定積分的概念03不定積分的幾何意義04不定積分的性質(zhì)05基本積分公式本講內(nèi)容yOxxy=F()y=F(x+C)10通常把函數(shù)在區(qū)間I上的原函數(shù)的圖形稱為函數(shù)的積分曲線，即對于確定的常數(shù)C，表示坐標平面上一條確定的積分曲線；時，在幾何上就表示一簇積分曲線.由可知，的不定積分是一簇積分曲線，這些曲線都可以通過一條曲線向上或向下平移而得到，在具有相同橫坐標的點處有互相平行的切線.當C取不同數(shù)值y=F(x-C)它們03不定積分的幾何意義11點處的切線的斜率等于該點橫坐標的平方,試求該曲線的方程．

由題意知,對所求曲線有下式成立由于

所以

又曲線過點,即所以,

因此所求曲線的方程為

已知某曲線經(jīng)過點,并且該曲線在任意一

例3

解03不定積分的幾何意義01原函數(shù)02不定積分的概念03不定積分的幾何意義04不定積分的性質(zhì)05基本積分公式本講內(nèi)容13(2)，或.即在不計積分常數(shù)的意義下，求不定積分運算與求微分運算互為逆運算.或.(1)，性質(zhì)4.1性質(zhì)4.3性質(zhì)4.2（k為非零常數(shù)）.即計算不定積分時,被積函數(shù)中的非零常數(shù)因子可以移到積分號的外面.04不定積分的性質(zhì)01原函數(shù)02不定積分的概念03不定積分的幾何意義04不定積分的性質(zhì)05基本積分公式本講內(nèi)容15（k為常數(shù)）；05基本積分公式1605基本積分公式17求

例4

解205基本積分公式18求

例5

解305基本積分公式19

求不定積分

例6

解05基本積分公式20

求不定積分

例7

解05基本積分公式21求

例8

解405基本積分公式22求

例9

解505基本積分公式23

求不定積分

例10

解05基本積分公式24求不定積分

例11

解05基本積分公式25

求不定積分

例12

解05基本積分公式26

求不定積分

例13

解05基本積分公式627求

例14

解705基本積分公式28

分析：基本積分表中沒有正余弦函數(shù)的高次冪的積分，因此被積函數(shù)中出現(xiàn)這類三角函數(shù)，一般要考慮先利用三角函數(shù)的倍角公式進行降冪，然后再求不定積分．

求不定積分

例15

解05基本積分公式29

求不定積分

例16

解05基本積分公式30

解

例17求不定積分05基本積分公式31

解法一

例18求不定積分05基本積分公式32

解法二05基本積分公式33

例19

解05基本積分公式34

而,,

所以

因此

設,