高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第2講定積分基本公式第5章定積分及應(yīng)用01變上限積分函數(shù)02微積分基本公式本講內(nèi)容定義3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)任意，有在因此函數(shù)在上可積，積分上連續(xù)，存在，這里，變量.既表示定積分上限又表示積分為將積分變量由于定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)，可以把積分變量改用其他符號(hào)，與積分上限區(qū)分開，即定

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變上限積分函數(shù)4則該積分可改寫為因此積分顯然，該定積分的值由積分上限上的函數(shù)，上的取值決定，在區(qū)間定義了一個(gè)稱為積分上限函數(shù)，記作.在區(qū)間.

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變上限積分函數(shù)定理5.2證5設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限在區(qū)間上可導(dǎo)，且..，且，則.由積分中值定理知，存在介于與之間，使得由于時(shí)，再由導(dǎo)數(shù)的定義及函數(shù)的連續(xù)性，得即設(shè)是區(qū)間上的任意一點(diǎn)，設(shè)在自變量處的改變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的改變量為，.，

01

變上限積分函數(shù)6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）；

（2）．

（1）．

（2）．

解1例

01

變上限積分函數(shù)7

求極限

．當(dāng)時(shí)，

分子、分母同時(shí)趨于零，

是一個(gè)“”型不定式，

由洛必達(dá)法則，

得

.

解2例

01

變上限積分函數(shù)8

求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

．

解3例

01

變上限積分函數(shù)9

解4例求極限．．

01

變上限積分函數(shù)01變上限積分函數(shù)02微積分基本公式本講內(nèi)容定理5.2證11設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則已知是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，又由定理5.2，可知，于是，由原函數(shù)性質(zhì)也是使得得，令再令，，得，所以．的一個(gè)原函數(shù)，知，存在常數(shù)

02微積分基本公式上式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓—萊布尼茲1212通常將簡(jiǎn)記為．公式.定積分之間的關(guān)系，它揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定有效的方法：將求定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù).因此，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)就可解決定積分的計(jì)算問(wèn)題.同時(shí)給出了求定積分簡(jiǎn)單而有

02微積分基本公式1213求定積分（1）；（2）．（1）．（2）．

解5例

02微積分基本公式14

解求定積分．

因?yàn)?/p>

，

所以

．6例

解

解

02微積分基本公式15

一輛汽車正以的速度勻速直線行駛，突然發(fā)現(xiàn)一障礙物，于是以的加速度減速.,求汽車完全停止前所行駛的路程．

設(shè)汽車的速度為，

則加速度，

兩邊積分，

有，

得.將

代入上式，

得，

所以．

解7例

02微積分基本公式16

當(dāng)汽車速度為零時(shí)汽車停下,解,得汽車的剎車時(shí)間為，

s

再由速度與路程之間的關(guān)系，得，

即汽車的完全停下所行駛的路程為．

02微積分基本公式17

解8例由定積分積分區(qū)間的可加性，得設(shè)求的值，使.即，因此，解得或.

02微積分基本公式18用定積分的定義求下列極限．

.

.

解9例

02微積分基本公式19求下列極限．

.

解10例

02微積分基本公式120求下列極限．

解11例

02微積分基本公式221求下列極限．

解12例

02微積分基本公式322求下列極限．

解13例

02微積分基本公式423求下列極限．

解14例

02微積分基本公式5.24求下列極限．

解15例

02微積分基本公式6.25求下列極限．

解16例

02微積分基本公式7.26

解17例

02微積分基本公式8

計(jì)算正弦函數(shù)y=sinx

在[0,

]

上與x

軸所圍成的平面圖形的面積.xyy=sinx

O27

解17例

02微積分基本公式9

汽車以每小時(shí)36

km速度行駛，到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a=?

5m/s2

剎車，問(wèn)從開始剎車到