2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之函數(shù)概念與性質(zhì)（三）

一.選擇題（共U小題）

1.（2021?甲卷）設(shè)/（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且/（1+x）=/（-x）.若/（一芬=/則/（［）=

（）

5115

A.一卷B.-4C.-D.-

3333

2.（2021?北京）設(shè)函數(shù)/（幻的定義域為［0,1］,則“/（X）在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增"是"/（X）在區(qū)間

［0,1］上的最大值為/（I）”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

3.（2021?乙卷）設(shè)函數(shù)/（x）=是，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A./(x-I)-IB.f(A-1)+1C.f(A+1)-ID./(x+l)+1

4.(2021?上海)以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)()

A.y=-3xB.y=/C.>'=logxrD.y=3x

5.(2021?甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-xB.f(x)=(1)*

C.f(x)=/D.f(x)=Vx

6.（2021?新高考H）已知函數(shù)/（外的定義域為R（/（x）不恒為0）,/（x+2）為偶函數(shù)，/（2.r+l）為

奇函數(shù)，則（）

A/T)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

7.（2021?浙江）已知函數(shù)/（x）g（x）=siiu-,則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

1

B-y=f(x)-g(x)-4

g(x)

C.y=f(x)g(x)D.尸7W

8.(2021?全國)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(

A.y=lg(x-1)+/g(x+1)B.y=|sinx+cosxj

1

C.y=D.y=(x+2)2+(2x-1)2

9.(2021?全國)函數(shù)y=k)g2(l-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(…，o)B.(0,+8)C.(7,0)D.(0,1)

10.(2021?甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xW[l,2]時，f

9

-

-2)

9375

----c--

A.4B.24D.2

函數(shù)/?"黑的圖象大致為

11.(2021?天津))

二.填空題(共8小題)

12.(2022?全國)設(shè)函數(shù)/(x)="(a>0,且qWl)是增函數(shù)，若?：［；；=,則。=

13.(2022?乙卷)若/(x)=/〃|。+占什匕是奇函數(shù)，則〃=,b=.

14.(2022?全國)設(shè)/(%)是定義域為R的奇函數(shù)，g(x)是定義域為R的偶函數(shù).若/(x)+g(x)=

2\則g(2)=.

15.(2021?新高考I)已知函數(shù)f(x)(〃?2"-27)是偶函數(shù)，則。=.

16.(2021?浙江)已知花R,函數(shù)/(x)=:若/(/(乃))=3,則。=_______.

.\x-3|4-a,x<2.

17.(2021?新高考II)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(外：.

?f(X\X2)=/(xi)/(x2);②當(dāng)屬<0,+8)時，/(x)>0；③f(x)是奇函數(shù).

18.(2021?全國)已知函數(shù)/(■=0?+歷；+(知2-2,且/(-2)=8,則/(2)=.

19,(2021?全國)函數(shù)/(%)=12門1一鏟的定義域是.

三,解答題(共2小題)

20.(2021?甲卷)已知函數(shù)/(3=田-2|,g(x)=|2￥+3|-\2x-l|.

(1)畫出1y=/(x)和y=g(x)的圖像；

21.(2021?上海)已知.，X2WR,若對任意的X2-AIG5,/(A2)-f(xi)WS,則有定義：/(x)是在S

關(guān)聯(lián)的.

(1)判斷和證明/(#=您?1是否在［0,+8)關(guān)聯(lián)？是否有［0,1］關(guān)聯(lián)？

(2)若/(%)是在｛3｝關(guān)聯(lián)的，/(x)在對0,3)時，/(x)=『-2x,求解不等式：2Wf(x)W3.

(3)證明：/(x)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)"/J)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的”.

D.既不充分也不必要條件

【考點】函數(shù)的最值：充分條件與必要條件.

【專題】證明題；對應(yīng)思想；試驗法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；笥易邏輯；邏輯思維.

【答案】A

【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義，判斷命題的真假性即可.

【解答】解：若函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

則函數(shù)/(x)在［0,1］上的最大值為/(I),

若f=(x-1)2,則函數(shù)/J)在［0,I］上的最大值為f(I),

但函數(shù)/(不)在［0,1］上不單調(diào)，

故選：A.

【點評】本題考查了充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021?乙卷)設(shè)函數(shù)/(x)=￡,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x-1)-1B.f(A-1)+1C.f(^+1)-1D.f(x+1)+1

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解.

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)/(x)的解析式，得到/(4)的對稱中心，然后通過圖象變換，使得變換后的函數(shù)

圖象的對稱中心為(0,0),從而得到答案.

【解答】解：因為/(外=醇=一(即+2=-1+系，

所以函數(shù)/(x)的對稱中心為(?1,?1),

所以將函數(shù)/(x)向右平移一個單位，向上平移一個單位，

得到函數(shù)y=/(x-1)+1,該函數(shù)的對稱中心為(0,0),

故函數(shù))，=/(x1)+1為奇函數(shù).

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對稱中心，考查了邏輯

推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2021?上海)以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)()

A.y=-3xB.y=?C._y=log3xD._y=3Y

【考點】困數(shù)的奇偶性；由困數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】A

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗各選項即司.判斷.

【解答】解：)，=-3x在R上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，4符合題意；

因為y=/在R上是增函數(shù)，8不符合題意；

)，=log”，)，=3》為非奇非偶函數(shù)，C不符合題意；

故選：A.

【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2021?甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-xB.f(x)=(|)*

C.f(x)=/D.f(x)=Vx

【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】D

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知/(x)=?x在R上是減函數(shù)，不符合題意：

2

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知/(%)=(1)x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/(X)=/在R上不單調(diào)，不符合題意；

根據(jù)制函數(shù)性質(zhì)可知f(x)二板在R上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2021?新高考H)已知函數(shù)/(x)的定義域為R(/(x)不恒為0),/(x+2)為偶函數(shù)，f(2戶1)為

奇函數(shù)，則()

1

A.f(-^)=0B./(-I)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】B

【分析】根據(jù)f(x+2)為偶函數(shù)，可得/(x+4)=/(-x),/⑵+1)為奇函數(shù)，可得了(?2計1)=

-/(2x+l),即可判斷選項.

【解答】解：???函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，

?；f(2+x)=/(2-x),

V/(2x+l)為奇函數(shù)，

：,f(I-2x)=-/(2x+l),

用x替換上式中2x+l,得/(2-x)=-f(x),

：,f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=/(k),即/(x)=f(x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

V/(2A+I)為奇函數(shù)，

(1-20=-/(2A+1),即f(2r+l)4/<-2^+1)=0,

用x替換上式中2x+l,可得，/(x)=0,

???/(x)關(guān)于(I,0)對稱，

又???/(1)=0,

???/(-1)=-/(2+1)=-/(1)=0.

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7.(2021?浙江)已知函數(shù)/(x)=』+/,g(x)=siius則圖象為如圖的函數(shù)可能是(

11

A.y=f(x)+g(x)一彳B.y=f(x)-g(x)一彳

C.y=f(x)g(x)D.>'=7W

【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；直觀想象.

【答案】。

【分析】可以判斷所求函數(shù)為奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可排除選項A,B；利用函數(shù)在(0,勺上的單

調(diào)性可判斷選項C,D.

【解答】解：由圖可知，圖象關(guān)于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù)，

因為/(幻=7+,為偶函數(shù)，g(x)=sinx為奇函數(shù)，

函數(shù)y=/(%)+g(x)一,=『+siiu?為非奇非偶函數(shù)，故選項A錯誤；

函數(shù)丁=/(x)-g(工)一1-siru,為非奇非偶函數(shù)，故選項B錯誤；

函數(shù)'=/(%)g(X)=(/+/)sinx,則y'=2rsinx+(x2+1)cosQO對x￡(0，恒成立，

則函數(shù))，=f(x)g(x)在(0,力上單調(diào)遞增，故選項C錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵是掌握識別圖象的方法：可以從定義域、值域、函數(shù)

值的正負、特殊點、特殊值、函數(shù)的性質(zhì)等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與邏輯推理能力，屬于

中檔題.

8.(2021?全國)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y—lg(x-1)+lg(x+1)B.y=|sirLt+coir|

C.y=x^D.產(chǎn)(x+2)2+(2v-1)2

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運算求解.

【答案】D

【分析】分別運用函數(shù)的奇偶性的定義，對各個選項意義判斷可得結(jié)論.

【解答】解：對于A,)，=/g(1-1)+/g(x+1)的定義域為(1,+8),不關(guān)于原點對稱，故A不正確；

對于&y=f(x)=|siiiY+cosj1的定義域為R,但/(?x)壬/'(x),故8不正確；

對于C,y=/(x)=6的定義域為R,/(-x)=-/⑴，/(x)為奇函數(shù)，故C不正確；

對于￡),y=f(X)=(x+2)2+(2x-1)2=5A-2+5,滿足/(-X)=f(x),故y=/(x)為偶函數(shù)，故

D正確.

故選：D.

【點評】本題考杳函數(shù)的奇偶性的定義和運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2021?全國)函數(shù),，=log2(l-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(…，o)B.(0,+8)C.(-1,0)D.(0,1)

【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】整體思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】D

【分析】函數(shù))，=10g2(I-A2)的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)1=1(-1<X<1),的減區(qū)間，然后結(jié)合二

次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【解答】解：設(shè)，=1(-1<X<1),

則y=log2f,

由y=log2/為增函數(shù)，

即函數(shù)y=log2(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)/=1-/，(-1<x<1),的減區(qū)間，

又函數(shù)(-1<X<1),的減區(qū)間為(0,1),

即函數(shù)y=log2(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),

故選：D.

【點評】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，重點考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.

10.(2021?甲卷)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)碼1,2]時,f

9

(x)=o?+b.若/(0)4/(3)=6,則/(一)=()

2

9375

A.-7B.-5C.-D.-

4242

【考點】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的值.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】D

【分析】由/(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，可求得f(x)的周期為4,由/(x+1)為奇函數(shù)，

可得/(1)=0,結(jié)合f(0)+f(3)=6,可求得a,b的值,從而得到xW[l,2]時,f(x)的解析式，

再利用周期性可得/《)=/(1)=-/(|)，進一步求出得)的值.

【解答】解；V/(x+1)為奇函數(shù)，.*./(1)=0,且/(x+1)=/(聲1),

V/(x+2)偶函數(shù)，：.f(x+2)=/(-x+2),

：.fl(A+1)+11=-/[-(x+1)+11=-f(-x),W/(x+2)=-/(-%),

???/(-x+2)=f(x+2)=-/(-x).

令/=?x,則/(什2)=-f(/),

?V(r+4)=-f(t+2)=/(r),(A+4)=/(X).

當(dāng)xe[l,2]時，f(x)=a?+也

f(0)=/(-1+1)=-/(2)=-4a-b,

/(3)=/(l+2)=/(-1+2)=/(l)=a+b,

又/(0)4/(3)=6,???-3a=6,解得a=-2,

***f(I)=。+〃=0,:?b=-4=2,

,當(dāng).隹［1,2］時，f(x)=-2?+2,

913Q5

/./(-)=f(-)=-/(-)=-(-2x*+2)=去

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性，考查轉(zhuǎn)化思怛與運算求解能力，屬于中檔題.

【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；方程思想：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除AC,再分析（0,1）上函數(shù)值的符號，排除。，即可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=翌，其定義域為｛Hr#。｝，

人IJ

有/（-X）=然=/（",是偶函數(shù)，排除4G

在區(qū)間（0,1）上，/H|A|=//U<0,必有/（x）V0,排除。，

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

二,填空題（共8小題）

12.（2022?全國）設(shè)函數(shù)/（幻=ax（?>0,且a#l）是增函數(shù)，若=三,則。=3.

。？一零？/（2）-/（-2）10--------

【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】計算題：對應(yīng)思想；定義法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運算求解.

【答案】3.

【分析】先利用指數(shù)哥的運算化簡求出小再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【解答】解：???函數(shù)/=丁（?>0,且“XI）,

./（I）-f（T）=…T=1=3

V（2）-/（-2）-a2-a-2~a+a-1-10*

???3。2?10。+3=0,

??.a=3或a='，

???函數(shù)/（*="（。>0,且aWl）是增函數(shù)，

a=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)塞的運算，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2022?乙卷）若fG）=/〃|a+占1+8是奇函數(shù)，則a=,b=ln2.

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計算題：函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運算求解..

［答案】—ln2.

【分析】顯然根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，xWl且工工1+）所以1+1=一1,進而求出〃的

值，代入函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)/（0）=0即可求出〃的值.

【解答】解:f（x）=歷|。+占+力,

若。=0,則函數(shù)/（工）的定義域為{?小W1},不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，

由函數(shù)解析式有意義可得，xWl且〃十七H0，

.?.#1且R1+：,

???函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，，定義域必須關(guān)于原點對稱，

?，?1+:=-1>解得a=—2，

?V(X)=加1/、1+〃，定義域為{小wi且xW-1},

/(I-X)

由./■(())=0得，。?!+。=0,

：,b=ln2,

1

故答案為：一宗M2.

【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

14.(2022?全國)設(shè)/(X)是定義域為R的奇函數(shù)，g(A)是定義域為R的偶函數(shù).若/(x)+g(x)=

17

2X,則g(2)=—.

-O-

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】二.

8

【分析】由函數(shù)的奇偶性的定義和指數(shù)的運算性質(zhì)，解方程可得所求值.

【解答】解：由/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，可得=-/(2)；

由g(X)是定義域為R的偶函數(shù)，可得g(-2)=g(2).

若f(x)+g(x)=2X,則/(2)+g(2)=4,①

又/(-2)+g(-2)=-f(2)+g(2)=/.②

①+②可得2g(2)二學(xué)，

即有g(shù)(2)=￥.

17

故答案為：

8

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，體現(xiàn)了方程思想和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

6(2021?新高考【)已知函數(shù)f(幻=?(4?2"-2")是偶函數(shù)，則a=1.

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】1.

【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解。的值.

【解答】解：函數(shù)/(外=/是偶函數(shù)，

為R上的奇函數(shù)，

故2r也為A上的奇函數(shù)，

所以yk=o=a?2°-2°=a-1=0,

所以a=l.

法二：因為函數(shù)/(x)=?(〃?2廠21)是偶函數(shù)，

所以/(7)=/(x),

即-/(〃?2)-2、)=?-2)),

即？Ca-2X-2'X)+?(?-2-J-2v)=0,

即(?-1)(2V+2-V)?=0,

所以67=1.

故答案為：1.

【點評】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4X^^^2

16.(2021?浙江)己知“ER,函數(shù)/(x)=''若/(/(乃))=3,則〃=2.

.\x-3|+a,x<2.

【考點】函數(shù)的值；分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】2.

【分析】利用分段函數(shù)的解析式，先求出/(石)的值，進而求出/(/(遍))，列出方程，求解〃的值

即可.

工2—4,x>2

(|x-3|+a,x<2

所以/?(佝=(述)2-4=2,

則f(/(付)=/(2)=|2-3|+〃=3,解得。=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了函數(shù)的求值問題，主要考查的是分段函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的值確定

使用哪一段解析式求解，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2021?新高考1【)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(%)：f(x).

GV(J11.V2)=/(X|)/(X2)：②當(dāng)XW(0,+8)時，/(x)>0;@f(x)是奇函數(shù).

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】可看出/(X)=『滿足這三個性質(zhì).

【解答】解：f(X)=/時，/(巧小)=(%1必)2=%2孫2=f(%i)/(X2)；當(dāng)(0,+8)時，/(x)

=2A>0；f(x)=2x是奇函數(shù).

故答案為：f(X)=?.

另解：箱函數(shù)/(x)=.P(">o)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/(X)=/即可.

【點評】本題考查了塞函數(shù)的求導(dǎo)公式，奇函數(shù)的定義及判斷，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2021?全國)已知函數(shù)/(■=/+法+42.-2,且/(-2)=8,則/(2)=-12.

【考點】函數(shù)的奇偶性.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】-12.

【分析】由已知得/(-x)+f(x)=-at3-bx-csinx-2+ai-3+Z?x+csiiu--2=-4,結(jié)合已知/(-2)

=8可求.

【解答】解：因為(X)=axi+bx+cs\nx-2,

所以/(-x)+f(x)=-ar3-bx-csinx-2+ar34-/?x+csin.r-2=-4,

因為/(-2)=8,

所以7(2)=-12.

故答案為：-12.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2021?全國)函數(shù)/(x)=-2》+1-分的定義域是(一，1].

【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】計算題：對應(yīng)思想；定義法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】(?8,1].

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式，求出解集即可.

【解答】解：???函數(shù)/Q)="+i—4、

???2rH?4,20,???(202-2-2x<0,

???0<2弋2,???xWl,

，函數(shù)/(x)=，2》+1—於的定義域是(?8,1],

故答案為：(?8,1].

【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是列出使函數(shù)解析式有意義的不等式，是基

礎(chǔ)題.

三,解答題(共2小題)

20.(2021?甲卷)已知函數(shù)/(%)=|A-2|,g(x)=|2￥+3|-|2x-1|.

(1)畫出y=/(x)和y=g(x)的圖像；

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)通過對工分類討論，寫出分段函數(shù)的形式，畫出圖像即可得出.

1

(2)由圖像可得：/(6)=4,g(-)=4,若/(x+a)2g(外，說明把函數(shù)/(x)的圖像向左或向右

平移同單位以后，/(x)的圖像不在g(x)的下方，由圖像觀察可得出結(jié)論.

x-2,x>2

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)=|x-2|=

2—x,x<2

4,%>2

31

-<-

g(x)=|2v+3|-\2x-4Y+2,—2<r2

3

-

-4,x<-2

回出y=/(x)和y=g(x)的圖像；

(2)由圖像可得：/(6)=4,g(-)=4,

2

若f(x+a)2g(x),說明把函數(shù)/(x)的圖像向左或向右土移同單位以后，/'(x)的圖像不在g(x)

的下方，

由圖像觀察可得：“26—

???〃的取值范圍為［?，+8).

U-g")

【點評】本題考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

21.(2021?上海)已知xi,A-2GR,若對任意的X2-XIES,fCx2)-f(xi)WS,則有定義：f(x)是在S

關(guān)聯(lián)的.

(1)判斷和證明/(x)=2x-1是否在［0,+8)關(guān)聯(lián)？是否有［0,1］關(guān)聯(lián)？

(2)若/(x)是在｛3｝關(guān)聯(lián)的，/(x)在上曰0,3)時，/(幻=?-2x,求解不等式：2Wf(x)/3.

(3)證明：/(%)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)“/(x)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的”.

【考點】函數(shù)恒成立問題.

【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）任取XI-X2W［0，+8）,證明/（XI）-f（A2）G［0,+8）,證明/（x）=2x-1在［0,+°°）

關(guān)聯(lián)，取X］=l,X2=O,證明/（外在［0,1］不關(guān)聯(lián)；（2）先得到/（x+3）-/（x）=3,再得到.詫［0,

3）和AG［3,6）的解析式，進而得到答案；（3）先證明/（》）在｛1｝是關(guān)聯(lián)的可（x）是在｛1｝關(guān)聯(lián)的,

且是在［0,+°°）關(guān)聯(lián)的，再證明/（x）在［1,2］是關(guān)聯(lián)的是在｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+°°）關(guān)

聯(lián)的.

【解答】解：（1）/（x）在［0,+8）關(guān)聯(lián)，在［0,1］不關(guān)聯(lián),

任取X1?X26［O+°°）,則/（XI）-/（X2）=2（XI-X2）6［0>+8）,；.f（x）在［0,4-00）關(guān)聯(lián);

取Xl=1,X2=0,則X1-X2=l曰0,1］,

V/（XI）-/（X2）=2（XI-X2）=2更0,1］,：.f（x）在［0,1］不關(guān)聯(lián)：

（2）???/a）在｛3｝關(guān)聯(lián)，，對于任意XI-脫=3,都有/（用）-/（X2）=3,

???對任意x,都有/（x+3）-］'（A）=3,

由工曰0,3）時，/（x）=?-2x,得/（x）在大日0,3）的值域為［-I,3）,

???/（x）在.隹［3,6）的值域為［2,6）,

：.2^f（x）W3僅在比［0,3）或戈［3,6）上有解,

xe［0,3）時，f（x）=.r-2x,令解得8+1WxV3,

x&［3,6）時，f（x）=f（x-3）+3=/-g.t+18,令2<1?心+18<3,解得3<x<5,

???不等式2可（x）W3的解為［遮+1,5］,

（3）證明：①先證明：f（x）是在｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8）關(guān)聯(lián)的力<1）在［1,2］是關(guān)聯(lián)的，

由已知條件可得，f（x+1）=j（x）+1,

:?f（x+〃）=f（x）+〃，〃￡Z,

又:/（x）是在［0，+8）關(guān)聯(lián)的，

丁?任意X2>X1,f（X2）>/（XI）成立，

若1Wxi-xiW2,

?,.xi+1WX2WXI+2,

/./（xi+l）W/（X2）</（xi+2）,即/（XI）+I</（X2）+2,

-/（XI）W2,

-V（x）是［1,2］關(guān)聯(lián),

②再證明：/（x）在［1,2］是關(guān)聯(lián)的?是在｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8）關(guān)聯(lián)的，

V/(A-)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的，二任取XI-X2€［1,2］,都有/(XI)-/(X2)€［1,2］成立，

即滿足1WM-J2W2,都有IWf(xi)-f(A-2)W2,

下面用反證法證明/(x+l)-f(x)=1,

若/(1+1)-/(x)>1,則/a+2)-f(x)=/(x+2)-/(x+1)-/(x)>2,與/(x)

在［1，2］是關(guān)聯(lián)的矛盾，

若/(x+1)-f(x)<1,而/(外在［1,2］是關(guān)聯(lián)的，則f(x+1)-f(x)21,矛盾，

/./(X+1)-f(X)=1成立,即「(X)是在｛1｝關(guān)聯(lián)的,

再證明/(X)是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，

任取XI-.V2日〃，+8)(ZZEN),則存在〃EN,使得任取川-.V2日小〃+1］。區(qū)N),

*.*1Wxi-(n-1)-

，./［xi-(n-1)］-/(X2)=f(xi)-(n-1)-/(X2)G［1?2］,

(xi)-f(xi)c［n,；?+l］c［0,+8),

???/(x)是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的；

綜上所述，/(x)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)“/(x)在"，2］是關(guān)聯(lián)的”，

故得證.

【點評】該題考查了函數(shù)求解析式，解不等式，函數(shù)恒成立的知識，對學(xué)生邏輯推理能力提出了很高的

要求，屬于難題.

考點卡片

1.充分條件與必要條件

【知識點的認識】

1、判斷：當(dāng)命題"若“則"'為真時，可表示為片為，稱〃為9的充分條件，9是〃的必要條件.事實上，

與“p=q”等價的逆否命題是它的意義是：若q不成立，則〃一定不成立.這就是說，q對

于〃是必不可少的，所以說夕是〃的必要條件.例如：〃：人>2；</：A>0.顯然AW〃，則人等價T■人比夕，

則人任〃一定成立.

2、充要條件：如果既有“〃=/',又有“夕=〃”，則稱條件〃是q成立的充要條件，或稱條件q是〃成立的

充要條件，記作.〃與夕互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)

生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若p=q為真命題且為假畬題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件：

③若為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件：

④若pnq為假命題且q=p為假的題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題〃與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，涯小誰充分”的原則，判斷命題〃與命題夕

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)

容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

2.函數(shù)的定義域及其求法

【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求辭函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開偶次方）被開方式20;

③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1;

④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零.

⑤實際問題中函數(shù)的定義域；

【解題方法點撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析

式有意義的自變量的取值集合.（2）當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意

義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個

函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域為

空集，則函數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應(yīng)法則/下的量所要滿

足的范圍是一樣的：②函數(shù)g（x）中的自變量是文，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍.

【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

3.函數(shù)的圖象與圖象的變換

【知識點的認識】

函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線.

解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，

然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點，然后連線（平滑曲線）.

命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)

的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題.

圖象的變換

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等），描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（I）平移變換：

y=f（x）〃>0,右移。個單位（?7<0,左移⑷個單位）=>y=f（%-?）；

y=f（x）b>0,上移〃個單位（bVO,下移|例個單位）='=/（X）+b.

（2）伸縮變換:

0<Xl，伸長為原來妒倍

y=f(x)----心---3--縮--短-演--來--叫r~>),=/(3%)；

y=f(x)A>1,伸為原來的A倍(0V4V1,縮為原來的A倍)=>y=4f(x).

(3)對稱變換:

y=f(x)關(guān)于x軸對稱=y=-f(x)；

y=f(x)關(guān)于1y軸對稱=)=/(-x)；

y=f(x)關(guān)于原點對稱ny=-/(-x).

(4)翻折變換：

y=f(x)去掉)，軸左邊圖，保留)，軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊=y=/(kl)；

y=f(x)留下x軸上方圖將工軸下方圖翻折上去)，=/J)|.

【蟀題方法點撥】

1、畫函數(shù)圖象的一般方法

(I)直接法：當(dāng)函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根

據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作UL

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作

出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ?/p>

換單位及解析式的影響.

(3)描點法：當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，就能得到比較準(zhǔn)確的圖

象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法

(I)知圖選式：

①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；

②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；

③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；

④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性.

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項.

(2)知式選圖：

①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置：

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項.

注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破U.

3、（I）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

從匆象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向

趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)

有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值.

【命題方向】

（I）1個易錯點--圖象變換中的易錯點

在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的K,），變換”的原則，寫出每一次的變換所

得弱象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯.

（2）3個關(guān)鍵點--正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點

為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：

①正確求出函數(shù)的定義域；

②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、形如y=x+

的函數(shù):

③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過

程.

（3）3種方法■■識圖的方法

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變億趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的

信息，解決這類問題的常用方法有：

①定性分折法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢、利用這一特

征來分析解決問題；

②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；

③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

4.由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)

【知識點的認識】

一般地，設(shè)困數(shù)的定義域為/，如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量XI,X2,

當(dāng)X1V.Y2時，都有/（XI）</（J2）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)；當(dāng)XI>X2時，都有/（.）

<f（X2），那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/（X）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)

間。叫做y=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

【解題方法點撥】

證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

第一步：求函數(shù)的定義域.若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考

慮定義域.

第二步：求函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)/（x）,并令/'（x）=0,求其根.

第三步：利用，（x）=0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表.

第四步：由「（X）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負值判斷/（K）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值.

第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為/（X）或/（幻miGa,解不等式求參數(shù)的取值范圍.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論

【命題方向】

從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選

擇邈、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，

主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思

想方法.預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取

值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力.

5.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【知識點的認識】

所謂復(fù)合函數(shù)就是由兩個或兩個以上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考

慮整體的單調(diào)性.平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主.

【解題方法點撥】

求復(fù)合函數(shù)y=/（g（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：

（I）確定定義域；

（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；

<3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；

（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【命題方向】

理解復(fù)合函數(shù)的概念，會求復(fù)合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性.

6.函數(shù)的最值

【知識點的認識】

函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱

坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得.

【解題方法點撥】

①基本不等式法：如當(dāng)x>0時，求的最小值，有2x+122]24=8；

②轉(zhuǎn)化法：如求|x-5|+|x-31的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x=5和x=3的距離之和，易知最

小值為2；

③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較.

【命題方向】

本知識點是常考點，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視.本知識點未

來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的

日變量或者參數(shù)的范圍.常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等.

7.函數(shù)的奇偶性

【知識點的認識】

①如果函數(shù)/(“)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有/(-x)=-/5),那么函

數(shù)/(工)就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于(0,0)對稱.②如果函數(shù)/(工)的定義域關(guān)于原點對稱，且

定義域內(nèi)任意一個-都有/(-A=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱.

【辯題方法點撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用/(x)=-fC-x)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(x)=/(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

例邈：函數(shù))，=xk|+px,x€R是()

4.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與〃有關(guān)

解:由題設(shè)知/(X)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.

因為/(-x)=-x|-A|-px=-xW-px=-f(x),

所以/（X）是奇函數(shù).

故選B.

【命題方向】

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

8.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【知識點的認識】

對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是

要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自