廣州協(xié)和學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試

初三年級(jí)數(shù)學(xué)科試題

說(shuō)明:本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分為120分，考試時(shí)間為120分鐘.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，共30分，在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題

目的一項(xiàng)）

1.下列圖案，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

D.

一元二次方程￡一辦+1=0的根，則。值為（)

A.2B.3C.4D.5

3.在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2cm,OP=5cm，則點(diǎn)。與。0的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。。外B.點(diǎn)尸在。。上

C.點(diǎn)P在。。內(nèi)D.無(wú)法確定

4.要得到拋物線y=2（x—3『+2,可以將拋物線y=（）

A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

5.如圖，在。O中，弦AB〃CD,若NABO40。，則NBOD=1]

A20°B.40°C.50°D.80°

6.用配方法解方程f—4x=l，變形后結(jié)果正確的是（）

A.（X+2—5B.（X+2）2=2C.（X-2）2=5D.

（x—2八2

7.如圖，在VA8c中，ZB=40°,將VA8c繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到VADE，點(diǎn)。恰

好落在8c的延長(zhǎng)線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

8.若4（7,?）,8（-3,）。,。（1,必）為二次函數(shù)）'=爐+4%一5的圖象上的三點(diǎn)，則

y，%，%的大小關(guān)系是（）

A.yv%<%B.%<x<%

?

c.y3<>i<）2D.3V.y2

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC繞旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90“后得到△A5C,則其

旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（）

（1.5,-0.5）

10.關(guān)于x的一元二次方程f一（m+2）工-3加一3=0在一24142范圍內(nèi)有且只有一個(gè)根,

則〃?的取值范圍為（）

33

A.m>—B.—<5m——8—4A/3

33

C.〃？<一￡或D.一￡v〃7W5或〃7=-8+4>/5

JJ

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

11.點(diǎn)4（-1,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

12.某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國(guó)家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，

現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率的x,則列方程

13.飛機(jī)著陸后滑行的距離）'（單位：m）關(guān)于滑行時(shí)間，（單位：S）的函數(shù)解析式是

），二60/一|產(chǎn).在飛機(jī)著陸滑行中，飛機(jī)從開始滑行到停止所需時(shí)間為秒.

14.如圖，AB為。。直徑，弦CD工AB于點(diǎn)H,若AB=1O,CD=8,則0〃的長(zhǎng)度

15.等腰三角形的一邊為9,另兩邊恰好是關(guān)于工的一元二次方程Y一日+9=0的兩根,

則上的值是__________.

16.如圖，拋物線），-4x+6與），軸交于點(diǎn)4與x軸交于點(diǎn)氏線段CO在拋物線

的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)。在點(diǎn)。下方），且CO=3.當(dāng)AD+8C的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)

為.

三、解答題（本大題共9小題，共72分）

17.解方程:

（2）畫出NABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△A28c2；

（3）直接寫出點(diǎn)&的坐標(biāo)為；點(diǎn)6的坐標(biāo)為

21.已知關(guān)于x的一元二次方程%2+（2%—1）X一攵-1=0.

（1）求證：無(wú)論攵取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根小巧，且5+%―4.1/2=2,求人的值.

22.如圖，A8是00的直徑，點(diǎn)C,。是0O上的點(diǎn)，且。D〃8C,4c分別與瓦）,

0。相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

（1）求證：點(diǎn)。為弧AC的中點(diǎn)；

（2）若DF=4,AC=16,求00的直徑.

23.如圖，用一塊長(zhǎng)為505?、寬為305?的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無(wú)蓋的盒子，若在鐵片的四

個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為雙5.

J=zn

\Uc；

II

II

\AB\

I.....I

（1）底面的長(zhǎng)AB=cm,寬BC=c〃？（用含x的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)做成盒子的底面積為300c加時(shí)，求該盒子的容積.

（3）該盒子的側(cè)面積S是否存在最大的情況？若存在，求出工的值及最大值是多少？若不

存在，說(shuō)明理由.

24.如圖，已知拋物線y=—a+加一2的頂點(diǎn)為A,且通過(guò)點(diǎn)8（3,-3）.

(2)點(diǎn)。為直線A3上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求VA8C而枳最大值;

(3)在拋物線上存在一點(diǎn)。，使得NPAB=45。，求點(diǎn)。坐標(biāo).

25.在VA8C中，AB=AC,ZB4C=120°.

BD

(1)如圖1,點(diǎn)、D在BC邊上,且NAO8=2NC.求一的值；

CD

(2)如圖2,點(diǎn)E在VA3C的外部，且2N8EC-NAEB=270。.求證：BE=&E,

(3)若尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，且N4P8=90。，N8PC=150°,請(qǐng)直接寫出CC的值為______.

BP

廣州協(xié)和學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試

初三年級(jí)數(shù)學(xué)科試題

說(shuō)明:本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分為120分，考試時(shí)間為120分鐘.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，共30分，在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題

目的一項(xiàng)）

1.下列圖案，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解析】

【分析】此題考查了軸對(duì)禰圖形和中心對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念是

解題關(guān)鍵.

軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿?條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖

形叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的

圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，對(duì)■各選項(xiàng)分析判斷即可得

解.

【詳解】解：A、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、該圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選:B.

2.已知I為關(guān)于x的一元二次方程》2一辦+1=0的根，則。值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的解、解i元一次方程.將x=l代入方程可得1—。+1=0,

解一元一次方程即可得解.

【詳解】解：?門為關(guān)于x的一元二次方程d一以+i=o的根，

***1—tz+1=0?

，。=2,

故選:A.

3.在同一平面內(nèi)，已知0。的半徑為2cm,OP=5cm，則點(diǎn)P與。O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸。。外B.點(diǎn)。在。。上

C.點(diǎn)P在。。內(nèi)D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離即可得出答案.

【詳解】解：,??。尸=5cm,

根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離5cm大于圓的半徑2cm，則該點(diǎn)在圓外.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)到圓心距離小于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)點(diǎn)到

圓心距離等于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心距離大于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓外.

4.要得到拋物線）、=2（工一3『+2,可以將拋物線y=2/（）

A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】C

【解析】

【分析】原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0。），平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）,由此確定平移規(guī)律.

【詳解】解：?.?拋物線＞=21的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0。），拋物線），=2（x-3）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(3,2),

「?平移的方法可以是向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是將拋物線的平移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為頂

點(diǎn)的平移，尋找平移方法.

5.如圖，在OO中，弦AB〃CD,若/ABC=40。，則/BOD=【]

A.20°B.40°C,50°D.80°

【答案】D

【解析】

【詳解】???弦AB〃CD,???/ABC=NBCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

XVZABC=40°,，/130口=2/人802'40。=80。（同圓所對(duì)圓周角是圓心角的一半）.故選

D.

6.用配方法解方程/-4工=1，變形后結(jié)果正確的是（）

A.（X+2）2=5B.（x+2）；2C.（X-2）2=5D.

（x-2）2=2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)配方法可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由方程f—4x=l兩邊同時(shí)加上4可得（了一2）2二5；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在VA8C中，ZB=40°,將VA3c繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到V4DE，點(diǎn)。恰

好落在的延長(zhǎng)線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AD,可算出

ZA￡）B=40°,就可以算出旋轉(zhuǎn)角.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AD,NBA。是旋轉(zhuǎn)角，

AB=AD>

:.ZADB=ZB=4（r,

：.ZZiAP=180o-ZAZ^-Z^=100u,

故選：D.

8.若4（7,凹）,3（—3,先）,。（1,%）為二次函數(shù)），=/+4%一5的圖象上的三點(diǎn)，則

,，必，力的大小關(guān)系是（）

A.x<%<%B.必<M<%

C必<,<為D.凹<%<）’2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

其解析式是解題的關(guān)鍵.分別代入4（7,凹）,8（-3,%）,。。,%）到），=/+41-5求出

X、%、出的值，再比較大小即可得出結(jié)論.

【詳解】解：代入A（Y,yJ到），=/+4工一5得，）［=（T）2+4X（-4）—5,

*''y\--5，

同理可得：為=-8,%=。，

-8<—5<0，

???%<y<?3?

故選:B.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△44C繞旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△A7TC,則其

旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（）

（1.5,-0.5）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，可知旋轉(zhuǎn)中心一定在任何一對(duì)對(duì)

應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上，由圖形可知，線段8*與AA'的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求.

【詳解】???△A8C繞旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"后得到△A'8'C',???A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A'、

B'.

又???線段48'的垂直平分線為戶1,線段4T是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形的對(duì)角線，其垂直平

分線是另一條對(duì)角線所在的直線，由圖形可知，線段與人人’的垂直平分線的交點(diǎn)為（I,

-1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及線段垂直平分線的判定.能夠結(jié)合圖形，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的垂

直平分線是解題的關(guān)鍵.

10.關(guān)于X的一元二次方程公一(加+2)工-3加-3=0在—2?工《2范圍內(nèi)有且只有一個(gè)根,

則〃?的取值范圍為()

33

A.ni>一一B.一一<機(jī)工5或〃2=-8-46

55

33l

C.m<一一或加25D.一《5或加二-8+46

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和二次函數(shù)II勺關(guān)系，根的判別式的意義；

分兩種情況：①方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且在—2KxV2的范圍內(nèi)時(shí)，可得

△=nr+16〃?+16=0,求出〃2=-8土4石和再=占=~~，再根據(jù)一2WxW2確定m

的范圍，得到此時(shí)m的值：②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且在—2WXW2的范圍內(nèi)時(shí)，

根據(jù)一兀二次方程的解和二次困數(shù)的關(guān)系得出不等式組，求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)一元二次方程/一。〃+2)]-3m一3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且在

—2WxW2的范圍內(nèi)時(shí)，

則△=［一(機(jī)+2)7-4x1x(-3/7?-3)=w2+16m+16=0,

解得：tn=—8±4\/3?

m+2

此時(shí)x}=x2=

〃1+2

??一2<<2,

2

解得：-6<m<2,

???加=-8+46；

②當(dāng)一元二次方程/一(爪+2)%一3〃?一3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且在一2《為42的范

圍內(nèi)時(shí)，

伍z+2)x2—3機(jī)一3之0^J(-2)2-(Z??-I-2)X(-2)-3W-3>0

2-(/??+2)x(-2)-3m-3<022-(/??+2)x2-3m-3<0

K22-(W+2)X2-3//7-3>0

解不等式組，、得該不等式組無(wú)解;

(-2)-一(加+2)x(-2)-3〃?-3<0

解不等式組

3

綜上，加的取值范圍為：一一<"7<5或加=一8+46,

5

故選：D.

第二部分非選擇題(共90分)

二、填空題(本大題共6小題，共18分)

11.點(diǎn)A(—1,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

【答案】(1,—2)

【解析】

【分析】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互

為相反數(shù)得出答案.

【詳解】解：點(diǎn)A(T,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,一2),

故答案為：(1,-2).

12.某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國(guó)家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，

現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率的x,則列方程

【答案】25X(1-x)2=16

【解析】

【分析】等量關(guān)系為：原價(jià)X(I-降低的百分比)2=降價(jià)后的售價(jià)，把相關(guān)數(shù)值代入即可.

【詳解】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為25X(l-x),

第二次降價(jià)后的價(jià)格為2fx(1-x)X(1-x)=25X(1-x)2,

，列的方程為25X(1-x)2=16,

故答案為：25X(1-x)2=16.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程中求平均變化率的方法，熟練掌握一元二次方程的運(yùn)用是

解決本題的關(guān)鍵.

13.飛機(jī)著陸后滑行的距離V(單位：m)關(guān)于滑行時(shí)間，(單位：S)的函數(shù)解析式是

y=60r-1r.在飛機(jī)著陸滑行中，飛機(jī)從開始滑行到停止所需時(shí)間為秒.

【答案】20

【解析】

3

【分析】將函數(shù)解析式是y=60/化為頂點(diǎn)式進(jìn)行分析，即可求解.

33

【詳解】?：Vy=60/--/2=--(/-20)2+600,

22

.??當(dāng)/二20時(shí)，滑行的距離y=600m,此時(shí)飛機(jī)滑行停止，

???飛機(jī)從開始滑行到停止所需時(shí)間為20s,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，理解并掌握二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式的方法，及頂點(diǎn)

式的含義是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，AB為。。的直徑，弦CD1AB于點(diǎn)H,若45=10,CD=8,則。”的長(zhǎng)度

為一

OH

【答案】3

【解析】

【分析】連接OC,由垂徑定理可求出CH的長(zhǎng)度，在R3OCH中，根據(jù)CH和。。的半徑,

即可由勾股定理求出OH的長(zhǎng).

【詳解】連接OC,

RtZ\OCH中，OC」AB=5,CH=-CD=4：

22

由勾股定理，得：OH70c2-CH?-A2=3；

即線段OH的長(zhǎng)為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定埋：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考

查了勾股定理.

15.等腰三角形的一邊為9,另兩邊恰好是關(guān)于x的一元二次方程f一日+9=0的兩根,

則上的值是

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得％+&=攵，內(nèi)尤2=9,根據(jù)題意可得

再=9,々=1或%=占=3,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：設(shè)f-速+9=0的兩個(gè)根分別為百，“2,

，x1+x2=ktx)x2=9,

???等腰三角形的一邊長(zhǎng)為9,另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程Y一依+9=0的兩根,

-V|=9,—1或X|=X,=3,

當(dāng)X=9,々=1時(shí)，三邊為9,9,1,滿足三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)攵=10；

當(dāng)元|二工2=3時(shí)，三邊為9,3,3,不滿足三角形的三邊關(guān)系，舍去;

:?左=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

16.如圖，拋物線y=gf—4x+6與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)8,線段CO在拋物線

的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)。在點(diǎn)。下方），且CO=3.當(dāng)40+3。的值最小時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)

為.

【答案】（4,1）

【解析】

【分析】在），軸上取點(diǎn)E（0,3）,證明四邊形AECO是平行四邊形，得出AD=CE,利用

拋物線的對(duì)稱性得出5C=Cb,則AO+BC=CE+BNb,當(dāng)E、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，

AO+BC最小，利用待定系數(shù)法求出直線石廠解析式，然后把x=4代入，即可求出C的坐

標(biāo).

【詳解】解：y=^x2-4x+6=^（x-4）2-2,

???對(duì)稱軸為x=4,

如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為凡

當(dāng)x=0時(shí)，y=6,

???4(0,6),

1、

當(dāng)y=0時(shí)，()=-X2-4X+6,

2

=

解得xt=2,x26,

???3(2,0),F(6,0),

在y軸上取點(diǎn)E（0,3）,連接CE,CF,EF,

JAE=3=CD,

9：CD//AE,

???四邊形AECD是平行四邊形，

/.AD=CE，

??.拋物線對(duì)稱軸為x=4,

???BC=CF,

???AD+BC=CE+CF^EF,

當(dāng)￡、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，AO+8C最小，

設(shè)直線EF解析式為y=kx+h,

做+〃=0

*

[b=3

k=--

解得，2.

0=3

??y—x4*3,

'2

當(dāng)x=4時(shí)，y=--x4+3=l,

2

，當(dāng)AO+8C最小時(shí)，C的坐標(biāo)為(4,1),

故答案為：(4,1).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解

析式，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，明確題意，添加合適輛助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題(本大題共9小題，共72分)

17.解方程:

(1)(x-l)2-4=0；

(2)x(x-2)=x-2

【答案】(1)%=3,=—1

(2)-t|=1,x?=2

【解析】

【分析】本題考杳了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

(1)移項(xiàng)，利用直接開方法解一元二次方程即可；

(2)移項(xiàng)，利用因式分解法解一元二次方程即可.

【小問(wèn)1詳解】

(X-1)2-4=0

(1):4

x—1=±2

X-1=2B￡X-1=-2

X1—3,Xj——I；

【小問(wèn)2詳解】

x(x-2)=x-2

x(x-2)-(x-2)=0

(x-l)(x-2)=0

x-l=0或工一2=0

內(nèi)=1,W=2.

18.已知：如圖，將VA。石繞點(diǎn)人順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VABC,點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰在EO的延長(zhǎng)

線上，若BC〃AE.求證：AACE為等邊三角形.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出AC=AE,ZACB=ZAED.再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出

ZACB=ZCAE,從而得出NA￡C=NCAE,最后根據(jù)等角對(duì)等邊可推出

AC=CE=AE,即AACE為等邊三角形.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=AE,ZACB=ZAED.

??,BC//AE,

???ZACB=/CAE,

/.ZAED=ZCAE,即NAEC=NC4E,

?二AC—CE，

**.AC=CE-AE，

???AACE為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定.熟

練掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題關(guān)鍵.

19.己知拋物線y=V+公+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,-3)和點(diǎn)￡>(4,5).

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線與x軸的交點(diǎn)是A,B；求VA8C的面積.

【答案】（1）y=x2-2A-3

(2)SMBC=6

【解析】

【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與圖形面積綜合.

(1)利用待定系數(shù)法求出解析式即可;

⑵首先求出A(-1,O),8(3,0),得到A5=4,OC=3,然后代入面積公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：把點(diǎn)。(0,-3)和點(diǎn)￡)(4,5)代入y=x2+bx+c?得

-3=c

5=16+4/？+。

解得《

b=-2

所以拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

【小問(wèn)2詳解】

把y=0代入了二產(chǎn)一級(jí)-3,

得0=/一2X一3，

解得X=-1,x2=3,

?.?點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊，

.?.點(diǎn)A（—1,0）,點(diǎn)8（3,0）.

連接AC、BC,

S=-ABOC=-X4X3=6.

△ARC八22

20.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系與網(wǎng)格紙，其中網(wǎng)格紙每?格小正方形的邊長(zhǎng)都是坐標(biāo)系的

1單位長(zhǎng)度，VA6c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2,5）,3（2,1）,C（4,2）.

以A

（1）畫出VABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形△44G：

（2）畫出VA3C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△4BC2:

（3）直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)為;點(diǎn)。2的坐標(biāo)為.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

（3）（-4,-2）,（1,3）

【解析】

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、圖形平移、旋轉(zhuǎn)作圖：

（I）根據(jù)中心對(duì)稱圖形的作法作圖即可.

（2）先把VA8C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的點(diǎn)4，G*J坐標(biāo)找出來(lái)，再連接即可作答.

（3）根據(jù)圖形，直接讀取，即可作答.

【小問(wèn)I詳解】

解：如圖所示：△44G即為所求；

解.：如圖所示：即為所求；

【小問(wèn)3詳解】

解.：由圖可知：點(diǎn)G的坐標(biāo)為（7，-2）；點(diǎn)C?的坐標(biāo)為（L3）,

故答案為：（~4，-2）,（1,3）.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程幺+（2左一1）X一左一1二0.

（1）求證：無(wú)論Z取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%、￡，且內(nèi)+々-4.耳為=2,求女的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)k=-\.5

【解析】

【分析】(1)利用根的判別式判斷即可：

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系式得到百+9=一(2&-1),』&=一女一1，代入計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：VA=(2Z:-l)2-4xlx(-Z:-l)

=4二+1一必+4攵+4

=4/+5>0

???無(wú)論A取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

【小問(wèn)2詳解】

解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：與+蒼=一(2%-1),%±=—攵-1,

由百+x2-4x^2=2得：_(2攵-1)-4(-攵-1)=2

解得：k=-\.5.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握根的判別式的

三種情況及根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，八8是0。的直徑，點(diǎn)C，￡)是。。上的點(diǎn)，旦”>〃8C,4c分別與8￡),

。。相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

(1)求證：點(diǎn)。為弧4c的中點(diǎn)；

(2)若DF=4,AC=16,求。。的直徑.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析

(2)20

【解析】

【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理:

(1)根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角可得NC=90。，由平行線的性質(zhì)可得

ZOM=ZC=90°,從而可得OF_LAC,然后利用遠(yuǎn)徑定理即可解答；

(2)利用垂徑定理可得A尸=，AC=8,然后在RtVAR)中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即

2

可解答.

【小問(wèn)I詳解】

證明：〈AB是。。的直徑，

???ZAC3=90。,

?：OD//BC,

???NOE4=NC=90。，

工OFLAC,

??AD—CD?

，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)；

【小問(wèn)2詳解】

解：VOF±AC,DF=4,AC=16,

???AF=-AC=-xl6=8,

22

在RtVA/7。中，AO2=AF2+OF2>

：,OA2=S2+(OD-DF)2,

???。片=⑨+缶一可?

：,OA=[0,

???。。的直徑為20.

23.如圖，用一塊長(zhǎng)為50°m、寬為30c〃?的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無(wú)蓋的盒子，若在鐵片的四

個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為工。兒

-￡)...........C-

II

II

\AB\

I...........I

(1)底面的長(zhǎng)AB=c〃?，寬BC=cm(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)做成盒子的底面積為300cm2時(shí)，求該盒子的容枳.

(3)該盒子的側(cè)面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不

存在，說(shuō)明理由.

【答案】(I)50?2x,30-2A-；(2)當(dāng)川=10時(shí)，盒子容積為3000。小(3)當(dāng)尸僧時(shí)，

S有最大值，最大值為800.

【解析】

【分析】(1)利用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬以及在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，得出AB

與BC的長(zhǎng)即可；

(2)利用(1)中長(zhǎng)與寬以及盒子的底面積為300cm2時(shí)得出x的值，即可的求出盒子的容

積；

(3)利用盒子側(cè)面積為:S=2x(50-2x)+2x(30-2x)進(jìn)而利用配方法求出最值即可.

【詳解】(1)???用一塊長(zhǎng)為50?！?、寬為30cM的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無(wú)蓋的盒子,在鐵片的

四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為工。小

???底面的長(zhǎng)43=(50-20cm,寬BC=(30-20cm,

故答案為50-2x,30-2A；

(2)依題意，得：

(50-2x)(30-2x)=300

整理，得：X2-4Ox+3OO=O

解得：M=10,照=30(不符合題意，舍去)

當(dāng)片=10時(shí),盒子容積=(50-20)(30-20)xlO=3(X)O(cm3)；

(3)盒子的側(cè)面積為：

S=2x(50-2v)+2x(30-2x)

=1OO.v-4/+60犬-4x2

=-8A2+160A=-8(A2-20.x)

=-8[(x-10)2-100]

=-8(x-10)2+800

V-8(x-10)2<0,

:.-8(x-10)2+80()<800,

.??當(dāng)x=]()時(shí)，S有最大值，最大值為800.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了?元二次方程應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，想象出立體圖形的形狀

進(jìn)而表示出側(cè)面積是解題關(guān)鍵.

24.如圖，已知拋物線y=—??+〃a+加一2的頂點(diǎn)為A,且通過(guò)點(diǎn)8(3,-3).

(1)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)。為直線上方拋物線.上一動(dòng)點(diǎn)，求VA8C面積的最大值；

(3)在拋物線上存在一點(diǎn)“，使得/PAR=45。，求點(diǎn)。坐標(biāo).

【答案】(1)A(l,l)

(2)VA8c面積的最大誼為1

⑶尸(-2,—8)或P不6

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解解析式，二次函數(shù)的

圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，頂點(diǎn)式的運(yùn)用，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的解題方法，即可.

(1)把點(diǎn)8(3,-3)代入拋物線y=—犬+〃xx+m-2，即可；

⑵設(shè)直線A8的解析式為：y=丘+人(%。0),求出解析式；當(dāng)直線A8向上平移，與

拋物線僅一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，V48C面積有最大值，且平移的解析式為y=-2x+d,求出點(diǎn)。的

坐標(biāo),再根據(jù)S&ABC=§?DC+SWD,即可.

(3)①過(guò)點(diǎn)B作BQJ.BA交AP于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)8作6口〃丁軸，分別過(guò)點(diǎn)A,Q作

AG上GH于點(diǎn)G,QH上GH于點(diǎn)H；得到NAGB=N43Q=N8〃Q=90。，根據(jù)全

等三角形的判定和性質(zhì)，則△ABGgaBQH,求出4GBG=QH,得到點(diǎn)。的

坐標(biāo)，設(shè)直線AQ的解析式為；y=ax+b(a^0),求出解析式，聯(lián)立拋物線，②延長(zhǎng)

交A6于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)3作8K_LRK交于點(diǎn)K,且8K||X軸，同理得到△/?8Kg△B?！?，

求出Q〃=8K=4,BH=RK=2,得到點(diǎn)R的坐標(biāo)，設(shè)直線AR的解析式為：

），=，氏+〃（〃工0）,求出解析式，聯(lián)立拋物線，即可.

【小問(wèn)1詳解】

二?拋物線y——x2+〃zr+〃2—2的頂點(diǎn)為A，且通過(guò)點(diǎn)6（3,—3）,

-3=-32+3m+/2，

解得：〃z=2,

??.拋物線為：y=—%2+2x=—(x—1)~+1?

???頂點(diǎn)

【小問(wèn)2詳解】

???A(1/)，8(3,-3),

，設(shè)直線A8的解析式為：丁=米+人(々。0),

.[\=k+b

，\-3=3k+b，

k=-2

解得：

b=3

???直線AB的解析式為：y=-2x+3,

當(dāng)直線A8向上平移，與效物線僅一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，VA8C面積有最大值，且平移的解析式

為y=-2%+〃,

:.—2x+d=—x2+2x，

整理得：/一4工+[=0，

AA=0=16—4J=0,

解得：d=4,

???平移直線的解析式為：y=-2x+4,

??一2JV+4—一+2,v>

解得：玉二占=2,

???點(diǎn)。（2,0）,

設(shè)直線A3與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，

0=-2x+3,

①過(guò)點(diǎn)“作3Q_LB4交AP于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)8作G”〃丁軸，分別過(guò)點(diǎn)A,Q作AG_LG”于

點(diǎn)G,QH上GH于點(diǎn)H,

:.ZAGB=/ABQ=/BHQ=90°,

,:NABG+/QBH=90。,NBQH+/QBH=90。,

??.ZABG=/BQH,

?/NRAB=45。,

/.BA=BQ,

在△48G和力?！敝?，

ZAGB=ZBHQ

NABG=ZBQH,

AB=BQ

:?dABG、BQH,

:?AG=BH=3—\=2,8G=?！?1-（-3）=4,

工點(diǎn)Q（-1,-5）,

設(shè)直線A。的解析式為：），=奴+〃（。工0）,

1=k+b

工直線A0解析式為：y=3x-2,

???點(diǎn)<在直線A。上，

???直線的解析式為：y=3x-2,

聯(lián)立拋物線）=一42+2%,

??—+2x=3x—2.

解得：玉=1（舍去），&二-2,

???點(diǎn)田-2,-8）；

②延長(zhǎng)Q8交A鳥于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)8作BKJ.RK交于點(diǎn)K，且8K||x軸

:,QH〃BK,ZBKR=90°,

??.NRBK=NBQH,

vNA乙。=90。.

???ZAP/?=90°,

???鳥AB=45。，

:?AB=BR,

QB=BR,

在ARBK和LBQH中,

ZRKB=NBHQ

??.NRBK=ZBQH,

RB=BQ

:.4RBKABQH,

：,QH=BK=4,BH=RK=2

???點(diǎn)R（7,T）

設(shè)直線AR的解析式為：），=加+。（〃工。）,

\=k+b

-1=7+/?

k=--

解得；/3，

b=匕

3

14

，直線4Q的解析式為：y=——x+-,

JJ

???點(diǎn)鳥在直線AQ上

14

???直線人傳的解析式為：y=--x+—,

，聯(lián)立拋物線y=-x2+2x?

,cI4

.?—x2+2x=—XH—,

33

4

解得：X=1（舍去），x,=-,

二點(diǎn)嗚（J;

（48、

綜上所述，點(diǎn)P（—2,—8）或P.

9/

BD

(1)如圖1,點(diǎn)。在BC邊上，且NAO8=2NC.求一的值；

CD

(2)如圖2,點(diǎn)E在VABC的外部，且2N8EC—NAEB=270°.求證：BE=&E,

(3)若尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，且NAPB=90。，N8PC=150°,請(qǐng)直接寫出CC的值為______.

BP

【答案】(1)-=2

CD

(2)證明見(jiàn)解析(3)75或