2025年新高考數(shù)學一輪復習收官卷02

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設集合4={1,3},8=卜卜2-改+”=0},若4c8={1},則集合8=()

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

【答案】B

【解析】由［c4={l}可知/一3+機=0=＞加=2，

當加=2時，/—3x+2=0,解得：x=l或x=2,即4={1,2}.

故選：B

2.若復數(shù)工在復平面內(nèi)對應的點的坐標為()

A.(2,2)B.(0,2)

C.(1,2)D.(2,-2)

【答案】C

【解析】因為好二D.\=l+2i,其對應的坐標為(1,2),

2+i(2+i)(2-i)

故選：C.

3.已知平面向量癡滿足|5|=2|汴2,若六僅一方)，則小號役的夾角為()

57r

D.

~6

【答案】B

【解?析】由題設=-a?B=0,而|0|=1,|B|=2,

所以1-2COS(43)=0=COS(Q,B)=T，兀］,

所以卜3)=(.

故選：B

2

4.已知的展開式第3項的系數(shù)是60,則展開式所有項系數(shù)和是()

/

A.-1B.1C.64D.36

【答案】B

【解析】由題意C：(-2)2=2〃(〃-!)=60,注意到〃是正整數(shù)，所以解得〃=6,

則展開式所有項系數(shù)和是(1-2『=1.

故選:B.

5.已知函數(shù)/(戈)=卜2|+8殳，對于/(x)有四個結(jié)論:①/(力為偶函數(shù):②/(x)的最小正周期是m③/(x)

在,微)上單調(diào)遞增；④/(%)的最小值為-1.則四個結(jié)論正確的是()

A.①②B.②③C.??D.①④

【答案】D

【解析】對于①，1*1/(--^)=|sin(-v)|+cos(-r)=|sinx|+COST,

所以〃-x)=/(x)，故①正確;

對「②，/(X+H)=|sin(x+7t)|+cos(x+7t)=|sinx\-cosx/(x),

所以兀不是/(丁)的周期，故②錯誤;

對于③，當xw(。,同時，sinx>0,

故③錯誤：

對「④，由于/(x+2兀)=|sin(x+2TI)|+COS(X+2花)=|sinx|+cosx=f(x),

所以2兀是/(x)的一個周期，

又ie[0,可時，sinx>0,則/(x)=kinr|+cosr=sinx+cosx=瓜小｛+,

又1+，所以sinx+-冬1，/(x)c[-1,正];

/

當兀,2兀)時，sinx<0,則/(%)=卜inx|+cosx=-sinx+cosx=>/5cosx+—

又”十+傳片）’所以8s（x+?）?告/），/'（x）e（T&）；

綜上可得/（上［-1,萬|,所以/（力的最小值為-1,故④正確；

故選：D.

6.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氨原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為12百，則正八面體外接球的體積為（）

A.4及兀B.46兀C.12兀D.36花

【答案】B

【解析】如圖正八面體，連接"和8。交丁點O,

F

因為E4=EC,ED=EB.

所以EO_LnC,EO1BD,又4C和8。為平面48CO內(nèi)相交直線，

所以E0平面/44CZ）,所以O為正八面體的中心，

設正八面體的外接球的半徑為及，因為正八面體的表面積為8x立"2=12四，所以正八面休的棱長為C，

所以￡7?=EC=BC=V6,0B=0C=V3,EO=＞JEB2-OB2=\G，

則R=y/3,V=|n/?3=^nx3V3=4V3n.

故選：B.

7.已知四2。（4。2+1）＜四2“4。＜。，則（）

所以點尸到。的準線的距離與點P到直線/的距離之和歸。|+附|=|陰+附以冏之I網(wǎng)，等號成立當且僅

當點尸為線段FR與拋物線的交點，

所以尸到C的準線的距離與尸到/的距離之和的最小值為點展,0）到直線，：3x+2y+3=0的距離，即

Iz/

3x-+0+3

29何

6+2226

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某機械制造裝備設計研究所為推進對機床設備的優(yōu)化，成立48兩個小組在原產(chǎn)品的基礎二進行不同方

向的研發(fā)，A組偏向于智能自動化方向，8組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機抽樣的方法各抽取6

臺進行性能指標測試（滿分：100分），測得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,8組性能得分為：

73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數(shù)比8組性能得分的平均數(shù)高

B.A組性能得分的中位數(shù)比“組性能得分的中位數(shù)小

C.A組性能得分的極差比8組性能得分的極差大

D.9組性能得分的第75百分位數(shù)比A組性能得分的平均數(shù)大

【答案】AD

91+81+82+96+89+73,85.3,

【解析】由題意可得A組性能得分的平均數(shù)為

6

73+70+96+79+94+88、

8組性能得分的平均數(shù)為----------------------q83.3,

6

所以A組性能得分的平均數(shù)比8組性能得分的平均數(shù)高，A說法正確:

QOJ-?Q

A組性能得分73,81,82,89,91,96的中位數(shù)為絲產(chǎn)=85.5,

B組性能得分70,73,79,88,94,96的中位數(shù)為—^―=83.5,

所以A組性能得分的中位數(shù)比4組性能得分的中位數(shù)大，B說法錯誤：

A組性能得分的極差為96-73=23,8組性能得分的極差為96-70=26,

所以A組性能得分的極差比4組性能得分的極差小，C說法錯誤；

B組性能得分70,73,79,88,94,96共6個數(shù)據(jù),6x0.75=4.5,

所以6組性能得分的第75百分位數(shù)為94,比A組性能得分的平均數(shù)大，D說法正確；

故選：AD

10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾

的習俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族占老文明中的一

個側(cè)面，也是數(shù)學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八

字結(jié)對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線。的圖象關于y=x對稱

B.曲線。上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

C.曲線。經(jīng)過7個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

D.若直線》=去與曲線。只有一個交點，則實數(shù)左的取值范圍為(-8,-1]7口,+8)

【答案】BD

【解析】對于A項，把(RX)代入，+_/)2=9，-_/)得，+此2=9(/73

顯然點(y,x)不滿足雙紐線方程，

所以曲線。的圖象不關于x對稱，故A項錯誤；

對于B項，由(/+V曰=9(/一丁)可得/+/=9(：；;；)=9_等了S9,

所以曲線。上任意一點到坐標原點。的距離〃=廳1743,即都不超過3,故B項正確:

對于C項，令夕=。解得x=0或x=±3,即曲線經(jīng)過(0,0),(3,0),(-3,0),

由題意可知，-3這x43,

令二=±1,得/=羋叵<1,

令>±2,得1</=T7+炳<2,

?2

因此曲線。只能經(jīng)過3個整點(0,0),(3,0),(-3,0),故C項錯誤：

對于D頂，直線j，=kx與曲線(一+),2)2=9(一一/)一定有公共點(0,0),

若直線V=依與曲線。只有一個交點，

所以.(，+V)=9(-—力，整理得父(]+公)2=9/(—2),只有一個解工=0,

y=kx

即1-公40,解得A4F,TML+OO),故D項正確.

故選：BD.

11.對于任意實數(shù)X4,定義運算“十"x十y=k-4+x+y，則滿足條件?。十〃十。的實數(shù)。，仇c?的值可能

為()

A.。二-10gos0.3,力=0.4°3,c=log050.4

OJ

B.?=o.4,6=l*0.4,c=-l0go5。3

a=0.09,b=^77

C.

eJ9

D.a=,b=\n-,c=0.09

e0,19

【答案】BD

[解析]由a十6=6十e,^^\a-l\-￥a+b=\b-c\+b+c,^\a-b\-\b-c\=c-a,

若aWb,cWb,uj^\a-b\-\b-c\=c-a,符合題意，

若aWb,c>b,^^\a-b\-\b-c\=2b-a-c,不符合題意，

若a>b、cSb,l^^\a-b\-\b-c\=a-c,不符合題意，

若a>b,c>b,可得|b-c|=c+“-2b,不符合題意，

綜上所述a-6W0，b-c>0,可得人之。,〃之。，

故只需判斷四個選項中的人是否為最大值即可.

對于A,B,由題知-logoj0.3=logg與<log。/=0,W0<0.40J<0.4°=1,

3

logo50.4>logo50.5=1,所以-log0503V0.4°<1%0.4.

(點撥:函數(shù)y=log。/為減函數(shù),y=0.4、為減函數(shù))，

對于A,a<b<c；對于B,c<a<b,故A錯誤，B正確.

器=0.9e°」=(l—

對于C,D,

(將0.9轉(zhuǎn)化為1一01,方便構(gòu)造函數(shù))構(gòu)造函數(shù)/(x)=(l-x)eX,xe[0,l),

則r(x)=re',因為xe[0,l),所以/'(x)K0J(x)單調(diào)遞減，因為/⑼=1,所以/(0.1)vl,

即。灰?！?lt;1,所以0.09〈界.(若找選項中的最大值，下面只需判斷箸與In與的大小即可j

二(Irj、

構(gòu)造函數(shù)力(x)=?+ln(1-x),xe[0,l),則/(力=1-X_1

Ce、(I)

因為xe[0,l),所以e，(l—x)>0,令0(x)=(17『一],則方(工)二一2(1—x)—e、,

當xw[0,l)時,方")<0,必力單調(diào)遞減，因為0(0)=0,

所以0x)40,即/?x)W0，Mx)單調(diào)遞減，乂力(0)=0,所以〃(0.1)<0,

即坐"+"|0-0』)<。，所以黑

eev

綜上，0.09〈苧<ln曰.對于C,a<b<c；對于D,c<a<b,故C錯誤，D正確.

e9

(提醒：本題要比較0.09與m學的大小關系的話可以利用作差法判斷，

in(QY

即0.09-In，=0.1x0.9-14—?=(1-0.^x0.9+ln0￡,

9\!0j二7

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(l-x)x+lnr,xe(O,l],

Hhl，/\Ir1-2x2+x+\(2x+l)(-x+l)

則,(\=i-2x+-=--------------=-------△-------L,

gxXXX

因為xe(O,l],所以g'(x)N0,g(x)單調(diào)遞增,因為g⑴=o,所以g(0.9)<0,

BP0.09-ln—<0,所以0.09Vin坦)

99

故選：BD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)曠=/6工+1)的定義域是[2,4],則函數(shù)g(x)=的定義域為

【答案】(2,3).

【解析】因為函數(shù)丁=/(3'+1卜勺定義域是[2,4],

所以24x?4,故2<，X+1K3,

2

因為g(上,有意義.

2<x<3

所以、工一2>0,所以2cx<3,

ln(x-2)工0

所以函數(shù)g")=的定義域為(2,3).

Jin(,x'-42j

故答案為：(2,3).

425

13.已知x>0j>0,x+2y=8且一+F>〃/+2加恒成立，則實數(shù)好的取值范圍為

x16y

【答案】3<m<\

【解析】因為x+2y=8,所以x=8-2九

口一??425x425(8—2y)42525

所■以一+h—I---------------

x16px16y

(x+2y)=/

因為&+§■=!士+9旦29+肛+49_

x2y8\x2yx8-

當且僅當殳=字，即4y=5x,即、=%=爭寸取得等號,

x2y

A。<Gt

所以一+h一萬有最小值為3,

x2y8

因為一4+廿25x>〃，+2機恒成立，所以3>/〃2+2加，即機2+2加一3<0，

x16y

解得一3<m<I,

故答案為：-3<m<l.

14.已知函數(shù)/(x)=e入-歐岡(工/°)有3個極值點4，X2,七(再v%<5)，則。的取值范圍是

若存在i,Je{l,2,3},使得%>3,則毛的取值范圍是.

Xi

【答案】(2e,+8)(0,手

【解析】因為函數(shù)/(工)=。2'一崗城工工0),

所以,當x<0時，/(力=?2'+加,/(x)=2e2x+2ax,令/卜)=0得。=一匚，

所以，當x>0時，/(1)=。2'一62,/11)=2(?'-2c【X,令/[x)=0得。=￡-

X

匕經(jīng)。.二).

v>0

所以，令g(x)=(”2x,則g'(x)=]c"/

一葭…一直?_

,x<0

XX-

所以，當x<0時g'(x)>0.0<x<g時，g'(x)<0,時，g1x)>0，

所以，函數(shù)g(x)在(-8,0)和(g,+e)上單調(diào)遞增，&:(o,g)上單調(diào)遞減；

因為函數(shù)/("=/，一閡耳(工工0)有3個極值點為，X2,巧(Xf<X2<X,),

所以,函數(shù)g(x)與y=a有三個交點,

因為，當x<0時g(x)>0,當x>0時g(x)>0,gP,=2e,

作出函數(shù)g(H與y="圖象如圖,

%

11y=g(x)/

V

/2e：

J\

O11x

2

由圖可知，函數(shù)g(x)與y=4有三個交點，則滿足a>2e且耳<0<%2<：<%3，

所以,當存在打?1,2,3},使得土>3,只需滿足，>3,

XiX2

所以，X,的取值范圍即為X2的取值范圍.

令%=/>3,則弓=%，

與

因為/，/為函數(shù)/(x)=e"-ax|M(X>0)的極值點，

2jJ

所以/'(%2)=262'2_2%=0,/"3)=2/'=2峪=0,即62、2="W，e=ar3,

所以，2/=In4+Inx2,2X3=In<?+Inx3

所以In”=2與一In/=2/一In^=2d2-Inl-lnx2,Gp2(/-l)x2=In/,

所以‘三二島,故令g)=品,'>3，

1,-1---IIn/1,-1+IIn-1

所以，h\t)=―1_-=—￡_，，

2(1)22(/-1)-

||—Y

令片］一x+lnx,貝lJy，=_］+_=---,

XX

所以，當0<x<l時，y=1-x+lr.x單調(diào)遞增，當X>1時，y=1-x+lnx單調(diào)遞減，

所以，^=l-x+lnx<l-l+lnl=O,即1一x+lnxW0,

,1.,1.1

］一一一In/1——+In-

所以，h\t)=—J—=—L____L<o>即函數(shù)力?)在1>3時單調(diào)遞減，

2(一42(—)2

所以，0<力⑺</?(3)=華，即心的取值范圍為(0,塔I

4-I4J

故答案為：(2e,+a)；(0,平)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

某中學數(shù)學興趣小組，為測量學校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學校操場選擇了同一條直線

上的A,B,C三點，其中力C=40m,點4為4C中點，興趣小組組長小王在A,B,。三點上方5m處的

4，B、,G觀察已建建筑物最高點￡的仰角分別為。，P,Y,其中tana=l,tan夕=2,tany=3,點。

為點七在地面上的正投影，點。為OE上與4，4，G位于同一高度的點.

E

C

(1)求建造中的建筑物已經(jīng)到達的高度QE;

sin4Q181

⑵求的值.

sinNBQ￡

【解析】(1)如圖，設ER=h,因為在4，4,G處觀察已建建筑物最高點￡的仰角分別為。，0,

Y,且tana=1,tan7=2,tan/=3,

所以g=h,BR=4,CRJ,又4G=40,4是4G的中點，

.2

400+--A2

在.8。中，由余弦定理得到COS44A=-----^-7-,

2x20x-

2

林八〃2h2

400+———

在△C/Q中，由余弦定理得到cosNC/Q=-----7一,

2x20x-

2

400+--/f400+---

又/44A+NC4A=兀，所以------^——+-----^-=0,

2x20x-2x20x-

22

整理得到皿=800,解得力=生11,所以?！?5+坦WLL.（9分）

181111

(2)在“4"中,由正弦定理知瑞瓦=品猊①,

在/Q中，由正弦定理知^=金湍^②’由⑴知巖=/山百。尸”加，

sinZ.ADB_CQ_1

由②+①得到}XX(13分)

sin/B℃4A3

E

如圖，四邊形力8c。與四邊形4OE廠均為等腰梯形，BC//AD,EFUAD,AD=4,AB=Q，

BC=EF=2,AF=舊,/必_L平面/AC。，"為力。上一點：且EW_L力。，連接40、BE、RM.

（2）求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

【解析】（1）因為尸8_L平面力8。。，又力Ou平面48CO,

所以產(chǎn)8_L4Z）.乂EW，力。，且用（1月"=產(chǎn)，

所以4）_L平面8EM.因為8C%。，所以8cl.平面“M.（5分）

（2）作EN上AD,垂足為N.則FM//EN.又EF/L4D,

所以四邊形網(wǎng)MVE是平行四邊形，義EN工AD,

所以四邊形產(chǎn)MN￡1是矩形，又四邊形力OE尸為等腰梯形，且月。=4,EF=2,

所以4M=1.

由（1）知力。_L平面8EW,所以8M_L4）.又44=夜，

所以8W=1.在中，F(xiàn)M=y!AF2-AM1=V10.

在中，F(xiàn)B=y/FM2-BM2=3.

由上可知，能以AM,BC,4"所在的直線分別為尤軸、V軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

Cy

則N(T-1,O),3(0,0,0),尸(0,0,3),。(一1,3,0),以0,2,3),所以，而=(1,1,0),旃=(0,0,3),

麗=(7,3,0),防=(0,2,3),設平面力"的法向量為玩=(石,如zj,

m-AB=0%+乂=0,

由,一得可取玩=。,-1,0).(12分〕

m-BF=0句=0,

設平面4QE的法向量為斤二(巧，月生)，

"麗=0一丫2+3%=0,

由得可取日=(9,3,2),

nBE=02y2+3z2=0,

一mH9-33府

因此，cos<m?n>=-------=，<------.='=------

所|?|萬|V1+1-J81+9+447

依題意可知，平面力8/與平面O8E的夾角的余弦值為巫.(15分)

47

17.(15分)

已知函數(shù)f(x)=ex+acosx在x=0處的切線方程為y=x+2.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)探究小)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由.

【解析】(1)由題可知/'(x)=e*—asinx,

由.”0處的切線方程為)，=1+2,.」=/(0)=€°=1,

把點(0,2)代入得e°+acos0=2,/.a=\.(6分)

(2)由(1)可知/(x)=c'+cost,.?./'?)=c'-shw,

令g(x)=7'(x),g'(x)=e'-cosx,

當xw(T，T時，g'(x)>0,則g(x)在區(qū)間冗)上單調(diào)遞增.

Tg(-￡)=e2-1<0,g(-n)=尸>0,

.,.由零點存在定理可知，存在與e1一工,f，使得g(%)=。，即c'e-sin.%,

.?.當時，r(A)<0,則/⑴在區(qū)間J",與'上單調(diào)遞減；

當xe(天,-冗)時，/3>0,則f(x)在區(qū)間(小,一兀)上單調(diào)遞增,

又一與卜e與+85(-5>0,/卜兀)=e-51-1<0,

???由零點存在定理可知/(x)4區(qū)間卜手、-兀)卜有且僅有一個零點.(II分)

當xe[-冗,0）時，/f（x）=c'-sinr>0；

當xe［0,+co）時，/'（x）=e'-sinxNe°-l>0：

\/（》）在區(qū)間卜兀，+8）上單調(diào)遞增.

乂?.?/（F）=eT-1<0,./'（0）=e°+1>0,

二.由零點存在定理可知，存在唯一零點［-兀,0），使得/（9）=。，

綜上可得，/（冷在區(qū)間（T,十8）有且僅有兩個零點.（15分）

18.（17分）

如圖，已知雙曲線。：￡-￡=15>0力>0）的離心率為2,點］?,2）在。上，A,8為雙曲線的左、

右頂點，戶為右支上的動點，直線4P和直線x=l交于點N,直線N8交。的右支于點0.

（2）探究直線P0是否過定點，若過定點，求出該定點坐標，請說明理由:

（3）設S，S2分別為△H8N和△NP。的外接圓面積，求、佟的取值范圍.

【解析】（1）因為離心率e=±二2,

所以c=2a,b2=3a2

雙曲線的方程為￡-工=1,

a23a2

4石,2代人雙曲線方程得巖-1=1,

將點

"V）3a

4

所以小\,a2=4,b2=\2

所以雙曲線。的方租為工-二二1.（4分）

412

（2）直線尸。過定點（4,0）,理由如下：

設尸（西，乂），。（工2，必），

直線PQ的方程為“叩+〃，

聯(lián)立

x=my+n

整理得（3，/-1）/+（.mny+3n2-12=0.

則△>0,必+為=一普彳，乂/=若；，（6分）

3m-13m-1

直線4P：y=」^（x+2）,

X]+2

所以N（I,i，

又N,B,。三點共線，

所以怎°=女帥，即上彳=--

X1一乙X）+Z

即為（再+2）+3,（再-2）=0,

即為（，町I+〃+2）+3乂（〃必+〃-2）=0.（8分）

因為（3必T2乂%+九）=1y2，

所以孫/_（3〃2-2）（乂+%）,

-07?

代入上式得（〃一2）（-4）乂-（〃-4）（〃+2）%=0,

所以〃=4.所以PQ過定點（4.0）.（10分）

（3）設A4BN和ANPQ的外接圓半徑分別為"，&?

倜"那'」%%=，

由正弦定理可得I24

sinZJA^

又sinN/1NB=sinNPNQ,

R,IAB\肉二RJ倜

所以及='即

GR2\PQ\

設直線PQ的方程為x=my+^,

x=my+4

與C的方程聯(lián)立J.32

---------=1

412

整理得（3機2-1）J，2+24〃少+36=0,（13分）

24〃？36

貝4二

3”-1

3w2-1^03/?2-1/0

A>0△>O

又〈，即《

X]X2>0(/"%+4)(〃92+4)>0

X1+>0(呻+4)+(my2+4)>0

解得0

乂因為|PQ|=12-S1,

1-3m"

i-3w2,4rr

=77i------n=-1+77------F\e?(17分)

f3(1+")3(1+/MJ3J

19.(17分)

對于V〃wN,若數(shù)列滿足x,川-%>1,則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列1,2小，療+1是“K數(shù)列”，求熨數(shù)利的取值范圍.

(2)是否存在首項為一2的等差數(shù)列｛%｝為“K數(shù)列”，且其前〃項和SJ吏得S”<-〃恒成立?若存在，

求出數(shù)列｛%｝的通項公式；若不存在，請說明理由.

(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列｛?｝是“K數(shù)列”，數(shù)列｛；凡｝不是“K數(shù)列"，若"=黑，試判斷數(shù)

列｛九｝是否為“K數(shù)列”，并說明理由.

【解析】(1