2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，19題,全卷滿分150分,考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3,填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.已知集合U={ieN|T<xv5},4={0,1,3},8={1,4},則()

A.{2,3}B.{1,2,4}C.{0,1,2]D.{0,1,2,4}

2.己知函數(shù)f(x)=-2x”，則=是“為減函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在等比數(shù)列{%}中，%%=2,則為=()

A.2B.4C.5D.8

4.粽子古稱“角黍”，由粽葉包裹糯米等食材蒸煮而成，是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，因各地

飲食習(xí)慣不同，粽子的形狀和味道也不同.如圖所示的是我國(guó)南方流行的“廣式五角粽”，其

形狀可以近似看成正四棱港.若一個(gè)廣式五角粽的底面棱長(zhǎng)為4cm,并測(cè)得其側(cè)面與底面夾

角的正切值為則該廣式五角粽的側(cè)面積為()

A.2Vi3cm2B.4"3cm°C.sVTJcni2D.25cm2

5.若函數(shù)為偶函數(shù),則f的取值范圍為()

A.(^o,-2]B.(-co,—!]

C.[-2,2]D.(F-2]U[2,同

6.己知復(fù)數(shù)z=x+)i(x,yeR),且|z-4+2i|=2,則生[的取值范圍為()

-YIN

3—\/33+>/3—3—E—3+>/3

A-B.[-7"，-4~

--3-G-3+6](-3-611-3+731

C.---.---D.-00,一-一U一T一，+8

L22」X2JL2/

7.若直線與球面恰好有?個(gè)公共點(diǎn)，則稱該直線為球的切線，該公共點(diǎn)為切點(diǎn).如圖，過(guò)球

O外一點(diǎn)。作球O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,旦4,B,O,。四點(diǎn)共而.已知球。的

表面積為36兀，點(diǎn)夕與球面上的點(diǎn)的距離的最大值為8,記N8AO=a,則sin2a=()

8.己知雙曲線C：=一二=1(〃>()*>0)的左、右焦點(diǎn)分別為「，尸2,過(guò)點(diǎn)外且垂直于x

a'b'

13

軸的直線與C交于點(diǎn)M,與。交于點(diǎn)N,設(shè)F、N=ZNM,若:W/IW亍，則C的離心

410

率的取值范圍為()

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

A.[V2,2]B.[6,2]C.[3,5]D.[2,同

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知向量狽2),方二(4,〃。，則下列說(shuō)法正確的是()

A.卜-目的最小值為及

B.若〃，〃可以作為平面向量的一組基底，則〃?=±26

C.a-L(a+〃)

D.若〃與。的夾角為銳角，則根的取值范圍為(0,+")

/X

10.函數(shù)f(x)=Atan(@x+e)/>0,網(wǎng)的部分圖象如圖所示，則()

\乙)

A.(0=2,(P--

3

B.小)圖象的對(duì)稱中心為停+親。卜⑻

C.不等式的解集為+M^+S(&cZ)

D.當(dāng)義>—1時(shí)，Mx)=|f(x)卜”3在區(qū)間信言上單調(diào)遞增

|log9(^-l)|,x>l,

11.已知函數(shù)/("=?若函數(shù)g(%)=/(1)-左恰有4個(gè)零點(diǎn)，分別為巧，々，

I-彳，xKI,

看，，且X]V超<%3<%，則()

A.西+工2>。

11,

B.—+—=2

(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認(rèn)為該市該品牌新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意度評(píng)分X近似

地服從正態(tài)分布N(〃,4)，其中〃近似為樣本平均數(shù)7。近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s,并求得

5*14.31.若該市恰有I萬(wàn)名該品牌的新能源汽車車主，試估計(jì)這些車主中滿意度評(píng)分位于

區(qū)間(41.88,84.81］的人數(shù);

(3)為提升新能源汽車的銷量，該品牌4s店針對(duì)購(gòu)買該品牌新能源汽車的顧客設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)

節(jié)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：每人可參加2次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球(形狀、

大小、質(zhì)地完全相同)的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出3個(gè)球，若摸出3個(gè)紅球，則返還2000元現(xiàn)

金；若摸出2個(gè)紅球，則返還1000元現(xiàn)金，其余情況不返還任何現(xiàn)金(兩次抽獎(jiǎng)返現(xiàn)金額

疊加).已知小王參加了拍獎(jiǎng)，記他獲得的返現(xiàn)金額為y,求隨機(jī)變量丫的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X~N(〃Q2),則

P(//-cr<X<x/+cr)?0.6827,P(/z-2<T<X<//+2<T)?0.9545,P(〃-3bvX工〃+笫卜0.9973

17.如圖，在四棱臺(tái)ABCO-ABCQ中，。。J■平面4KCO,底面ABC。為梯形，AB//CD,

AD=CD=2AB=2C[Di=2tNBAD=60°.

(1)證明：△ABD為直角三角形；

(2)證明：平面A8Q_L平面8QC；

⑶若直線CR與平面A8O所成角的正弦值為粵'且求四棱臺(tái)

的體積.

18.已知橢圓C：,+點(diǎn)A(0,-6),人6書

，4叼，4隆4。

中恰有兩點(diǎn)在。上.

(I)求C的方程：

(2)C的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)2t過(guò)點(diǎn)K且斜率存在的直線/與C交于P,Q兩點(diǎn).

(i)若，。的面積為得，求,的斜率；

(ii)過(guò)點(diǎn)P作直線/'：T的垂線PR,垂足為R,試問(wèn)直線QR是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),

求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.定義：若函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)存在極大值/(%)在極小值/伍)，且存在一個(gè)常數(shù)A

使得&=成立,則稱/(x)為“極值可差比函數(shù)”，常數(shù)左為〃工)的“極值差比系

X\~X2

數(shù)”.已知函數(shù)/(x)=工(…)+2]nx.

(1)當(dāng)〃=5時(shí)，判斷/.")是否為“極值可差比函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

⑵是否存在〃，使得了("的"極值差比系數(shù)”為2-與?若存在，求出〃的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

⑶設(shè)函數(shù)/心)=：/(6-巴手心，數(shù)列也｝滿足?！?〃)=%,〃eN,，證明：

L4人

2%-%<%.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

I.B

【分析】先得到U={0J2,3,4},根據(jù)補(bǔ)集和并集概念進(jìn)行求解

【詳解】由題得U={0」23,4},因?yàn)榇?{013},所以。,4={2,4}.

又6={1,4},所以&A)JB={124}.

故選：B.

2.A

【分析】判斷"〃=1''和"/("為減函數(shù)”之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，/(刈=-2》為減函數(shù)：

當(dāng)/(x)=-2x"為減函數(shù)時(shí)，〃=2k+l,ZeN，不一定懸〃=1,

故，，〃_I，，是，，/(x)為減函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】利用等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)和通項(xiàng)的基本量運(yùn)算即得.

【詳解】因{〃”}為等比數(shù)列，故。2。；=%％避=%4廣域=2，；=16,解得%=2,

又％&=%%=2a2=2,解得a2=\,

設(shè)數(shù)列{〃”}的公比為。，則夕3=&=2,故%=&d=2x22=8.

%

故選：D.

4.C

【分析】分析可知該廣式五角粽的直觀圖為正四棱錐S-A4C。，取底面44co的中心。，

棱A5的中點(diǎn)〃，連接S。、SH、OH、AC,由二面角的定義可知NS”O(jiān)即為側(cè)面與

底面的夾角，求出S。的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理求出5H的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得該正四棱維的

側(cè)面積.

【詳解】設(shè)該廣式五角粽的直觀圖為如圖所示的正四棱錐S-A8C。，

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

s

則AB=/\D=4cm,

取底面ABC。的中心O,棱人4的中點(diǎn)”，連接S。、SH、OH、AC,

則S〃_LA8,。為AC的中點(diǎn)，

因?yàn)?，為A8的中點(diǎn)，所以O(shè)H//BC,且。，=gBC=2cm,

因?yàn)?C//A3,故。”_LAB,

3

所以4SH0即為側(cè)面SA8與底面A3C。的夾角，所以tanZSHO=-.

由止棱錐的幾何性質(zhì)nJ知SOJ.平面ABCD,

所以5。=。"tanZ5HO=2x1=3cm，則SH=x/scP+OH2=V13cm，

故該廣式五角粽的側(cè)面積為4x；A8.S〃=8小

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)函數(shù)特征和分子為偶函數(shù)，得到分母也為偶函數(shù)，x—上。時(shí)滿足要求，結(jié)合

-2<x<2,求出答案.

【詳解】因?yàn)?（"=普：；為偶函數(shù),且y=J16-為（-2W2）為偶函數(shù),

所以），=x-kT為偶函數(shù)，若x-也o,則尸士滿足要求，

若4T<0,貝i」），=x-f+x=2xT,此時(shí)不是偶函數(shù)，大合要求，

所以』TNO所以，4%，X-2<x<2,所以T-2.

故選：A.

6.C

【分析】由幾何意義得到點(diǎn)Z（x），）的軌跡是以。（4,-2）為圓心，2為半徑的圓，

漢9=2?滴，言的幾何意義為過(guò)圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)A（-2,2）的直線/的斜率，設(shè)出直

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

線/的方程，由點(diǎn)到直線距離得到不等式，求出答案.

【詳解】因?yàn)閨z-4+2i|=2,所以卜-4+()，+2?=2,所以*-4)2+()，+2)2=4,

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x,y)的軌跡是以。(4,-2)為圓心，2為半徑的圓.

三U=2-^|,f的幾何意義為過(guò)圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(-2,2)的直線/的斜率,

設(shè)斜率為&,則直線/的方程為依7+2八2=0,

圓心C到直線/的距離442,即母獸K2,解得-3-&LK-3+B,

心+144

即-3一64—?-3+行,所以--公至±-3+6

4x+242x+22

【分析】先求出球。的半徑，由題意求出。尸，幺的長(zhǎng)，利用三角形相似轉(zhuǎn)化角，借助于二

倍角公式和三角函數(shù)的定義即可求得.

【詳解】設(shè)2。與48交于點(diǎn)Q,球的半徑為R.則4成2=36兀，解得R=3.

點(diǎn)尸與球面上的點(diǎn)的距離的最大值為OP+R=8,則OP=5,

因?yàn)榱?尸B均與球。相切，所以O(shè)4J.Q4,OBA.PB,

則在Rt.AP。中，PA=S產(chǎn)一OA2=4，

易得..OAQ~_OPA,則/BAO=zLAPO=u?

RPA3424

貝ijsin2a=2sinZ.APOcos/.APO=2-------=2x-x-=——.

OPOP5525

故選：D.

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】先確定M的坐標(biāo)，由的坐標(biāo)結(jié)合￡N=4NM求得N的坐標(biāo)，根據(jù)N在雙曲

線上，得出幾和離心率的關(guān)系，進(jìn)而得解.

【詳解】

/L2

由題可得6(-C,O),E(cO),根據(jù)對(duì)稱性設(shè)點(diǎn)M在第一象限，可得MC,1

x+c=A(c-x)

b12

設(shè)N(x,y),由F1N=2NM,得(x+Gy)=4c-x,-----y，所以b2

ay=Z----v

a

A-I

X=-----cZ2

1+4即NA-12b]

解得---c,-------

2b-J+21+2Cl)

y=----------

1+2a

b2

因?yàn)辄c(diǎn)N在雙曲線。上，所以zY=1,

(金制J+AJa2

A-1Y,(AY/,\Ap，1+22,2

所以——-e--——--(￡>--1)=1,解71得夕=；—―=-l+—

{\+A)U+/U'f1-221-：

13212

因?yàn)橐籛/14—,所以一W1-2/LW-,貝IJ44----<5,

410521-2A

所以3W/W4,又e>l.所以

故選：B

9.AB

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】對(duì)于A,根據(jù)向最減法的坐標(biāo)公式求。_人再利用向量模的坐標(biāo)公式求k-可，結(jié)

合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值，對(duì)于B,由條件可得力不共線，列不等式求加的范康，判

斷B，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程判斷C,由條件可得〃/>0,且〃，。不共

線，列式求機(jī)的取值范圍.

【詳解】對(duì)于A,d-b=(m-4,2-m),則

(4一/?『=(〃?-4)2+(2-M2=2/〃2一]2〃?+20=2(〃7-3)2+222.所以當(dāng)機(jī)=3時(shí)，,一〃|取最

小值，.=&,故A正確；

IInun

對(duì)于B,若4,b可以作為平面向量的一組基底，則a與。不共線，所以切2-2X4HO,解

得加工±20，故B正確；

對(duì)于C,。+/?=(m+4,2+，〃)，若a_L(a+〃)，則/〃(〃?+4)+2(2+〃。=0,即〃?？+6〃2+4=0,

解得m=-3±\/5壬Q.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a與人的夾角為銳角，則a/=4〃?+2〃2=6〃?>0，且M-8工0，所以/〃>0且

m豐2>/2.故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.BCD

【分析】根據(jù)圖象求出內(nèi)。即可判斷A：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求解判斷BCD.

【詳解】由圖可得7J=工馬美，則啰=2,

co12I12J2

所以/(x)=Atan(2x+。)，則*2+8=5,解得8=*，故A錯(cuò)誤：

此時(shí)/(x)=Atan(2x—T),貝lj/(())=A=26，解得A=-2,

所以/")=-2tan(2x—g),

令我Z),得工等+?丘Z),

所以/(力圖象的對(duì)稱中心為停+去。)(&Z),故B正確；

由/(x)<2y>^、,得tan(2.Y—號(hào))>—,則—e+E<2x—]+cZ),

解得2+<杏+"(&eZ),故C正確；

12212217

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

當(dāng)T調(diào))時(shí),2冶《0,5,〃力＜0,

則力(工)=2tan2x--j1+22tan(2x--jtan(2x~—,

3I3j

當(dāng)4＞一1時(shí)，2+24＞0,.且產(chǎn)叩話)在區(qū)間信引上單調(diào)遞增,

7t57t

6,12上單調(diào)遞增,故D正確.

故選：BCD.

11.AC

【分析】畫出函數(shù)的圖象：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合換

元法、數(shù)形結(jié)合法逐一判斷即可.

log9(x-l),x>2

-Iog.j(x-l),l<x<2

/(x)=]l--,0<x<l

【詳解】由題意,

3r

--l,x<0

3、

函數(shù)圖象如下圖所示:

g(x)=/(xH=On/(x)=k,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-々恰有4個(gè)零點(diǎn)，分別為七，々，巧，?□，且西＜“2＜七＜七,

所以結(jié)合函數(shù)圖象可知：％＜()＜與＜1＜工3＜2＜%，

22

又因?yàn)橥?)=§，所以0＜攵＜§.

A：由上可知："%)=〃電)=』5-1=1-5=5+5=2,

因?yàn)橛谩凑迹?/p>

所以a+^＞2個(gè)a*"a得＜1S＞1="+"＞?！虼薃正確;

B：因?yàn)?＜工3＜2＜七，

所以-1嗚(占-1)=瞋95-1)=隰[(七-1)(43-1)]=。=>(昌-1)(馬-1)=1

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

=>x4x,=x4+x5=>—+—=1,所以B錯(cuò)誤；

X4

C：因?yàn)?<々<1，2<a=占+七>2,

所以]一」=10g9(4—1)=左=>工2=l0ga7^V，X4=8+],

321-K

x,+x4=log.—!—+94+1,

\-k

設(shè)g(4)=log3丁=+9、I,且0<Z<；,

1-KJ

7i

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，當(dāng)()<k<,時(shí)，函數(shù)8伙)=1。&^^+94+1單調(diào)遞增，

,(2\-4

于是有g(shù)(k)〈g§1=33+2,因此有2<占+^W3‘+2，所以C正確;

D：令/(x)=/〃，則=

由絕對(duì)值的非負(fù)性可知：/(%)20,且只有當(dāng)工=0,2時(shí)，函數(shù)值為零.

因此由/(〃?)=7/工0=>/=0,"=0,或〃?=2,

當(dāng)/(x)=〃?=0時(shí)，4=0,2,函數(shù)/(x)圖象與直線y=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)/(力=〃?=2時(shí)?，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)/(x)圖象與直線y=2有三個(gè)不同的交點(diǎn),

所以關(guān)于x的方程/(/(")=/最多有5個(gè)不相等的實(shí)根，因此D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.4

【分析】設(shè)P(%,%)，%>()，根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出%=4,得到答案.

【詳解】由y=4i,得f=9)，，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為〉=一」.

416

設(shè)P(.%,)b)，No>。，則=No=野，?**)?o=，

lo1O

，點(diǎn)P到X軸的距離為4.

故答案為：4

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

13.84-

7

【分析】(1)將方案總數(shù)分三種情況討論，計(jì)算出每種情況的方案數(shù)，即可求出總方案數(shù);

(2)計(jì)算出恰好使用3種不同農(nóng)作物品種的方案數(shù)，根據(jù)所求得的方案總數(shù)，即可求出相

應(yīng)概率.

【詳解】【答題空I】由題意，

若選擇4種農(nóng)作物，則有A：=24種種植方案，

若選擇3種農(nóng)作物，

???相鄰的區(qū)域種植的農(nóng)作物品種不同，

???只能是1、4區(qū)域或2、3區(qū)域相同，

若1、4區(qū)域種植相同農(nóng)作物，有C：A；=4x6=24種方法，

同理若2、4區(qū)域種植相同農(nóng)作物，也有24種方法，

若選擇2種農(nóng)作物，只能是1、4區(qū)域和2、3分別種植相同的農(nóng)作物，

有C；A；=6x2=12種方法，

???共有24+24+24+19=84種植方案，

故答案為：84.

【答題空2】

由題意及(1)得，

共有84種植方案，

其中恰好用了3種不同農(nóng)作物的方法有24+24=48種方案，

484

，恰好用了3種不同農(nóng)作物品種的概率P=—=-,

827

4

故答案為：y.

14.(^20,l-e]o(1,4-07)

【分析】/'(力2文的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1"次：討論x的符號(hào)，分離參數(shù)處理即可.

【詳解】由“力?？傻?〃?-下對(duì)x的范圍分情況討論：

(1)當(dāng)】=0,(m-l)xO>e°,即021,不成立;

pv1

(2)當(dāng)x>0,由?！?e'可得〃?一12——=,

xxel

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

設(shè)y=xev(A>0),則y=(x+l)ex>0,

則y=xe，在(0,+co)上單調(diào)遞增,顯然x->+oo,y=xex->+co,

即xe(0,+co)時(shí)，y=xcxG(0,+oo),

于是」76(0,+8),由于在xe(O.a)時(shí)有解，

xexe

則m-1>0?即〃？>1；

-xi

(3)當(dāng)x<0,由?！啊狣xNer可得〃?—14二e=」一,

xxex

設(shè)y=xex(x<0),則/=(x+l)e',

x<-l,y<0,-1<x<0,/>0,

則y=xel在(-8,-1)上遞減，在(-1,0)上遞增，

又x=(),),=O,x=-1,y=,

e

而X<-1時(shí))，=沅、單調(diào)遞減，但注意到)Y0,

-|)

于是、=肥,在(YO,0)上的值域?yàn)椴?0上

于是‘7e(-8,-e],由于〃?一14一!在xe(0,+R)時(shí)有解，

xexe

則〃?—lK-c,即mMl-e.

綜上所述，me(y,lY〉J(l,+8).

故答案為：(-a>,l-e]u(l.-H?)

15.(1)2

【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系,得到用A的值，再用正弦定理得到VA3C

外接圓的半徑；

(2)利用向量AG=|xg(A8+ACj=；(A8+AC),用向量?jī)?nèi)積的夾角形式求解即可.

【詳解】(I)因?yàn)?sinA+sinB+sinC)(c-a+/;>)=3csinB,

所以由正弦定理得

3bc=(b+c+a)(b+c-a)=(b+c)2-a2=b2+c2-a2+2bc,

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

所以〃2+。2-a-=枚;

則由余弦定理得COSA=b

2b

又4e(0,兀)，所以A=g.

J

設(shè)VA3c外接圓的半徑為R.

貝IJ/?=，_=攣=2.

2sinAJ3

(2)因?yàn)辄c(diǎn)G為V4BC的重心,

所以AG=W0x-1(AK+ACi=±1(/1B+

32、，3、

^B'+AC2+2|AB|-|AC|cosy

所以AG=-

3

-JC2+^2+2Z?CCOS---x」4+9+2K3K2」-

3V33V23

所以線段AG的長(zhǎng)為典.

3

16.(1次=70.5,樣本中位數(shù)為71.67

(2)8186

⑶分布列見解析，"(y)=iioo

【分析】(1)結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可;

(2)由題意，〃之；=70.5,o-?.y?l4.3l,進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率求解即可;

(3)由題意可得V的所有取值為0,1000,2000,3000,4000,再求出顧客每次抽獎(jiǎng)返還2000

元現(xiàn)金的概率，顧客每次抽獎(jiǎng)返還1000元現(xiàn)金的概率，顧客每次抽獎(jiǎng)不返還任何現(xiàn)金的概

率，進(jìn)而求解分布列和數(shù)學(xué)期望.

10x45+15x55+20x65+30x75+15x85+10x95

【詳解】(1)由題意，平均數(shù)7==70.5,

100

前3組的頻率為10+15+20=45,前4組的頻數(shù)為10+15+20+3()=75,

所以樣本中位數(shù)位于［70,80),設(shè)為〃，

則45+、^x30=50,解得。。71.67,則樣本中位數(shù)為71.67.

(2)由題意，X近似地服從正態(tài)分布且〃6=70.5,14.31,

由于P(41.88<X<8d.81)=P(〃-2bvX<〃+b)

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

=-^/>(//-2(T<X<//+2cr)+-^P(x/-cr<X<x/+cr)

?-x0.9545+2x0.6827=0.8186,

22

因此估計(jì)這些車主中滿意度評(píng)分位于區(qū)間(41.88,84.81］的人數(shù)為

1(X)00x0.8186=8186.

(3)由題意，y的所有取值為0,1000,2000.3000.4000,

C31

顧客每次抽獎(jiǎng)返還200()元現(xiàn)金的概率為消=方，

C2C'9

顧客每次抽獎(jiǎng)返還1000元現(xiàn)金的概率為■=方,

顧客每次抽獎(jiǎng)不返還任何現(xiàn)金的概率為1-31-59=：1，

20202

11191a

則p(y=0)=—x—=—,P(Y=iooo)=cl,—x—=—,

'‘224'7220220

P(r=2000)=—X—+C'2—xl=—,

'72020-202400

P(y=3000)=C—X—=—,

'7'2020200

p(y=4ooo)=—x—=—,

\)2020490

則y的分布列為：

Y01000200030004000

910191

P

420400200400

1oinia1

所以石(y)=0x-+1000x—+2000X——+3000X——+4000X——=110()

'J420400200400

17.(1)證明見解析

（2）證明見解析

⑶拽

4

【分析】（1）解△人陰）得的長(zhǎng)度，再用勾股定理可得；

（2）通過(guò)證明平面CDQC，可得到平面平面CDRG.

（3）建立空間正交坐標(biāo)系，表示出平面48。的法向量：直線C"與平面AB。所成角的正

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

弦值即可解出。。的值，最后求出答案.

【詳解】（1）由題可得4?=1,4）=2,/加。=60°,

則在△人中，由余弦定理得

BD=y/A82+AD2-2AB-ADcosZBAD=^l+4-2xlx2xl=5/3.

所以AB2+%）2=A”2,所以ABLBD,

所以△ABD為直角三角形.

（2）由（1）可知

又AB//CD,所以3O_LC￡>.

因?yàn)椤?。平面?。。，BDu平面八BCD,

所以3。_LOR.

因?yàn)?。。JCD=D,。口<。（=平面（7。?！?所以80,平面CDQG.

又Qu平面A3。，所以平面ABQ_L平面CD〃G.

（3）由（2）可知用）J_Q,

又。R_L平面A8CO,所以8。，CD,0A兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，DB,DC,。。所在直線分別為x,），，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)DD1=t,t>\.

則0(0,0,0),網(wǎng)30,0),A(后-1,0),C(O,2,O),A(0,0,。.

因?yàn)镃O=2GR,所以人￡)=2AR,

所以〃4=3。/1=(￥，—；,0.

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

所以04=卓一;“，DB=(G,O,O),CDX=(0,-2J).

設(shè)平面4瓦)的法向量為〃=(x,y,z),

/??DA.=-x-—y+rz=0

則1個(gè)22^,

n-DB=\/3x=0

取y=2,得x=0,z=-,

t

所以〃=(0,2,；).

設(shè)直線CD.與平面ABD所成的角為凡

解得"2或/=g(舍).

即DD、=2.

設(shè)梯形A8CO與梯形的面積分別為面，S2,

則S1=g(A8+CO>8Q=gx(l+2)xG=￥.

因?yàn)樘菪蜛BC。，與梯形43co相似，且器■=：，

所以今=；，所以S2=攣.

548

所以四棱臺(tái)4BC。-A冏CQ的體積

3($+8+的)3=

18.⑴工+21=1

43

⑵(j)y=±*+l)；(ii)直線Q?過(guò)定點(diǎn)卜|,0；

【分析】(1)判斷哪兩個(gè)點(diǎn)在曲線上，代入計(jì)算，即可求得答案:

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，利用三角形面積，卻可

求得答案；（ii）表示出直線OR的方程，判斷出所過(guò)定點(diǎn)在x軸上，即可求解.

【詳解】⑴由題可知，a倒,-網(wǎng)，4（°W）

中有且僅有一點(diǎn)在橢圓C上,

故b=G或g.

若點(diǎn)A（；,0）在橢圓C上，則a=g〈力，不符合題意,

故點(diǎn)兒（go）一定不在橢圓C上，

亭）一定在橢圓。上.

所以點(diǎn)4瓜

當(dāng)點(diǎn)A(o,-6),在橢圓c上時(shí),

b=g

a=2

33，解得，

F+--T=1b=Q

[a24H

則橢圓C的方程為上+二=1；

43

當(dāng)點(diǎn)A』瓜,4（0,；）在橢圓C上時(shí),

b'

2

,33,方程組無(wú)解.

/+獷=1

綜上，橢圓C的方程為工+《=1.

43

（2）⑴由題意知直線也的斜率不為0,故設(shè)其方程為工=a-1,￡（-1,0）,瑪（1,0）,

夕。過(guò)點(diǎn)七則△>（）,

設(shè)外芭，兇），。（七,%），%>%，故X+L=-9

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

則…:師赤"島）-4、島二安1，

故SPQF=36居,（丁|->\）=-x2x,

眥2l12|\J|R23r+413

即得隼1=2,設(shè)"石=5,則4^==,解得s=2或!（舍去），

3廠+4133s,+1136

解得，=±6,故/方程為、=±Gy-l,即），=±4（x+i）；

（ii）由（i）知當(dāng)直線，的斜率存在且不為。時(shí)，-2再8=3（乂+%），

且A（T,y）,則"H=三言.

所以直線QR的方程為=*言"+4）.

.X）十紂

由對(duì)稱性可知，若直線QR過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)在x軸上，

令y=0,得、=_4-免d=_4一皿*

）‘2一）1）‘2一）'1

|（凹-必）35

%-y22

所以直線QR過(guò)點(diǎn)（-右。）

當(dāng)直線/的斜率為。時(shí)，直線QR：>'=0,過(guò)點(diǎn)（-右0）.

綜上，直線QR過(guò)定點(diǎn)（一|，。］

19.（1）是，理由見解析

（2）不存在，理由見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）先求出/（"的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求M極值點(diǎn)，再計(jì)算1=的直,

Xl-A2

判斷是否滿足“極值可差比函數(shù)”的定義即可.

（2）先根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)不同的正根得出。的取值范圍，再通過(guò)/（%）-/（9）的表達(dá)式求出3

結(jié)合已知k的值建立方程求解。即可.

（3）求出〃⑺的表達(dá)式，并求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=〃a）T，通過(guò)分析g（。

的單調(diào)性，結(jié)合〃（&）=〃廚的遞推關(guān)系證明不等式即可.

答案第15頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】(1)當(dāng)a=5時(shí)，/(x)=x2-5x+21nx,x>0,

(2x-1)u-2)

貝ij.r(x)=2x-5+^=,令r(?=o,得工=3或x=2,

x

.?.當(dāng)xjo,；］時(shí)，r(x)＞0,/(“單調(diào)遞增;

乙)

當(dāng)xw時(shí)，r(.r)＜0,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(2,s)時(shí)，r(x)〉O,/(“單調(diào)遞增，

(|9g

"(X)的極大值為/匕卜一丁2m2,極小值為〃2)=-6+2In2.

4

所以=