有理數(shù)的乘法與除法（知識清單+11大題型+好題必刷）

B題型梳理

版型二…誨不看函駁的秉法運(yùn)算..........................................

題型二多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

題型三有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

題型四倒數(shù)

題型五有理數(shù)乘法運(yùn)算律

題型六有理數(shù)的除法運(yùn)算

題型七有理數(shù)除法的應(yīng)用

題型八有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

題型九有理數(shù)四則混合運(yùn)算

題型十有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

題型十一根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)

Q如夜蒲簞一

知識點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則

有理數(shù)的乘法

（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.

>WfW?Wt1"—BLialH：.AM'

(2)任何數(shù)同零相乘，都得0.

知識點(diǎn)2.倒數(shù)的概念

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

11

一般地，a—=1(aWO),就說a(arO)的倒數(shù)是一.

aa

(2)方法指引：

①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要.倒數(shù)是伴

隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“一"即可

求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一

求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

知識點(diǎn)3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

乘法結(jié)合律：(aXb)Xc=aX(bXc)；

乘法分配律：(a+與Xc=ciXc+bXc.

知識點(diǎn)4.多個有理數(shù)相乘

多個有理數(shù)相乘的法則：

①幾個不等于o的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)：當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積

為正.

②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

（4）方法指引：

①運(yùn)用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘.

②多個因數(shù)相乘，看（）因數(shù)和積的符號當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又笥單.

知識點(diǎn)5.有理數(shù)除法法則

1.有理數(shù)除法法則一：除以一個不等于o的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).

用字母表示：a?b=a*:（bW0）.

b

2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等丁?被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商.0

除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

9打?3昌網(wǎng)?卜3g-3

―枇*t-t

絕超值輻除維就他加冷

方法指引:

（I）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相

除”.如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個不等于（）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分.乘除混合運(yùn)算時一定注意

兩個原則：①變除為乘，②從左到右.

知識點(diǎn)6.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

有理數(shù)乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法,然后按照乘法法則，確定積的符號,最后求出結(jié)果.

注意：除法沒有運(yùn)算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運(yùn)算律簡化運(yùn)算

知識點(diǎn)7.有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序

在運(yùn)算時要注意按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果有括號，應(yīng)先算括號里面的.在同級運(yùn)算中，要按從左到

右的順序米計:算，并合理運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)笄.

Q題型方法

【題型一】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【例1】(24-25七年級上?貴州畢節(jié)?期末)(-3)+(-3)+(-3)+(-3)可以表示為()

A.3x4B.(-3/C.(-3)x4D.(-3)x(-3)

【答案】C

【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了乘法的意義，根據(jù)題意表示成乘法的形式，即可求解?.

【詳解】解：(-3)+(-3)+(-3)+(-3)可以表示為(—3)x4,

故選：C.

【舉一反三】

1.(24-25七年級上?山東濟(jì)寧?期末)現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：=m+則2*(-3)計算結(jié)果是()

ah+[a-b).(a-n)

A.—1B.-5C.-7D.—11

【答案】B

【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)加減法和乘法的混合運(yùn)算，正確理解新定義運(yùn)算的含義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

2>-3,選擇力的情況計算即可.

【詳解】解：

/.2*(-3)=2x(-3)-[(2+(-3)]=-6-(-1)=-5.

故選：B.

2.(24-25七年級上?山西太原?期末)計算3x(-6)的結(jié)果是.

【答案】-18

【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了兩個有理數(shù)的乘法法則，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵.兩數(shù)相乘，同號的正，

異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，積仍得0.

【詳解】解：3x(—6)=-3x6=-18.

故答案為：-18.

3.(24-25七年級上?廣東深圳?期末)【定義】有理數(shù)的“加乘”運(yùn)算，記作亂

有理數(shù)“加乘法則”

同號兩數(shù)“加乘”，取相同的符號，并把絕對值相乘.

異號兩數(shù)相“加乘”，絕對值相等時結(jié)果為0;絕對值不相等時，取絕對值較大數(shù)的符號，并把絕對值相乘.

一個數(shù)同0相,?加乘”，仍得0.

例如：(+5)領(lǐng)+6)=30：(-5)?(-5)=-25；(-5)00=0；(+5)@(-5)=0；(+5)?(-6)=-30；(-5)?(+6)=+30

【應(yīng)用】

(1)00(-4)=_；(-3)?(-4)=_;(-4)0(+5)=_.

⑵計算：[(-2)?(44)]0(-9).

【拓展】

(3)顯然，“加乘”運(yùn)算滿足交換律，即。<8>6=/)包。.那么“加乘”運(yùn)算是否滿足結(jié)合律？即=a③(〃③c)是

否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請舉例說明.

【答案】(1)0,-12,20：(2)-72；(3)不成立，舉例見解析

【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是理解新定義的含義.

(1)根據(jù)已知條件中的新定義，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可得；

(2)按照混合運(yùn)算順序和新定義，先算括號里面的，再算括號外面的即可得；

(3)舉出例子，根據(jù)新定義分別算出(〃合力)位。和(力④。)的值，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：(1)。區(qū)(-4)=0,

(-3)0(-4)=-3x4=-12,

(-4)?(+5)=+4x5=20,

故答案為：0,-12,20.

(2)[(-2)0(+4)]0(-9)

=(+2x4|0(-9)

=(+8)0(-9)

=-8x9

=-72.

(3)不成立，舉例如下：

當(dāng)q=-5力=+6,c=-7時，

(?0/))<gc=[(-5)?(+6)]0(-7)

=(+5x6|0(-7)

=(+30)?(-7)

=+30x7

=210,

??(Z?0c)=(-5)?[(+6)0(-7)]

=(-5)0(-6x7)

=(-5)?(-42)

=-5x42

=-210,

所以（a③力）區(qū)c=4（8）（38c）不成立.

【題型二】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【例2】（24-25七年級上?甘?肅定西?階段練習(xí)）下列式子中，積的符號為負(fù)的是（

x(+6)x

4

C.(-3)xx(-7)xO

【答案】D

【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則，積的符號由因數(shù)中負(fù)號的個數(shù)決定，奇負(fù)偶正,

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、有2個負(fù)號，積的符號為正，不符合題意；

B、有4個負(fù)號，積的符號為正，不符合題意；

C、積為0,不符合題意；

D、有3個負(fù)號，積的符號為負(fù)，符合題意；

故選D.

【舉一反三】

1.（24-25七年級上?河南溪河?期末）已知三個數(shù)的積為負(fù)數(shù)，如果一個數(shù)為正數(shù)，那么另外兩個數(shù)（）

A.一定都是正數(shù)B.一定都是負(fù)數(shù)

C.一定異號D.無法確定

【答案】C

【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟記“同號得正，異號得負(fù)”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???三個數(shù)的積為負(fù)數(shù)，一個數(shù)為正數(shù),

.??另兩個數(shù)異號,

故選：C.

2.（24-25七年級上?河北邯鄲?期中）在數(shù)-3,-2,4,5中任取三個數(shù)相乘，所得的積最大的是.

【答案】30

【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法及有理數(shù)大小比較，關(guān)鍵要明確當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個

時，積為正，且正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).找積最大的應(yīng)取偶數(shù)個負(fù)數(shù)，據(jù)此分析求解即可.

【詳解】v（-3）x（-2）x4=24,（-3）x（-2）x5=30,

???所得的積中最大的是30.

故答案為：30.

3.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）計算：

2

(l)(-2)x-x2

(2)(-3)xf+|

【答案】⑴）

【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【分析】木題考查r有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則.

（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計算即可;

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計算即可.

_2

【詳解】⑴解：（-2）x-x2<-3

3

2

4

(2)(-3)x

5

99

7

81

56

【題型三】有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【例3】（24-25七年級上?廣東湛江?期末）初一年級于12月舉行了班際籃球賽，6支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（每兩隊(duì)之

間都比賽一場），總的比賽場數(shù)為（）

C.18

【答案】B

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了列式計算，理解單循環(huán)比賽的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)單循環(huán)比賽的特點(diǎn)，進(jìn)行計算即可得答案.

【詳解】解：支球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽，

每支球隊(duì)比賽5場，

V每兩支球隊(duì)之間都比賽一場，

???總的比賽場數(shù)為1x6x5=15場：

2

故選B.

【舉一反三】

1.（24-25七年級上?河南南陽?期中）某奶茶店促銷一款新飲品，每杯售價7元，為吸引顧客，店長推出力套餐和8

套餐:

力套餐：每買2杯，第1杯原價，第2杯半價；

8套餐：每買3杯，第1、2杯原價，第3杯免費(fèi).

若晴晴想買12杯該飲品，則下列花費(fèi)最少的方式是（）

A.買6個力套餐B.買4個8套餐

C.買3個力套餐，2個4套餐D.買2個力套餐，3個4套餐

【答案】B

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，正確列出算式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意分別計算出A套餐和8套餐的花費(fèi)，然后比較大小即可.

【詳解】解：解：A套餐每買2杯的花費(fèi)為7+7xg=10.5（元）,

8套餐每買3杯話費(fèi)為7x2=14（元）,

買6個A套餐的花費(fèi)為10.5x6=63（元）：

買4個6套餐的花費(fèi)為14x4=56（元）；

買3個A套餐，2個4套餐的花費(fèi)為10.5x3+14x2=59.5（元）：

買2個A套餐，3個8套餐，則2x2+3x3=13（杯），不符合題意；

56<59.5<63,

???買4個B套餐花費(fèi)最少，

故選：B.

2.（24-25七年級上?四川巴中?期末）市運(yùn)會上有11支足球隊(duì)參賽，每兩支球隊(duì)間只打一-場，隊(duì)隊(duì)見面，則一共要安

排場比賽.

【答案】55

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意可得比賽場次為gxllxlO,即可求解.

【詳解】解：依題意，gxllxlO=55場，

故答案為：55.

3.(24-25七年級上?福建漳州?期中)H租車司機(jī)小李某天下午運(yùn)營全是在東西走向的人民大道上進(jìn)行的，如果規(guī)定向

東為正，向西為負(fù)，這天下午他的行車?yán)锍?單位：千米，前一次的終點(diǎn)為下一次的起點(diǎn))如下：

—15,—2?+5,—1,-7,+10,+6,+12,+4,—5,+3

(1)將最后?名乘客送到目的地時，小李距下午出車時的出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？

(2)通過計算判斷，小李運(yùn)營過程中離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)時是多少千米？

(3)若汽車耗油量為5升/千米，這天下午小李共耗油多少升？

【答案】(1)10千米

(2)20千米

(3)350升

【知識點(diǎn)】有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查的是正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用.

(1)根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則計算；

(2)算出每一站與出發(fā)點(diǎn)的距離，進(jìn)而分析得出答案；

(3)根據(jù)有理數(shù)的絕對值的定義計算.

【詳解】⑴解：-15-2+5-1-7+10+6+12+4-5+3

=5-5+10+12+6+4+3-15-7-2-1

=0+35-25

=+10

答：將最后一名乘客送到目的地時，小李距下午出車時的出發(fā)點(diǎn)10千米：

(2)解；-15-2=-17；

-17+5=-12；

-12-1=-13；

-13-7=-20；

-20+10=-10；

-10+6=-4；

-4+12=8；

8+4=12；

12-5=7：

7+3=10.

所以小李運(yùn)營過程中離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)時是20千米；

（3）解：卜15|+卜2|+|+5|+卜1|+卜7|+|+10|+|+6|+|+12|+|+4|+卜5|+|+3|

=15+2+5+1+7+10+6+12+4+5+3

=70（千米）

70x5=350（升）

答：這天下午小李共耗油350升.

【題型四】倒數(shù)

【例4】（24-25七年級上?山東青島?階段練習(xí)）-1的倒數(shù)是（）

A'2016B.------C.2016D.-2016

2016

【答案】D

【知識點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的倒數(shù)，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：7x(—2026)=1，

2016

??.一/記的倒數(shù)是-2016,

故選：D.

【舉一反三】

1.(24-25七年級上?貴州畢節(jié)?期中)下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是()

A.5與一5B.(與一5C.一!與!D.-1與-5

【答案】D

【知識點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積為1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A.5x(-5)=-25^1,所以5與-5不互為倒數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意：

B.1x(-5)=-l^l,所以(與-5不互為倒數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

c.=所以［與!不互為倒數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.-］x(-5)=1,所以-［與-5互為倒數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

2.(24-25七年級上?廣西南寧?期中)*的倒數(shù)是.

【答案】|9

【知識點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題主要考查倒數(shù)的求法，根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)即可解答.

95

【詳解】解：qx.l,

5Q

的倒數(shù)是

9

故答案為：y.

3.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）求下列各數(shù)的倒數(shù):

4

⑴一于

（2）1.2；

（4）-0.08.

【答案】（1）-1

4

【知識點(diǎn)】倒數(shù)

【分析】本題主要考查倒數(shù)，解題的關(guān)鍵牢記倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

（I）根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可；

（2）先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再根據(jù)倒數(shù)的定義求解；

（3）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)倒數(shù)的定義求解：

（4）先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再根據(jù)倒數(shù)的定義求解.

47

【詳解】⑴解:-亍的倒數(shù)為-W；

(2)?.?1.2=|,

「?1.2的倒數(shù)為:：

6

二1的倒數(shù)為3:；

34

2

(4),*'—0.08=------,

25

25

「?-0.08的倒數(shù)為-

【題型五】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【例5】(24-25七年級上?貴州貴陽?期末)某同學(xué)在計算(-4)x5x(-0.25)時，將原式變形為[-4x(-0.25)]x5進(jìn)行簡便

運(yùn)算，這樣做的依據(jù)是()

A.乘法交換律B.乘法對加法的分配律

C.乘法結(jié)合律D.乘法交換律和乘法組合律

【答案】D

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查了乘法運(yùn)算律，根據(jù)原式變形為14x(-0.25)]x5,利用了乘法的交換律和結(jié)合律，據(jù)此即可作答.

【詳解】解：v(-4)x5x(-0.25)=[-4xi-0.25)]x5,

.??運(yùn)算依據(jù)是乘法交換律和結(jié)合律，

故選：D.

【舉一反三】

1.(24-25七年級上?福建泉州?期末)下列運(yùn)算中用的運(yùn)算律是()

'---1x3x8=f---lx(3x8)=f--->|x24=lx24--x24=4-18=-14.

(64)(664

A.乘法結(jié)合律及分配律

B.乘法交換律及分配律

C.乘法交換律及乘法結(jié)合律

D.分配律及加法結(jié)合律

【答案】A

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，乘法運(yùn)算律，熟練掌握乘法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題干中的解題過程，結(jié)合乘法運(yùn)算律即可得出答案.

【詳解】解：（H）x3x8

m卜（3x8）（乘法結(jié)合律）

13

=7X24-4X24（乘法分配律）

64

=4-18

=-14

.??運(yùn)用的運(yùn)算律為乘法結(jié)合律及分配律，

故選：A.

2.（24-25七年級上?河南南陽?期中）乘法分配律是一條很重要的運(yùn)算律，用字母表示：a3+c）=M+ac?.請運(yùn)用乘

法分配律簡便計算：T3嗚+13nb3x（一,=一.

【答案】-26

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】解：73嗎+13x（司-13x司

=13x(-2)

=-26.

故答案為：-26.

3.（24-25七年級上?廣東江門?期中）計算：能用簡算的用簡算

(2)-99.18.

【答案】（I*

（2）-1799^-

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【分析】本題考查乘法分配律，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）利用乘法分分配律的逆運(yùn)算進(jìn)先計算解答即可：

（2）把原式化為1-100+1卜18,然后運(yùn)用乘法分配律解題即可.

【詳解】（1）解：151乂5亍一，卜75、卜251+（卜51）卜75

15

=11X1+21X5+X—

2727127

=1—+2----x-

1222)7

一二

27

=5

~2'

23

(2)解:-99—X18

24

=(-100+擊卜18

=-100x18+—xl8

24

3

=-18004--

4

=-1799-.

4

【題型六】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【例6】(24-25七年級上?陜西咸陽?期中)計算：()

33

A.6B.—6C.-D.—

22

【答案】B

【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的除法，除法變乘法，進(jìn)行計算即可.

(1A

【詳解】解：3+--=3x(-2)=-6;

X」)

故選B.

【舉一反三】

1.(2024七年級上?河南鄭州?專題練習(xí))老師從一樓辦公室去某教室上課，走一層樓有10個臺階，走了30個臺

階.老師要去的這個教室在第（）層,

A.三B.四C.五D.無法確定

【答案】B

【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握1樓沒有臺階，所以樓層數(shù)=1+間隔數(shù).把樓層與樓層之間

的10個臺階看作1個間隔，先求得一共走過了幾個間隔：30?10=3（個），?樓沒有臺階，所以老師要去的這個教

室在第1+3=4層.

【詳解】解：30+10+1=4（層）

故答案為：B.

2.（24-25七年級上?福建福州?期末）將十進(jìn)制數(shù)36化為七進(jìn)制數(shù)為.

【答案】（5）

【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算

【分析】本題考查了進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是掌握“除〃取余法”.

把所給的十進(jìn)制數(shù)除以7,得到商和余數(shù)，繼續(xù)除以7,直到商為0,把余數(shù)倒序?qū)懴聛砑纯傻玫酱鸢?

【詳解】解：,??36+7=5-1,5+7=0…5,

:36=（51）］,

故答案為：（5）.

卜（x>0）人工

3.（24-25七年級上?山東聊城?期中）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題:我們知道忖=0（、=0），所以當(dāng)x>0時，口=一二?

-A（X<0）網(wǎng)

xX

當(dāng)x<o時，n=—二一，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：

因一X

ab

（1）已知力是有理數(shù),當(dāng)時工0時,求同+同的值；

abc

（2）已知a,b,。是有理數(shù),當(dāng)而cwO,求同+阿+同的值；

b+ca+ca+b

(3)已知叫b,。是有理數(shù)，a+b+c=Otabc<Ot求下「+百+下「的值.

【答案】⑴±2或0

⑵±1或±3

⑶-1

【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、帶有字母的絕對值化簡問題

【分析】本題主要考查了絕對值的意義，有理數(shù)的乘、除法法則；

(1)根據(jù)得出。，。同號或4,b異號,然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可；

(2)abc#0,得出avO,b<0,c<0或。>0,b>0,c>0或a,b,。兩負(fù)一正或a,b,C兩正一負(fù)，然后

根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可；

b+ca+ca+bab

(3)根據(jù)a+6+c=0,^il'ia+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,|P|+~777~+n=-i—iFi,根據(jù)McYO,

冏四\c\網(wǎng)網(wǎng)

a+〃+c=O,得由〃、b、c中一負(fù)兩正，再化簡絕對值即可.

【詳解】(1)解：已知。，〃是有理數(shù)，當(dāng)他工0時，

①。<0,/><(),

②a>0,b>0,

③a,人異號,AA

同+14=0

ab

故同+區(qū)的值為±2或0.

(2)已知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)"cwO時,

…abc,,,

①a<0,b<0,c<0,廠[+舊+?7=-1一1-1=一3；

同Pl同

abc....

②。>0,b>o,c>(),r~[+nj+n=++=&

1aBi同

—abc,,,

③Q,b,c兩負(fù)一正，,+問+H=一一"=一；

…ahc,,,,

@a,b,c兩正?負(fù)，同+丙+問=一"+=

abc

故時+,+丙的值為±1或±3，

(3)已知。，b,。是有理數(shù)，。+8+c=0,abc<0,

所以匕+c=-a,a+c=-b,a+b=-cfa,b,c兩IE一負(fù),

b+ca+ca+b

所以

-a-b-c

府+丙+R

【題型七】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【例7】（24-25七年級上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）一輛長20m的貨車，以72km/h的速度勻速通過一條長為100m的隧道,

隧道內(nèi)壁頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，下列說法中正確的是（）

①燈光照在車身上的時間是1s：②燈光照在車身上的時間是2s；③從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開匿道所用的時間是

6s；④從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道所用的時間是7s.

A.只有①④正確B.只有①③正確

C.只有②④正確D.只有②③正確

【答案】B

【知識點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)除法的應(yīng)用等知識點(diǎn)，讀懂題意，根據(jù)“路程+速度

=時間''正確列出算式是解題的關(guān)鍵.

先將72km/h換算成20m/s,然后根據(jù)“路程+速度=時間”列式計算即可.

【詳解】解：72km/h=20m/s,

,/20+20=Is,

故說法①正確，說法②錯誤；

v（100+20）-20=6s,

故說法③正確，說法④錯誤；

綜上，正確的說法有：①③，

故選：B.

【舉一反三】

I.（24-25七年級上?廣東汕尾?期末）如題圖，在一張日歷表中，任意涂出一個豎列上相鄰的三個數(shù)，則這三個數(shù)的和

可能是（）

/、-

H—二三四五

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

A.38B.40C.51D.62

【答案】C

【知識點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】此題考查了有理數(shù)的計算，通過觀察發(fā)現(xiàn)日歷中任意圈出同一豎列上相鄰的三個數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是完成

本題的關(guān)犍.通過觀察可知，日歷中任意圈出同一豎列上相鄰的三個數(shù)中每相鄰的兩個數(shù)都相差7,且中間的數(shù)為三個

數(shù)的平均數(shù)，據(jù)此特點(diǎn)對題目中的四個選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：日歷中任意圈出同一豎列上相鄰的三個數(shù)中每相鄰的兩個數(shù)都相差7,且中間的數(shù)為三個數(shù)的平均數(shù).

A、38+3=12…2,不能整除，不符合要求；

B、40+3=13…1,不能整除，不符合要求；

C、51-^3=17,17-7=10,17+7=24,常合日歷中數(shù)豎列I:相鄰的三個數(shù)的特點(diǎn);

D、62+3=20…2,不能整除，不符合要求：

故選：C.

2.（24-25七年級上?河北承德?期末）閱讀把十進(jìn)制的11轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的方法，11+2=5……1,5+2=2……1,

2+2=1……0,1+2=0……1,所以11=（1011）”把27轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制為.

【答案】（HOI）

【知識點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】本題考查了十進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換（有理數(shù)除法的應(yīng)用），熟練掌握十進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換方法及有理數(shù)的

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意,將27除以2,得到商和余數(shù),然后如此反復(fù)，即：27+2=13……1,13+2=6……I,6+2=3……0,

3+2=1……1,1+2=0……1,將余數(shù)從下往上排列，即可得到二進(jìn)制數(shù).

【詳解】解.：根據(jù)十進(jìn)制的11轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的方法可知：

27+2=13……1,13-2=6……1,6+2=3……0,3+2=1……1,1+2=0……1,

二.27轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制為（1101），

故答案為：

3.（24-25七年級上?黑龍江?期中）東方小學(xué)新建教學(xué)大樓，實(shí)際造價45萬元，比原計劃節(jié)約了%，原計劃造價多少

萬元？

【答案】原計劃造價50萬元.

【知識點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)除法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式45+（1-然后根據(jù)法則進(jìn)行求解即可，讀懂題意，列

出算式，掌握有理數(shù)除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：45dl-2、

\1U,

=50（萬元），

答：原計劃造價50萬元.

【題型八】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【例8】（24-25七年級上?貴州黔東南?期中）-IS+Ox，，!的運(yùn)算結(jié)果是（）

6I

5454

A.1.5B.-1.5C.—D.--

【答案】C

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則判斷即可.熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：

6I5/

36（6}

25I5>1

54

=—,

25

故選：C.

【舉一反三】

1.（23-24七年級上?河北唐山,開學(xué)考試）有一間客廳，用面積是36平方分米的方磚鋪地，需要96塊.如果改用邊長

是80厘米的方磚鋪地,需要（）塊

A.24B.34C.44D.54

【答案】D

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考杳了有理數(shù)乘除法計算的應(yīng)用，先求出房間的面積，再用房間的面積除以邊長為80厘米的方磚面

積即可得到答案.

【詳解】解:36x96+(8x8)=54,

所以需要54塊，

故選：D.

2.（24-25七年級上?黑龍江?期中）圓的直徑是6厘米，面積是平方厘米.

【答案】9兀

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】此題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，正確理解圓的面積的公式是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：圓的面積為"目=9兀（平方厘米），

故答案為9兀

3.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）計算：

【答案】⑴-表

⑵10

【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個數(shù)等于乘以它的倒數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法法則計算即可;

（2）將有理數(shù)除法轉(zhuǎn)為有理數(shù)乘法，然后根據(jù)乘法法則計算即可.

【詳解】⑴解:原式=/（一外

1

20

(2)解：原式=(-3)x^x(—4)

6

=1().

【題型九】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【例9】（24-25七年級上?河南駐馬店?期末）對于任意非零有理數(shù)％b,定義運(yùn)算“※”如下r※武展，則

照2+2X3+3X4+...+2024X2025

的值為（）

12024c2024

A，2024D.---------

B.康.20252025

【答案】D

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

b1

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，根據(jù)題意得出?！鵡二是解題關(guān)鍵.

a

【詳解】解：???〃派6=4==_二=：_4

anananna

.?.齦2+2豺+.讀4+…+202俅2025△-1…+11

2324320252024

=—1H--------

2025

2024

2025

故選：D

【舉一反三】

1.（24?25七年級上?重慶大渡口?期末）定義一種新運(yùn)算：7仁/）=竺吆，其中x+"0,如:

x+y

2x2+59

r（2,5）=7?=］，下列說法正確的個數(shù)是（）.

①7（0川=1；

②當(dāng)x+ywO,r(x,y)>l；

③7(0,l[+r(l,2)+7(2,3)+…+7(100,101)+7(101,101)+7(101,100)

+…+7(3,2)+r(2,l)+7(1,0)=303.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題考查新定義，正確理解題意是解題的關(guān)犍，根據(jù)新定義注意分析即可得出答案

【詳解】解：?"（占力=生口，

x+y

.?.T（O,1）=甘*=1,故①正確：

當(dāng)x+wo,r(x,j；)=^z=i+—

x+yx+y

x2

當(dāng)x=2,尸-3時，T(x/)=1+行T+2+j3)=-1-1，故②錯誤;

F(OJ)+r(l,2)+7'(2,3)+---+7(100,101)+7(101,101)+7(101,100)+---+7(3,2)+7(2,1)+7(1,0)

12x1+22x2+32x100+1012x101+1012x101+1002x1+0

=-H---------------1----------------F...H-----------------------1---------------------H----------------------…H---------------

11+22+3100+101101+101101+1001+0

=1+371013301303302141185

-+—+—+…+——+----+-----...+—+—+-+-+2

35792012022019753

3

=3x101+-

2

=3041,故③錯誤

故選：B

2.（24?25七年級上?甘肅張掖?期中）對任意有理數(shù)4、2定義新運(yùn)算“十"如下:x?y=x2-y.則（-2）十3=

【答案】1

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析】本題考查有理數(shù)的新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是依據(jù)新運(yùn)算規(guī)則準(zhǔn)確代入有理數(shù)進(jìn)行計算.根據(jù)新運(yùn)算的定義將

x=-2,y=3代入到K十歹=中，按照先計算乘方，再計算減法的順序進(jìn)行計算.

【詳解】解：根據(jù)題意得:

將X=-2,y=3代入X十y=/

（-2）2-3=4-3=1

故答案為：1.

3.（24-25七年級上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）脫式計算（能簡算的要簡算）

(1)6.5x102

(2)37.5%x32x25%

89

⑶2+60%X?

33o

Q

(4)I5X—+80%x36+49x0.8

27

(5)-+-+60%+12.5%

58

(6)75%x—x(l-

41

【答案】⑴663

(2)3

嗚

(4)80

(5)2

9

(6)一

80

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算

【分析【本題考查了乘法運(yùn)算律，小數(shù)與整數(shù)的乘法運(yùn)算法則，含百分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)小數(shù)與整數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算，即可作答.

（2）先把百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，再運(yùn)算乘法，即可作答.

（3）先把百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，然后運(yùn)算除法，再運(yùn)算乘法，即可作答.

（4）先把百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，然后運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行計算，即可作答.

（5）先把分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，然后運(yùn)算加法即可作答.

（6）先運(yùn)算括號內(nèi)，再運(yùn)算乘法，即可作答.

【詳解】（1）解：6.5x102

=6.5x（100+2）

=6.5x100+6.5x2

=663；

(2)解：37.5%x32x25%

=QX8H44)

=3；

89

(3)解：--j-60%x—

358

839

=-------r-X-

3558

=—x5x3

35

=3

-7：

Q

(4)解：15x—+80%x36+49x0.8

=15x0.8+0.8x36+49x0.8

=(15+36+49)x0.8

=100x0.8

=80；

27

(5)解：一+―+60%+12.5%

58

=0.4+0.875+0.6+0.125

=0.4+0.6+0.125+0.875

-2；

(6)解：75%x卜(1-40%)]

=75%xlx60%

4

=0.75x1x0.6

4

313

=—x—x—

445

9

一站.

【題型十】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【例10】(23-24七年級上,河北唐山?開學(xué)考試)乘坐飛機(jī)的每位成人旅客，可以免費(fèi)攜帶20千克的行李，如果超過

20千克，超過的部分每千克需按飛機(jī)票原價的1.5%付行李費(fèi).王叔叔從北京乘飛機(jī)到南京，飛機(jī)票價打六折后是540

元，王叔叔還帶了30千克的行李，王叔叔應(yīng)付行李費(fèi)()元

A.105B.115C.125D.135

【答案】A

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析1本題考查百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是先求出飛機(jī)票原價，再算出超重重量，最后根據(jù)超重行李費(fèi)的計算規(guī)

則求出應(yīng)付行李費(fèi).

先根據(jù)機(jī)票折扣和折后價格求出原價，再確定超重重量，最后依據(jù)超重部分每千克的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)算出應(yīng)付行李費(fèi).

【詳解】解：K機(jī)票原價為540?60%=540+0.6=900元，

超重的重量為30-20=10千克，

每千克超重行李收費(fèi)為900x1.5%=900x0015=13.5,

超重10千克,所以應(yīng)付行李費(fèi)為10x13.5=105元.

故選：A.

【舉一反三】

1.（24-25七年級上?貴州遵義期末）如圖是2025年1月的口歷，方框內(nèi)涂上的9個數(shù)之和是正中心數(shù)“14”的（）

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.3倍B.6倍C.9倍D.11倍

【答案】C

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式計算:即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（6+7+8+13+14+15+20+21+22）-14=9,

故方框內(nèi)涂上的9個數(shù)之和是正中心數(shù)“14”的9倍，

故選：C.

2.（24-25七年級上?湖南湘潭?期末）已知熱氣球向空中上升時每升高500m,氣溫下降3℃,若現(xiàn)在氣球的高度為1500

米，且地面溫度為5T,則此時氣球所在高度的氣溫為℃.

【答案】-4

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題中的數(shù)敬關(guān)系正確列式計算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意列式計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，此時氣球所在高度的氣溫為:

翳…

故答案為：一4.

3.（24-25七年級上?甘肅武威?階段練習(xí)）草莓是一種時令水果，不易保存.某水果店以每千克20元的價格購進(jìn)20千

克草莓，并以不同的價格把這20千克草莓陸續(xù)賣完.若以每千克30元的價格為標(biāo)準(zhǔn)價，將售價高于標(biāo)準(zhǔn)價記為正,

低于一標(biāo)準(zhǔn)價記為負(fù)，銷售結(jié)果如下表:

售出數(shù)量/千克18245

售價/（元/千克）+10+6+3-7-9

該水果店銷您完這批草莓是賺了還是賠了？賺了或賠了多少元？（損耗忽略不計）

【答案】賺了，賺了191元

【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】此題主要考作r正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算方法，根據(jù)總價=單價x數(shù)量，分別求出按照不同價格售出的利澗，再求和

即可.

【詳解】解：10xi+8x6+2x3+4x（-7）+5x（-9）+（30-20）x20

=10+48+6-28-45+200

=191（元），

答：該水果店銷售完這批草鞋是賺了，賺了191元.

【題型十一】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)

【例11］（24-25七年級上?天津?qū)幒?期末）a,b,c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a+b<0B.b+c<0C.b+a>0D.a+c>0

【答案】C

【知識點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、有理數(shù)加法運(yùn)算

【分析】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的加法，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得bvavOvc,

|^|>HH,再根據(jù)有理數(shù)的加法法則逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<a<O<c,\b\>\c\>\a\.

A、a+b<0,則此項(xiàng)正確，不符合題意；

B、b+cvO,則此項(xiàng)正確，不符合題意；

C、b+a<0,則此項(xiàng)不正確，符合題意；

D、。+。>0,貝IJ此項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：C.

【舉一反三】

1.（24-25七年級上?陜西延安?期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)4B,C表示的數(shù)分別是0,4c,有下列結(jié)論：①c>b；

②"b>0；③R）c>0；@->0；⑤其中正確的有（）

a

CAB

ca0b

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【知識點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、有理數(shù)除法的應(yīng)用

【分析】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的運(yùn)算，利用數(shù)軸得出。，b,c的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸可得

c<a<O<b,|c|>\b\,再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐個分析判斷即可得出答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可得,c<a<O<b,\c\>\b\t

：.c<b,a-b<0,abc>0,—>0,故①②錯誤，③。）正確；

a

\c\>|z>|.c<0,b>0,

-c>hf故⑤正確;

二.綜上所述，正確的有3個.

故選：C.

2.（24-25七年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上A,8兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a,b,下列各式中：

①”人0,②a<—b,③回+回=0,④（。-1）伍+1）<0其中正確式子的序號是____.

ab

BOA

―?----1----i-?—?--->

b-10a1

【答案】