14.3.2運(yùn)用平方差公式因式分解

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

I.下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.-a2-b~B.a2+(-b)2

C.(F)，(詢2D.-?2+l

2.下列等式正確的是()

A..?+產(chǎn)(x+y)(x+y)B.—W+產(chǎn)(y—x)(y+x)

C.一.d+產(chǎn)=(―工+),)(—x—y)D.一9一)2=—(.r+y)(x—y)

3.(—a+l)(a+D(/-l)等于()

4.將多項(xiàng)式/-81分解因式，結(jié)果正確的是（）

A.（丁+9）12一9）B.(X2+9)2

C.（x2+9）（x+3）（.r-3）D.（x2-9）2

5.在探索因式分解的公式時(shí)，可以借助幾何圖形來解釋某些公式.如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解

釋的因式分解公式是（）

B.a2-h2=(a+b)(a-h)

C.a2+2ab+b2=(a+b)2D.(a-b)2=(i2-lab+b2

6.若4/-他-4分解因式時(shí)有一個(gè)因式是2〃+力-c,則另一個(gè)因式是（）

A.2a2-b+cB.2a1-b-cC.2a~+b-cD.2a2+b+c

7.已知a,b滿足（3-9。）（々+3+9心=癡-片，且a#勸，則關(guān)于〃與人的數(shù)量關(guān)系，下列說法中正確的

是（）

&a2-a=9b2-3b:=a-3b；③。一初=1；④。+弘=1.

A.①②B.②?C.①④D.③④

二、填空題：

8.因式分解：/-9。=.

9.因式分解：/（加-〃）+25（一-雁）

10.若多項(xiàng)式4/+M能用平方差公式因式分解，則單項(xiàng)式M=.（寫出一個(gè)即可）

11.若a+2b=3,a-2b=2,貝!JcJ-4/=.

12.已知一個(gè)圓的半徑為Rem,若這個(gè)圓的半徑增加2cm,則它的面積增加

13.若卜=4則代數(shù)式/-4）尸+1的值為____.

x-2y=-\

14.若M■爐=5,a+b=5,則2a2?2"=.

三、解答題：

15,分解因式：

（1）4?2-9/72；（2）ab2-a\（3）9992-l.（4）-y1-ax-ay.

16.若x+y是9的算術(shù)平方根，x-），的立方根是-2,求/-V的值.

17.如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是Rem和em,求它們所圍成的環(huán)形的面積.如果

R=8.45,r=3.45呢？（先取3.14）

18.在（f-2x+a）（3x+。）的運(yùn)算結(jié)果中，V的系數(shù)為t,x的系數(shù)為_7,求處》的值并對式子4aF+從進(jìn)

行因式分解.

能力提升篇

一、單選題：

1.對于任意整數(shù)〃,多項(xiàng)式（〃+?）2-/都能夠被（）

A.2整除B.〃整除C.（n+7）整除D.7整除

2.小明在抄因式分解的題目時(shí)，不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用

平方差公式因式分解，他抄在作業(yè)本上的式子是?。?4/，則這個(gè)指數(shù)的可能結(jié)果共有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

3.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.如4=22-02,口=42

-22,20=62?42,因此4,12,20都是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”()

A.56B.60C.62D.88

二、填空題：

4.若(202V-4)(20202-4)=2023x2019x201則用=—.

5.請閱讀以下因式分解的過程：

+6。+8

=a'+6〃+9-1

=(<7+3)2-12

=[(?+3)+1][(?+3)-1]

=(aI4)(。I2).

這種因式分解的方法叫做配方法.

請用配方法分解因式：x2+2x-3=

6.如圖，有一張邊長為x的正方形ABC。紙板，在它的一個(gè)角上切去一個(gè)邊長為y的正方形AEFG,剩下

圖形的面積是32,過點(diǎn)尸作"7_LQC,垂足為凡將長方形G";。切下，與長方形EBC77重新拼成一個(gè)長

方形，若拼成的長方形的較長的一邊長為8,則正方形人4C。的面積是

7.如圖，邊長為〃的大正方形中有一個(gè)邊長為〃的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方

形.

圖1圖2

A.爐+/=(x+y)(x+y)B.—x2+},2=(y—x)(y+x)

C.一爐+儼=(—x+y)(—x-y)D.一/一產(chǎn)二一(工+),)(x—j)

【答案】B

【分析】把各個(gè)選項(xiàng)右邊乘開看是否與左邊相等.

【詳解】A.右邊二/+2口+)%與左邊不相等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.右邊三區(qū)工2=-12+、,2,與左邊相等，故B選項(xiàng)正確，符合題意：

C.右邊=(-幻2-)三工2_產(chǎn)，與左邊不相等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.右邊二(d-尸尸-0+/，與左邊不相等，故D選項(xiàng)不符合題意.

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法與因式分解的關(guān)系：整式乘法與因式分解互為逆運(yùn)算.通過把等

號右邊的整式乘法展開看是否與左邊的多項(xiàng)式相等，可以判斷從左到右的因式分解是否正

確.掌握這一方法是解題的關(guān)鍵.

3.(-〃+1)(4+1乂/_1)等于()

A.a4B.-a4+1C.-a4+2a2-1D.1-a4

【答案】C

【分析】根據(jù)平方差公式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解:原式=(1一叫(/_1)=_(。2一])2=_/+2/_].

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與完全平方式，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵.

4.將多項(xiàng)式/-81分解因式，結(jié)果正確的是()

A.(f+9乂f_9)B.(X2+9)2C.(X2+9)(.V+3)(X-3)D.(X2-9)2

【答案】C

【分析】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：原式=(1-9)(/一9)

=(X+3)(X-3)(X2+9)

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解計(jì)算，主要因式分解過程中應(yīng)分解徹底，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

5.在探索因式分解的公式時(shí)，可以借助幾何圖形來解釋某些公式.如圖，從左圖到右圖的變

化過程中，解釋的因式分解公式是（

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.a2+2ab+b2=（a+b）2D.(a-b)2=a2-2ab+b2

【答案】B

【分析】由面積相等列式可得答案.

【詳解】解：從左圖到右圖的變化過程中，由面積相等可得/-6=（4+勿（〃-切，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用兩個(gè)圖形的面積相等列式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

6.若4/-S-C『分解因式時(shí)有一個(gè)因式是2/+。-c,則另一個(gè)因式是（）

A.2a2-b+cB.2a2-b-cC.2a2+b-cD.2a2+b+c

【答案】A

【分析】直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可求解.

【詳解】解：4/一（〃一?！?（2+0）（2/+6—。

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練運(yùn)用平方差公式是解答此題的關(guān)

鍵.

7.已知。，〃滿足（3-%）（〃+〃）+9必=4〃-/,且。工的，則關(guān)于。與〃的數(shù)量關(guān)系，下列說法

中正確的是（）

?a2-a=9b2-3b;@（a-3b）'=a-3b；③。-3Z>=1；④a+m=1.

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】C

【分析】將等式整理即可得出①，根據(jù)因式分解及即可得到④.

【詳解】解：*/(3-96)(。+:)+9出?=4〃一層，

；?3〃+3b~9ab~9b1+9ab=4a-cr

a1-a=9b2-3b

a2-9b2=a-3b

故①正確，

/.(a+3Z?)(a-3b)=a-3b,

?:娟b,

。-3厚0,

，〃+3。=1.

故④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及因式分解，掌握因式分解是解題關(guān)鍵.

二、填空題：

8.因式分解：/-%=.

【答案】a(a+3)(a-3)

【分析】應(yīng)先提出公因式小再運(yùn)用平方差公式分解.

【詳解】原式=。("一9)

=a(.+3)(a—3),

故答案為：。(。+3)(々-3).

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式和公式法進(jìn)行因式分解的能力，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公

因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.

9.因式分解:工2(〃?-")+25("-"?)

【答案】(in-n)(x+5)(x-5)

【分析】變形后提取公因式，再用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：原式

=(m-n'iix2-25)

=[〃?—〃)(x+5)(x—5)

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，能熟練掌握提公因式法和公式法因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

10.若多項(xiàng)式4/+M能用平方差公式因式分解，則單項(xiàng)式M=.(寫出一個(gè)即可)

【答案】一4(答案不唯一)

【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)，符號相反.所以用是個(gè)平方項(xiàng)且其符號為“，，

只要符合這個(gè)特點(diǎn)即可.

【詳解】答案不唯一.如42,-4等.

【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解,是開放型題目，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，

注意M中字母不要用m如果用原多項(xiàng)式就可以合并同類項(xiàng)而變成單項(xiàng)式了.

11.若a+2Z?=3,a-2b=2,貝l]/-4//=.

【答案】6

【分析】利用平方差公式分解因式求解即可.

【詳解】解：徹("》)

22

Aa-4/?=2?：,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式在因式分解里的運(yùn)用，熟練運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵.

12.己知一個(gè)圓的半徑為Rem,若這個(gè)圓的半徑增加2cm,則它的面積增加

【答案】兀(4R+4)cm2

【分析】半徑為Rem的圓的面積是SE,若這個(gè)圓的半徑增加2cm,則其面積是S2=MR+2)

2,用增加后的圓的面積減去增加前圓的面積，利用平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】VS2-5I=K(R+2)2_兀收，

=7i(R+2-R)(R+2+R),

=41(R+1),

???它的面積增加4兀(R+l)cm2.

故答案為兀(4R+4)cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，比較簡單，關(guān)鍵是熟悉圓的面積公式.

13.若「十；尸4則代數(shù)式人4y2+1的值為______.

=-1

【答案】-3

【分析?】根據(jù)平方差公式因式分解，再整體代換即可求出答案.

【詳解】解：由題意，

原式=(x+2y)(x-2y)+l

=4x(-1)+1

=Y+1

=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

14,若尻=5,a+b=5f則2〃2-2燦=.

【答案】6

【分析】運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，由/-從=5,a+b-5,得(〃+/?)(?-/?)=5,a-b=l,那么

2〃=6,進(jìn)而解決此題.

【詳解】解：,??層出=5,

(a+b)(a-b)=5,

*.*a+b=5,

a-b-1,2a=6,

.?.2。2一2心2心一切=6x1=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解以及代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)用公式法進(jìn)行

因式分解以及代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：

15.分解因式:

(1)4?2-9/r；(2)ab2-a；(3)9992-I.(4)x2-y2-ax-ay.

【詳解】解：(1)原式=(%+3"勿-初)；

(2)ah2-a,

=a(Z?2-1),

=a(〃+l)(/?-1)；

(3)解：原式=(999+1)(999-1)

=1000x998

=998000.

11

(4)x-y-ax-ayf

=Cx+y)(x-y)-a(x+y),

=(x+y)(x-y-a).

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項(xiàng)武進(jìn)行因式

分解，一般來說如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解因式，分解

因式要徹底是解題關(guān)鍵.

16.若x+y是9的算術(shù)平方根，的立方根是-2,求f-y2的值.

【答案】-24

【分析】利用算術(shù)平方根與立方根的含義求解工+)和工一)，可得答案.

【詳解】解：???x+y是9的算術(shù)平方根，

.?.x+)=3,

???工-)，的立方根是一2,

，x一產(chǎn)-8,

/.?-/=(x+y)(x~y)=24,

故答案為：-24.

【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根與立方根的含義以及因式分解，掌握算術(shù)平方根與立方根的

含義以及平方差公式是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是Rem和en,求它們所圍成的環(huán)形的

面積.如果R=8.45,r=3.45呢？面取3.14)

【分析】圍成的環(huán)形的面積=大圓的面積一小圓的面積，圓的面積=乃產(chǎn)，可列出代數(shù)式，并代

入數(shù)據(jù)可求值.

【詳解】解：圍成的環(huán)形的面積為:兀R2—幾戶.

當(dāng)R=8.45,/=3.45時(shí)：

兀R'—兀r2=8.45?乃一3.45,乃=59.5乃,

?.?忱=3.14),

:?JTR，-兀r2=186.83.

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和代數(shù)式求值，根據(jù)圍成的環(huán)形的面積=大圓的面積一小圓的面積，

然后代數(shù)求值.

18.在(W-2x+a)(3x+3的運(yùn)算結(jié)果中，產(chǎn)的系數(shù)為與，工的系數(shù)為-7,求出力的值并對式子

4加+〃進(jìn)行因式分解.

【答案】a=-\,b=2,4（l+.r）（l-x）

【分析】先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再結(jié)合題意可得力-6=~4,3a-2b=T,解方程組求解〃力

的值，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：???卜2-2?〃）（3/+與

=3爐+bx2-6x2-2bx+3ax+ab

=3『+（。-6）x2+（-%+%）

.??b-6=T,3?-2Z?=-7

解得：a=-\,b=2

4ar2+b2+4=4（1+x）（l-x）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的因式分解，二元一次方程組的解法，理解

題意列出方程組求解，力的值是解本題的關(guān)鍵.

能力提升篇

一、單選題：

1.對于任意整數(shù)〃，多項(xiàng)式（〃+7）2?/都能夠被（）

A.2整除B.〃整除C.（什7）整除D.7整除

【答案】D

【分析】先利用平方差公式因式分解，即可求解.

【詳解】解：（〃+7）2一〃2

=（〃十7十〃）（〃十7一〃）

=7（2〃+7）,

???對于任意整數(shù)〃，多項(xiàng)式（〃+7）2■層都能夠被7整除.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

2.小明在抄因式分解的題目時(shí)，不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，

并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作業(yè)本上的式子是/）-4/，則這個(gè)指數(shù)的可能結(jié)果

共有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

【答案】D

【分析】能利用平方差公式分解因式，說明漏掉的是平方項(xiàng)的指數(shù)，只能是偶數(shù)，又只知道該

數(shù)為不大于10的正整數(shù)，則該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù).

【詳解】解：??,當(dāng)這個(gè)指數(shù)是偶次方時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式能利用平方差公式因式分解，

又因?yàn)樵撝笖?shù)為不大于10的正整數(shù)，

???該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考杳了因式分解-運(yùn)用公式法.能熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)，是解答這道題的

關(guān)鍵，還要知道不大于就是小于或等于.

3.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)如4=

22-。2,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘?cái)?shù)”,則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”

()

A.56B.60C.62D.88

【答案】D

【分析】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2〃八2m+2(I為自然數(shù)),則“神秘?cái)?shù)”=(2〃什2)Z(2加)2=

(2〃z+2+2m)(2/w+2-2/?)=4(2m+l),因?yàn)閙是自然數(shù),要判斷一個(gè)數(shù)是否是“神秘?cái)?shù)”,只需

根據(jù)該數(shù)=4(2加+1)列方程求解即可，若解出機(jī)是自然數(shù)就符合，否則不符合.

【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2〃?、2m+2(加為自然數(shù))，

?\“神秘?cái)?shù)”=(2m+2)2-(Im)2=(2m+2+2r?i)(2m+2-2m)=4(2m+l),

A、若4(2"?+1)=56,解得〃尸趣，錯(cuò)誤；

B、若4(2"?+1)=60,解得tn-1,正確;

29

C若4(2m+l)=62,解得〃尸,，錯(cuò)誤;

4

71

D、若4(2/〃+1)=88,解得"2二5，錯(cuò)誤；

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握平方差公式以及對題中新定義的

理解是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：

4.若(202P-4)(20202-4)=2023x2019x2018m,則加=—.

【答案】2022

【分析】將等式左邊利用平方差公式進(jìn)行分解因式，再利用等式性質(zhì)即可求值.

【詳解】解：(20212-4)(2O2O2-4)=2023x2019x2018///,

(2021+2)(2021-2)(2()20+2)(2020-2)=2023x2019x2018/7?,

2023x2019x2022x2018=2023x2019x2018/?/,

〃?=2022,

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的因式分解.，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

5.請閱讀以下因式分解的過程：

a2+6a+S

-cr+6〃+9-1

=(<7+3)2-12

=[{ai3)i1][(?i3)1]

=(a+4)(a+2).

這種因式分解的方法叫做配方法.

請用配方法分解因式：f+2x-3=.

【答案】(x+3)(X-1)

【分析】根據(jù)題干中配方法，構(gòu)造平方差公式進(jìn)行因式分解.

【詳解】解：r+2x-3

=x2+2x+l-4

=(X+1)2-22

=[(x+1)+2][(x+1)-2]

=M3)(x-1).

故答案為：(x+3)(x-1).

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，有一張邊長為x的正方形A8CO紙板，在它的一個(gè)角上切去一個(gè)邊長為)，的正方形

AEFG,剩下圖形的面積是32,過點(diǎn)/作尸〃_LOC,垂足為".將長方形GF//D切下，與長方

形E8CH重新拼成一個(gè)長方形，若拼成的長方形的較長的一邊長為8,則正方形ABC。的面積

是一.

【答案】36.

【分析】根據(jù)題意列出f—)/=32,升尸8,求出x?y=4,解方程組得到X的值即可得到答案.

【詳解】由題意得：/一產(chǎn)=32?+,，=8

:x2-y2=（x+y）（^->,）,

：.x-y=4t

x—v=4x=6

，得

{“8）=2

???正方形ABCD面積為V=36,

故填：36.

【點(diǎn)睛】此題考查平方差公式的運(yùn)用，根據(jù)題意求得六)=4是解題的關(guān)鍵，由此解方程組即可.

三、解答題：

7.如圖，邊長為。的大正方形中有一個(gè)邊長為〃的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成

的一個(gè)長方形.

圖1圖2

(1)請問用這兩個(gè)圖可以驗(yàn)證公式法因式分解中的哪個(gè)公式？試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算:

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2,6+1）（232+1）+1.

(2)若圖(1)中的陰影部分的面積是12,a-b=3f求〃，的值.

【答案】(1)a2-b2=(a+b)(a-b),264.(2)150

【分析】(1)根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等，即可寫出公式,功2=(a+h)從左到右依次利

用平方差公式即可求解；

(2)根據(jù)a2-h2=(a+b)(a?b)=12,把a(bǔ)-b的值代入即可求得a+b的值,進(jìn)而求出a,〃的值，

代入求值即可.

【詳解】解：(1)圖1中陰影部分的面積是序，圖2中陰影部分的面積是(a+b)(〃北)，

/.a2-b2=(a+b)(a-b),

.?.(2+1)(22+1)(24+1)(2S+1)(2,6+1)(232+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+l)(28+l)(201)(232+l)+1

2,6

=(22-1)(2+l)(2/1)(28+1)(2+l)(232+1)+1

=(24-l)Si