2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)摸底考（人教版）

（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿(mǎn)分：100分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)C回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上C寫(xiě)在本試卷上無(wú)效C

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：八年級(jí)下冊(cè)全部

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.RB.V24C.V13D.V02

【答案】C

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：A./=當(dāng)，所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.V24=2V6,所以舊不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.VT5是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；

D.所以娘不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；

（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

2.眾多選手在參加“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)第四季”的比賽過(guò)程中，有7個(gè)選手的得分如下：126,110,132,91,

92,86,91,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

A.91,92B.92,86C.92,91D.91,104

【答案】C

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可

【詳解】這組數(shù)據(jù)按順序排列為：86,91,91,92,110,126,132,

故眾數(shù)為：91,

中位數(shù)為：92.

故選C

【點(diǎn)睛】此題考查眾數(shù)、中位數(shù)，難度不大

3.點(diǎn)M在一次函數(shù)y=-2x+l的圖象上，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)可能是()

A.(2,-3)B.(1,3)C.(-2,3)D.(-1,-3)

【答案】A

【分析】此題考查的是?次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即?次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)?定適合此?次函數(shù)

的解析式.將四個(gè)點(diǎn)分別代入函數(shù)的解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】解：A、把(2,—3)代入得，-2x2+1=—3,故本選項(xiàng)符合題意；

B、把(1,3)代入得，-2xl+l=-lH3,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、把(一2,3)代入得，-2x(-2)+l=5H3,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、把(一1,—3)代入得，-2x(—l)+l=3H—3,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

4.如圖，平行四邊形中，若N8二244則/。的度數(shù)為()

【答案】D

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】解：???四功形力BCD縣平彳??四功形，

：.AD//BC,Z-A=ZC,

：.￡A+z.B=180°,

又(B=2乙4,

：,LC==占x180°=60°.

故選：D.

5.下列計(jì)算正確的是()

A.V7-V2=V5B.V18-V3=V6

C.V4XV6=4V6D.J(—15)2=±15

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的減法、乘法、除法以及二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】A.6與6不能合并，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.V18-V3=V6.正確；

C."x布=2后，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤：

D.7（-15）2=15,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的減法、乘法、除法以及二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵.

【答案】D

【分析】此題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)的定義.根據(jù)函數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)定義，在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量小對(duì)于x的每一個(gè)取值，?都有唯一

確定的值與之對(duì)應(yīng)，則），是.丫的函數(shù).而選項(xiàng)D中的y的值不具有唯一性，所以不是函數(shù)圖象.

故選：D.

7.如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)為（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【答案】B

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=l（）cm,AC1BD,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)求解.

【詳解】???四邊形ABCD為菱形周長(zhǎng)=40cm,

/.BC=10cm,AC1BD,

?；E為BC的中點(diǎn)，

.*.OE=1BC=5cm.

故選B.

【點(diǎn)睛】考查了菱形的性質(zhì)：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.熟練掌握菱形的性質(zhì)（菱形具有

平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分

10.如圖，在矩形力4C。中，8C=8,CD=6,將△力B七沿8E折疊，使點(diǎn)力恰好落在對(duì)角線(xiàn)8。上尸處,

則E廣的長(zhǎng)是（）

A.3B.gC.5D.整

3io

【答案】A

【分析】根據(jù)矩形44。。,得到/8。=90。，根據(jù)勾股定理，得到8g/招不訴-10,根據(jù)折疊的性

質(zhì)，得至BA=BF=CD=6,則。尸=4,SAE=EF=x,則EQ=8-x,在直角三角形￡7小中，根據(jù)

勾股定理，得到42+-=（8—盼2,求得正即可.

【詳解】因?yàn)榫匦?4C。，

所以NBCP=NZ=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,

所以BDNBC?+CD?=1（）,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得至BA=BF=CD=6,NBFE=NA=90。,

所以。戶(hù)=4,

gAE=EF=x,則EQ=8-x,

在直角三角形石。尸中，根據(jù)勾股定理，得到42+/=（8-％）2,

解得尸3,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.若二次根式77二1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為.

【答案】x>3

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵.先根據(jù)二次根式有意

義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【詳解】解：???二次根式瘍石在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

??x—3N0,

解得才工3.

故答案為：丫之3.

12.已知心B,C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示.若。地位于4。兩地的中點(diǎn)處，則8,。兩

地之間的距離是km.

【答案】y/61/6.5

【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，首先根據(jù)勾股定理逆定理證明出NABC=90。，然后利用

直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：AB=12km,BC=5km,AC-13km

：.AB2+BC2=122+52=169,AC2=132=169

：,AB2+BC2=AC2

???D地位于人C兩地的中點(diǎn)史

；?BD-^AC=-y（km）.

故答案為：y.

13.某中學(xué)科技節(jié)的作品得分包括三部分，專(zhuān)家評(píng)委給出的專(zhuān)業(yè)得分，宣傳展示得分以及通過(guò)同學(xué)們投票

得到的支持得分.按專(zhuān)業(yè)得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%,計(jì)算該作品的綜合成績(jī).已

知某個(gè)作品各項(xiàng)得分如下表所示（各項(xiàng)得分均按百分制計(jì)）：則該作品的最后得分為.

專(zhuān)業(yè)得展示得支持得

項(xiàng)目

分分分

成績(jī)（分）969896

【答案】96.8分

【分析】此題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列

式計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

96x50%+98x40%+96x10%=96.8（分），

???該作品的最后得分是96.8分.

故答案為：96.8分.

14.如圖，函數(shù)y=kx+b（k手0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0）（m>l）,與函數(shù)y=2x的圖象交于點(diǎn)力，則不

等式—十b$2用的解集為

【答案】x>1

【分析】先確定直線(xiàn)的解析式，再解不等式組求解集即可.

本題考杳了待定系數(shù)法，解不等式組，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活解不等式組是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在y=2x中，令y=2時(shí)，貝解T=2,

.*.%=1,

，力(1,2),

由圖可得：不等式入+bW2x的解集為xN1.

故答案為：x>l.

15.在△4BC中，AB=AC.^BAC=90°,D為BC中點(diǎn)、,BE=3,DEA.DF,CF=所,則EF=

【答案】4

【分析】連接力。，分別證明ABDE三△4D/,△CD/*Z\4DE,得到BE=45=C凡再利用勾股定

理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：在△力BC中，AB=AC.Z.BAC=90°,

???48=乙。=45。，

連接AD，

???￡）為BC中點(diǎn),

：.AD=BD=CD,/.ADB=/.ADC=^.BAC=90°,

J./.DAF=LB=/.DAB=45°,

：.LEDF=90°,

"BDE=Z.ADF=90。一44DE,

:.△BDE=△/IDF(ASA).

：.AF=BE=3,

同法可證：△CD尸三△ADE,

*.AE=CF=V7,

在RtZXEAF中，EF=y/AE2+AF2=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵是添加輔助

線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形.

16.如圖，已知點(diǎn)P(—1,0),直線(xiàn)y=X+3與3軸，y軸分別交于點(diǎn)48,點(diǎn)M,N分別是直線(xiàn)48,y軸上的動(dòng)點(diǎn),

則MN+NP的最小值是.

【答案】2V2

【分析】可得點(diǎn)P(—1,0)關(guān)十y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0),過(guò)點(diǎn)Q作QM_LABnM,交y軸十點(diǎn)N,根

據(jù)軸對(duì)稱(chēng)以及垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)可得此時(shí)MN+NP=MN+NQ的值最小，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

即可求解.

【詳解】作點(diǎn)P(—l,0)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q,則點(diǎn)0坐標(biāo)為(1,0),過(guò)點(diǎn)Q作QM148于M,交y軸于點(diǎn)

N,

:,NP=NQ,

此時(shí)MN+NP=MN+NQ=MQ的值最小,

??,直線(xiàn)y=%+3以軸,y軸分別交于點(diǎn)4B,

???A(—3,0),8(0,3),

：.￡.OAB=Z.OBA=45°,

???△4MQ是等腰直角三角形，

222

：.AM+MQ=AQf即2MQ2=42,

???MQ=2四或MQ=-2V2(舍去)，

???MN+NP的最小值為：2V2.

故答案為：2V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了?次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.等腰直角二角形的性質(zhì).軸對(duì)稱(chēng)求最小值，根據(jù)題

意找出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.計(jì)算：

(1)V^27+V9-V(-1)2：

(2)-V16+|V3-2|-(l-V3).

【答案】⑴-1

⑵一3

【分析】本題考查的是算術(shù)平方根，立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值.

(1)分別計(jì)算算術(shù)平方根，立方根，再合并即可；

(2)分別計(jì)算算術(shù)平方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再合并即可.

【詳解】(1)解：原式=(-3)+3-1

=-1；

(2)解：=-4+(2-V3)-(l-V3)

=-4+2-6一1+6

=-3.

18.如圖，已知△48C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(1,1)、8(4,2)、C(3,4)?

⑴直接寫(xiě)出△ABC的面積為」并畫(huà)出△ABC關(guān)Fy軸的對(duì)稱(chēng)圖形△必8，1；

(2)畫(huà)出△力8c沿y軸向下平移3個(gè)單位得到

(3)在y軸上求作一點(diǎn)P,使△/MC的周長(zhǎng)最小，并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）3.5：圖見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

（3）見(jiàn)解析，尸（0,?.

【分析】本題考查了坐標(biāo)系中的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)的平移，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和最小.

（1）利用割補(bǔ)法可求得△4BC的面積；根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，確定對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，順次連接三個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

即得對(duì)稱(chēng)圖形；

（2）根據(jù)平移的特點(diǎn)，確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，依次連接三個(gè)點(diǎn)即得到平移后的三角形；

（3）連接AC1，與y軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P,此時(shí)△「人（：的周長(zhǎng)最小，再利用待定系數(shù)法即可求得點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【詳解】（1）解：△力3。的面積為=3乂3-4乂3乂1-4><3乂2—：乂1'2=3.5,

△AiBiCi，如圖不；

4

二5

故答案為:3.5：

（2）解：如圖不；

（3）解：連接4%，交y軸于點(diǎn)P,此時(shí)4c的周長(zhǎng)最小，如圖；

設(shè)直線(xiàn)4cl的解析式為y=kx+b,

??N（1,1）,Ci（-3,4）,

3

???{.與掂￡，解得;二"

4

???直線(xiàn)HC1的解析式為y=—%+3，

令％=0，則y=『

19.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要部分，為了了解九年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，某校對(duì)全體九年級(jí)同學(xué)

進(jìn)行了數(shù)學(xué)運(yùn)算水平測(cè)試，并隨機(jī)抽取50名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行整理和分析（成績(jī)共分成六組：

J.110<%<120,5.100<^<110,C.90<%<100,0.80<x<90,￡.70<x<80,/.60<x<70）

等

ABCDEF

級(jí)

分110<%100<x90<x<10(80<x<9(70<x<8(60<%<7(

數(shù)<120<110

人9a1185b

數(shù)

4

2

1

0

9

8

6

5

4

2

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)(1=,b=,771=.

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求E組對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)若該校約有1()00名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該次數(shù)學(xué)水平測(cè)試成績(jī)超過(guò)1()0分的學(xué)生有多少人.

【答案】(1)15,2,18

(2)36。，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖見(jiàn)解析

(3)估計(jì)該次數(shù)學(xué)水平測(cè)試成績(jī)超過(guò)100分的學(xué)生有480人.

【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，能從統(tǒng)計(jì)圖中獲取有用信息，熟

悉樣本估計(jì)總體的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)8組的占比可求得a的值，利用總數(shù)減至其余各組的人數(shù)可求得b的值，利用4組所占百分比,

即可求解；

(2)求出E組所占百分比，再乘以360度即可得到扇形統(tǒng)計(jì)圖中￡組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；根據(jù)

(1)的結(jié)果，再補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)利用樣本估計(jì)總體即可求解.

【詳解】(1)解：a=50x30%=15,

b=50-9-15-11-8-5=2,

/I組的占比為9+50=18%,

因此m-18.

故答案為：15,2,18：

(2)解：360°x^=36°,

則E組對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為36。.

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

4

2

1

0

9

8

6

5

4

2

(3)解：(9+15)+50=48%,1000X18%=480(人)，

因此，估計(jì)該次數(shù)學(xué)水平測(cè)試成績(jī)超過(guò)100分的學(xué)生有48()人.

20.如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,AB//DC,對(duì)角線(xiàn)AC,交于點(diǎn)0,若四邊形DOCE是矩形，OE交

CD于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形48CZ)是菱形；

(2)若OE=4,乙BCD=60°,求菱形ABCD的面積.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解答

(2)873

【分析】(1)先判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直可得力C1BD,然后

根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；

(2)根據(jù)菱形性質(zhì)求出NB4D=60。,判斷出△ABD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出。4、

OB,再根據(jù)菱形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

,

【詳解】(1)證明：：DA//BC,AB//CDt

???四邊形A8CD是平行四邊形，

???四邊形DOCE是矩形，

.?"OC=90°,

.\AC1BD,

???四邊形/BCD是菱形；

(2)解：???四邊形DOCE是矩形，

??.0E=CD=4,

:四邊形力8c。是菱形，/.BCD=60°,

：.AB=CD=4,/.BAD=60°,

vAB=AD,

:.△AB。是等邊三角形，

???OF=1x4=2,

:.OA=7AB2-OB?-2V3，

:.AC=4y/3,BD=4,

???四邊形ABC。的面積=?8D=gx4仃x4=84.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，直角三角形

的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形，菱形與平行四邊形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.為加強(qiáng)體育課教學(xué)質(zhì)量保障，南寧市某學(xué)校決定購(gòu)買(mǎi)一批籃球和足球.已知籃球的單價(jià)比足球的單價(jià)

費(fèi)20元，用3000元購(gòu)買(mǎi)籃球的數(shù)量與用2400元購(gòu)買(mǎi)足球的數(shù)量相等.

(1)求籃球和足球的單價(jià)分別是多少元；

(2)某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)籃球和足球共90個(gè)，購(gòu)買(mǎi)足球的數(shù)量不多于籃球的2倍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)籃球和足球的總

費(fèi)用為w元，購(gòu)買(mǎi)籃球77i(m<90)個(gè)，求w與加的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用.

【答案】(1)籃球的單價(jià)是10。元，足球的單價(jià)是80元

(2)w與m的函數(shù)關(guān)系式的關(guān)系式為w=20m+7200,最少購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為7200元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確

列出分式方程；(2)找出數(shù)量關(guān)系，正確列出函數(shù)解析式：

(1)設(shè)籃球的單價(jià)是x元，則足球的單價(jià)是—20)元，根據(jù)用3000元購(gòu)買(mǎi)籃球的數(shù)品與用2400元

購(gòu)買(mǎi)足球的數(shù)量相等，列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)學(xué)?？少?gòu)買(mǎi)“個(gè)籃球，則可購(gòu)買(mǎi)(90—m)個(gè)足球，根據(jù)總費(fèi)用=購(gòu)買(mǎi)籃球的費(fèi)用+購(gòu)買(mǎi)足球的費(fèi)

用列出函數(shù)解析式，再根據(jù)用的取值范圍和函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值.

【評(píng)解】(1)解：設(shè)籃球的單價(jià)是x元，則足球的單價(jià)是。20)元，由題意得；

3000_2400

X-X-20,

解得：％=100,

經(jīng)檢驗(yàn)，工=100是原方程的解，且符合題意，

Ax-20=80,

答：籃球的單價(jià)是100元，足球的單價(jià)是80元；

(2)解：設(shè)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)加個(gè)籃球，則可購(gòu)買(mǎi)(90—m)個(gè)足球，則

w=100m+80(90-m)=20m+7200,

V90—m<2m,且m<90,

.*.30<m<90,

V20>0,

.?.當(dāng)m=30時(shí)，w最小，最小值為7200,

???】v與m的函數(shù)關(guān)系式的關(guān)系式為w=20m+7200,最少購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為7200元.

22.綜合與實(shí)踐

(I)【知識(shí)感知】如圖1,我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過(guò)的：①平行四邊

形②矩形③菱形④正方形中，能稱(chēng)為垂美四邊形是(只填序號(hào))；

(2)【概念理解】如圖2,在四邊形48。。中，AB=AD,C8=CO,問(wèn)四邊形/BCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)【性質(zhì)探究】如圖1,垂美四邊形力反刀的兩對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。試探究AB,CD,BC,AD之間有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想」

(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3,分別以RtZiABC的直角邊4c和斜邊48為邊向外作正方形4CFG和正方形

ABDE,連接C￡,8G,GE已知AC=4,AB=5,則G￡?長(zhǎng)為

【答案】(1)③④

(2)四邊形/BCD是垂美四邊形，理由見(jiàn)解析

(3)4。2+Bf2=AB2+CD2

(4)V73

【分析】(1)根據(jù)各幾何圖形的性質(zhì)即可求解；

(2)連接AC,8D,由題意得點(diǎn)力在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)。在線(xiàn)段8。的垂直平分線(xiàn)上，據(jù)此即

可求解；

(3)根據(jù)AO?=AO2+DO2,BC2=BO2+CO2,AB2=AO2+BO2,CD2=CO2+。。2即可求解；

(4)連接BE、CG,設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M,證△△GAB得N/1BG=々4EC,可得CE1BG,結(jié)合

(3)的結(jié)論即可求解.

【詳解】(1)解：???菱形和正方形的對(duì)角線(xiàn)均互相垂直，

???菱形和正方形是垂美四邊形

故答案為：③④

（2）解：四邊形RBC。是垂美四邊形，理由如下:

連接力C,BD,如圖所示：

\*AB=AD,CB=CD

???點(diǎn)力在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，

???直線(xiàn)AC是線(xiàn)段8。的垂直平分線(xiàn)，

：.ACLBD

即：四邊形4BCD是垂美四邊形；

（3）解：'：AD2=AO2+DO2,BC2=BO2+CO2,AB2=AO2+BO2,CD2=CO2+D02

：.AD2+BC2=AO2+B02+。。2+0。2=AB2+CD2

故答案為：AD2+BC2=AB2^-CD2-

（4）解：如圖3,連接BE、CG,設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M,

由題意得：AB=AE,AG=AC,Z-BAE=/-GAC=90°

：,z.BAE+乙CAB=Z.GAC+LCAB

BP：Z.CAE=Z.GAB

△CAE=△GAB

：.^ABG=乙AEC

\'ZLAEC+AAME=90°,ZLAME=Z.C.MR,

：.Z.ABG+Z.CMB=90°

：.CELBG

由（3）可得：GE2+BC2=CG2+BE2

*：AC=AG=4,AB=AE=5

：.BC=7AB2-4C2=3,CG=>JAC2+AG^=4五,BE=7AB2+BE2=572

：.GE2+9=32+50

.".Gfc=V73

故答案為：V73.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論艮」可.

23.綜合與實(shí)踐：

問(wèn)題背景：在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以?xún)蓚€(gè)全等的三角形紙片為操作對(duì)象，進(jìn)行相關(guān)問(wèn)

題的研究，下面是創(chuàng)新小組在操作紙片過(guò)程中研究的問(wèn)題，請(qǐng)你解決這些問(wèn)題，如圖1，XABC叁

△0E產(chǎn)，其中44cB=90。，LABC=60°,BC=2,AB=2BC.

操作與發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖2,創(chuàng)新小組將兩張三角形紙片按如圖所示的方式放置后，經(jīng)過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)四邊形是矩形，

請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

操作與探究：

（2）創(chuàng)新小組在圖2的基礎(chǔ)上，將＞紙片沿方向平移至如圖3的位置，其中點(diǎn)E與的中點(diǎn)重

合，連接CE,BF,經(jīng)過(guò)探究后發(fā)現(xiàn)四邊形BCET是菱形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

（3）創(chuàng)新小組在圖3的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了探究，將紙片繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE與BC平行的位置,

如圖4所示，連接力尸，BF,創(chuàng)新小組經(jīng)過(guò)觀(guān)與推理后發(fā)現(xiàn)四邊形ACBF是矩形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

提出問(wèn)題：

（4）請(qǐng)你參照以上操作，在圖2的基礎(chǔ)上，通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出的圖形，在圖5中畫(huà)出這個(gè)圖

形，標(biāo)明字母，說(shuō)明構(gòu)圖方法，寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析：（4）見(jiàn)解析

【分析】本題主要考杳了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的知識(shí)、矩形的知識(shí)，解（1）的關(guān)鍵是判斷

四邊形4cB口是平行四邊形：解（2）的關(guān)鍵是判斷出BE=CE：解（3）的關(guān)鍵是判斷出△4EF是等邊

三角形；（4）畫(huà)出圖形是解答關(guān)鍵.

（1）利用平行四邊形的判斷方法先判斷出四邊形力CBF是平行四邊形，即可得出結(jié)論：

（2）先求出NBAC=30。，再判斷出四邊形8CE尸是平行四邊形，進(jìn)而判斷出8C=CE,即可得出結(jié)論；

（3）先求出乙718c=60。，進(jìn)而判斷出△加尸是等邊三角形，即可判斷出四邊形AC8F是平行四邊形,

即可得出結(jié)論：

（4）把△DEF平移Dr的長(zhǎng)度可得到四邊形4CDB為平行四邊形.

【詳解】（I）證明：???△A8C三△OEF,

:.AC=DF=BF,BC=EF=AF,

在四邊形AC=BF,BC=AF.

：?四邊形ACBF是平行四邊形，

?:乙ACB=90°,

???平行四邊形/CBF是矩形；

(2)證明：在RtAABC中，/-ABC=60°,

：.心=30°,

???△ABC=△OEF與平移可知，BC=EF,BC||EF,

???四邊形BCEF是平行四邊形，

-Z-ACB=90°,LA=30°,

BC=\AB,

.??點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)重合，乙4c8=90。，

：.CE=\AB,

：.BC=CE=；AB,

在平行四邊形BCE/中，BC=CE,

???平行四邊形BCE尸是菱形；

(3)證明：在Rt△力8c中，LABC=60°,

-,-^ABC=AD