重難點11空間角與探索性問題（2種考法）【目錄】考法1：空間角問題考法2：探索性問題二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略1.求異面直線所成的角的三步曲2.求直線和平面所成角的關(guān)鍵作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當(dāng)垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。3.找二面角的平面角的常用方法（1）由定義做出二面角的平面角（2）用三垂線定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角4.用坐標(biāo)法求異面直線所成角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)；(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角．5.利用向量法求兩平面夾角的步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；(3)求兩個法向量的夾角；(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)6.探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目。一般可采用兩種方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算?！缄P(guān)鍵技巧〗空間向量適合解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、結(jié)論、推理，只需要通過坐標(biāo)運算進行判斷。解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，能更簡單、有效地解決問題，應(yīng)善于運用這一方法解題。三、題型方法考法1三、題型方法一．解答題（共15小題）1．（2023?蓬萊區(qū)三模）如圖，矩形BCDE所在平面與△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2．（1）證明：DE⊥平面ACD；（2）若平面ADE與平面ABC的夾角的余弦值是，且直線AE與平面BCDE所成角的正弦值是，求異面直線DE與AB所成角的余弦值．2．（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖：在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAV＝90°，點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2．（1）求證：MN∥平面BDE；（2）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．3．（2023?鹽湖區(qū)校級二模）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，．（1）證明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的余弦值．4．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA．（1）證明：EF∥平面ABP；（2）求直線PC與平面ADF所成角的正弦值．5．（2023?全國模擬）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．AC＝AB＝4，BC＝2．（1）證明：BC⊥AD；（2）E為AD上靠近A的四等分點，若三棱錐ABCD的外接球表面積為20π，求二面角E﹣CO﹣B的余弦值．6．（2023?泉州模擬）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，CA1＝4，CB1＝2，∠BAA1＝60°．（1）證明：CA＝CB；（2）若CA＝4，求二面角A1﹣CB1﹣C1的余弦值．7．（2023?哈爾濱一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC．（1）求點A到平面PBC的距離；（2）E為線段PC上一點，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．8．（2023?天津一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ＝3，點E、F分別為線段PB、CQ的中點．（1）求證：EF∥平面PADQ；（2）求平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；（3）線段PC上是否存在點M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．9．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，正三棱錐P﹣ABC中，PA＝AC＝6，E，F(xiàn)為棱PC的三等分點．（1）求異面直線AE，BF夾角的余弦值；（2）求三棱錐A﹣BEF的體積．10．（2023?江蘇模擬）如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，平面A1B1BA⊥平面ABC，二面角B1﹣BC﹣A的大小為45°，AB＝2，BC＝A1B1＝AA1＝1．（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求異而直線BA1與CB1所成角的余弦值．11．（2023?南通模擬）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AB1＝AA1＝AC＝2，∠BAC＝120°，線段A1B1的中點為M，且BC⊥AM．（1）求AA1與BC所成角的余弦值；（2）若線段B1C1的中點為P，求二面角P﹣AB1﹣A1的余弦值．12．（2023?日照三模）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，側(cè)面ABB1A1是正方形，且平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求證：AB⊥BC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為為線段A1C的中點，求平面ABE與平面BCE所成銳二面角的大?。?3．（2023?四川模擬）已知棱錐P﹣ABCDE的底面五邊形中，ABCD為邊長為2的正方形，△ADE為等腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．（1）在線段PB上找一點G，使得平面GAC∥平面PDE，并說明理由；（2）在（1）的條件下，二面角B﹣DE﹣P為120°，求CG與平面PAC所成角的正弦值．14．（2023?山西模擬）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中．平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，AS＝DS，點E，F(xiàn)分別為AS，CD的中點．（1）證明：BE∥平面SCD；（2）若AB＝1，，求二面角C﹣AS﹣F的余弦值．15．（2023?乙卷）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，AD＝DO，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，點F在AC上，BF⊥AO．（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．考法2：探索性問題一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點P，使得？若存在請確定點的位置；若不存在，請說明理由.2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在三棱錐P-ABC中，若已知，，點P在底面ABC的射影為點H，則(1)證明：(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點M，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.3．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┰谔菪沃?，，，為的中點，將沿折起至的位置，且.

(1)求證：平面平面；(2)判斷在線段上是否存在點，使得直線與平面成角的正弦值為.若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.4．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在底面ABCD為梯形的多面體中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四邊形BDEN為矩形．

(1)求證：BD⊥AE；(2)線段EN上是否存在點Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點Q的位置并加以證明．7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動點，且．

(1)證明:平面．(2)是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．8．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，四棱臺中，上?下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，分別為的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.

(1)求證：∥平面；(2)求點到平面的距離；(3)邊上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由9．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知底面是正方形，平面，，，點、分別為線段、的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．10．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點為的中點，點為的中點，動點在平面內(nèi)．(1)若為中點，求證：；(2)若平面，求線段長度的最小值．11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點，點在邊上且.(1)若為的中點，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.12．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）如圖，圓柱的軸截面是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦交于點，其中．(1)證明：平面平面;(2)判斷上底面圓周上是否存在點，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長;若不存在，請說明理由