2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)因式分解

一.選擇題（共8小題）

1.下列由左邊到右邊的變形，不屬于因式分解的是（）

A.3a+3b=3(a+b)B.a2-a+\=a(a-I)+1

C.J+4〃+4=(a+2)2D.a2-9=(〃+3)(〃-3)

2.一次課堂練習(xí)，一位同學(xué)做了4道因式分解題，你認(rèn)為這位同學(xué)做得不夠完整的題是（）

A.x2-2xy+y^=(x-y)2B.jry-xy^=xy(x-y)

C.x2-y2=(x+y)(x-y)D.x3-x=(.r2-1)

3.對于任何整數(shù)〃（〃W0）,多項(xiàng)式（5/2+7）2-9都能（）

A.被9整除B.被〃整除C.被〃+1整除D.被〃+2整除

4.在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便.原理

是：如對于多項(xiàng)式/-）,4,因式分解的結(jié)果是a-）,）G+y）（』+『），若取尸9,），=9,則各

個(gè)因式的值是：x-y=0,x+y=18,；+〉2=162,于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼.對

于多項(xiàng)式9一沖2,取尸52,）=28,用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）

A.528024B.522824C.248052D.522480

5.下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式因式分解的是（）

A..1-9B.?+16C.Alr+ID.4?-4x+l

6.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.^+2x+\=x（x+2）+1B.a（2a-4b）=2?2-4ab

C.x（x+2y）=x2+Zv>,D.x2-9=（x+3）（x-3）

7.已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式f+x+a能分解因式成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，其中一個(gè)一次多項(xiàng)式是2,

則另一個(gè)一次多項(xiàng)式是（）

A.x-1B.x+1C.x-3D.x+3

8.對任意整數(shù)〃,(2n+l)2-25都能()

A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被6整除

填空題（共11小題）

9.已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且“5=此c3=d2,a-c=65,則。?d=

10.如圖①，是一個(gè)棱長為。的正方體中挖去一個(gè)棱長為力的小正方體（〃>方）

（1）如圖①所示的幾何體的體積是.

（2）用另一種方法表示圖①的體積：把.圖①分成如圖②所示的三塊長方體，將這三塊長方體的體

積相加后得到的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.比較這兩種方法，可以得出一個(gè)代數(shù)恒等

式_______________________

_ak

圖②

U.已知“、從c、d、e、/都為正數(shù)，也至=士&等=士竺㈣=士器=2,9=4,

a2b4c8de

皿：'=8,貝ijcr+tr+cr+cP+fT+f=.

12.觀察下列各式：

13+23=1+8=%而(i+2)2=%

13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,

Al3+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,

/.13+23+33+43=(1+2+3+4)2：

/.13+23+33+43+53=()2=.

根據(jù)以上規(guī)律填空：

(I)l3+23+33+-+n3=()2=[]2.

(2)猜想：113+123+133+143+153=.

13.若正整數(shù)機(jī)滿足個(gè)位數(shù)字是1,其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1,且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱

正整數(shù)機(jī)為“言行合一數(shù)”，交換“言行合一數(shù)”〃?的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)小并記P(m)=

穿一號+15,那么最小的四位“言行合一數(shù)”為；若四位正整數(shù)k=

1000x+100y+)0j+)(2WxW9,0WyW9,且內(nèi)，ay均為整數(shù))與P(k)均為“言行合一數(shù)”，

那么所有滿足條件的四位“言行合一數(shù)"七的和為.

,,_1999x1999_1999_2000x2000-2000_2001x2001-2001同

14.口知：a=-1998x1998+1998'b二-1999x1999+1999'C="2000x2000+2000*川abC

15.己知^^+2018,/?=2^9+2019,c=^^+2020,貝lj代數(shù)式2(d+廬+。2一時(shí)一9一訛)

的值是.

16.設(shè)正數(shù)a,b,c滿足24a+。=abc,則a+b+c的最小俏為.

17.已知a、/?、c為三角形的三邊，且貝IJ42+.+。2=出汁兒.+〃。，則三角形的形狀是.

18.若正整數(shù)〃?滿足個(gè)位數(shù)字是1,其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1,H.百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱

正整數(shù)〃？為“群風(fēng)和鳴數(shù)”，交換“群風(fēng)和鳴數(shù)”m的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)人并記P

(機(jī))=等-爺苧+15那么最小的四位“群鳳和鳴數(shù)”為；若四位正整數(shù)k=

1000x+100.v+10y+l(2Wx<9,0W)W9,且yW1,x、y均為整數(shù))與尸(火)均為“群鳳和鳴數(shù)”，

那么所有滿足條件的四位“群鳳和鳴數(shù)"k的和為.

05+匕5+。5

19.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足n+b+c=O,a2+b2+c2=\,則--------=.

abc

三.解答題(共11小題)

20.教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式J+2曲+廬及2而田叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字

母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全

平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決

問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)

的問題或求代數(shù)式最大值,最小值等.

例如：分解因式/+2x-3.

原式=(AZv+l)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+l-2)=(x+3)(x-1)；

例如：求代數(shù)式，+4x+6的最小值.

原式=f+4x+4+2=(x+2)2+2.

(x+2)220,

:.當(dāng)X--2時(shí)，X2+4.V+6有最小值是2.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：-4m-5；

(2)求代數(shù)式』-6.vM2的最小值；

(3)當(dāng)小b,c分別為△4BC的三邊時(shí),且滿足。2+廬/?6。?10b?6c443=0時(shí),判斷△)BC

的形狀并說明理由.

21.已知多項(xiàng)式A-2什5,B-2L5,，為任意有理數(shù).

(1)問A?B+30的值能否等于4,說明理由；

(2)當(dāng)/是整數(shù)時(shí)，判斷的值能否被8整除.

22.先閱讀下列材料，再解決,可題.

材料：因?yàn)椋?x-2)(x+3)=f+x-6.

所以，(/+x-6)-r(x-2)=x+3.

即f+x?6能被x?2整除.

所以x-2是f+x-6的一個(gè)因式，且當(dāng)工=2時(shí)，x^+x-6=0.

(2)猜測(aibictd)2=；

(3)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問題：

已知a+b+c=12,ab+bc+ca=48,求a2+b2+c2的值；

(4)在(3)的條件下，若〃、力、c分別是一個(gè)三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說

明理由.

27.將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.例如：『-2"+必

-(?,=(a2-lab+b2,)?？=(?-Z?)2-<?=(a-Z?+c)Ca-b-c).請仔細(xì)閱讀上述解法后，

解決下列問題：

(1)分解因式：1-m2-nz+2mn；

(2)已知〃?+〃=7,1,求2〃的值.

28.發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).

驗(yàn)證：如，112-92=(+)X(11-9)=X8,

所以“2?92是8的倍數(shù)：

探究：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2〃+1,2〃-1(其中〃為正整數(shù))，請說明“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確;

延伸：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是的倍數(shù)(填最大整數(shù)值).

29.在學(xué)習(xí)完“因式分解”這章內(nèi)容后，為了開拓學(xué)牛.的思維，張老師在黑板上寫了下面兩道題目讓

學(xué)生解答:

因式分解：(1)x2-x)^+5x-5_y；(2)36-x2-16-8x.

下面是晶晶和小舒的解法：

晶晶：x2-xy-5x-5y小舒:36-7-16-8x

=(A2-xy)+(5x-5y)(分成兩組)=62-(AT+8X+42)(分成兩組)

=x(x-y)+5(x-)，)(直接提公因式)=62-(x+4)2(直接運(yùn)用公式)

=(x+5)(.x-y)=(6+x+4)(6-x-4)=(lO+.v)(2-x)

請?jiān)谒齻兊慕夥▎l(fā)下解答下面各題：

(1)因式分解：25+4力2-4,小;

(2)若Z?<7=4.b2c=3,求〃22bd2aca〃的值.

30.利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性.由圖1,利用兩種不

同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可得等式：（〃+2力）（a+b）=a2+3ab+2b2.

（1）由圖2可得等式：.

（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題:

已知a+b+c=11,ab+bc+ac=3S,求cr+l^+c21的值;

（3）已知正數(shù)a、b、c,和叭n>/滿足a+〃?=0+〃=c+/=k,試?yán)脠D形面積來說明〃/+加〃+c〃<

b

圖1圖2

2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)因式分解

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.下列由左邊到右邊的變形，不屬于因式分解的是()

A.3a+3力=3(a+b)B.a1-a+l=a(a-I)+1

C.a2+4?+4=(?+2)2D.a2-9=(a+3)(a-3)

【答案】B

【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為兒個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做

分解因式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：3〃+38=3(a+b)符合因式分解的定義，則A不符合題意，

a2-a+l=a(a-I)+1中等號右邊不是積的形式，則8符合題意，

/+4〃+4=Q+2)?符合因式分解的定義，則。不符合題意，

a2-9=(a+3)(a-3)符合因式分解的定義，則。不符合題意，

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

2.一次課堂練習(xí)，一位同學(xué)做了4道因式分解題，你認(rèn)為這位同學(xué)做得不夠完整的題是()

22

A./-2x.y+)2=(x-y)B.x,一孫之=孫(x-y)

32

C.『->2=(x+y)(x-y)D.A-x=(x-1)

【答案】。

【分析】分別利用公式法、提取公因式法分解因式得出答案.

【解答】解：A、?-2xy+『=(A-->02,正確，不合題意；

B.j?y-xy^=xy(x-y),正確，不合題意；

C、/-/=(x+y)(x-y),正確，不合題意；

。、.d-x=x(x2-I)=x(x+1)(x-I),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：￡).

【點(diǎn)評】此題主要考查了公式法、提取公因式法分解因式，正確應(yīng)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵.

3.對于任何整數(shù)〃(〃W0),多項(xiàng)式(5〃+7)2?9都能()

A.被9整除B.被〃整除C.被〃+1整除D.被〃+2整除

【答案】。

【分析】將多項(xiàng)式(5〃+7)2-9進(jìn)行因式分解，利用平方差公式展開并整理,分析其仄式結(jié)構(gòu).

結(jié)合選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.

【解答】解：(5/M7)29

=(5/Z+7-3)(5〃+7+3)

=(5〃+4)(5/?+10)

=5(n+2)(5/?+4),

???多項(xiàng)式(5〃+7)2?9都能n+2整除，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是利用平方差公式展開并整理.

4.在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用''因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便.原理

是：如對于多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是(》_),)(.),)(/+/)，若取］=9,)=9,則各

個(gè)因式的值是：公)=0,x+y=18,?+y2=162,于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼.對

于多項(xiàng)式孫2,取X=52,)，=28,用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是()

A.528024B.522824C.248052D.522480

【答案】B

【分析】先提公因式為然后根據(jù)平方差公式因式分解，進(jìn)而代入字母的值即可求解.

【解答】解：???/-孫2

=x(x2-)2)

=x(x+y)(x-y),

Vx=52,y=28,則各個(gè)因式的值為x=52,x+)，=8(),x-y=24,

???產(chǎn)生的密碼不可能是522824,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

5.下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式因式分解的是()

A.?-9B.?+16C.?+2v+iD.4?-4x+I

【答案】4

【分析】根據(jù)平方差公式的表現(xiàn)形式進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：/-9能運(yùn)用平方差公式因式分解，則A符合題意，

?+16不能運(yùn)用平方差公式因式分解，則B不符合題意，

/+1T+1不能運(yùn)用平方差公式因式分解，則C不符合題意，

4A-2-4x+l不能運(yùn)用平方差公式因式分解，則。不符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解，熟練掌握平方差公式的表現(xiàn)形式是解題的關(guān)鍵.

6.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.X2+2X+1=X(X+2)+1B.a(2a-4b)=2^2-4ab

C.x(x+2y)=x1+2xyD.x2-9=(x+3)(x-3)

【答案】。

【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做

分解因式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【解答］解：』+2計(jì)1=%(x+2)+1中等號右邊不是積的形式，則A不符合題意，

a(2a-4b)=2『-4時(shí)是乘法運(yùn)算，則8不符合題意，

x(x+2y)=』+2；9,是乘法運(yùn)算，則C不符合題意，

?-9=(x+3)(x-3)符合因式分解的定義，則。符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

7.已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式產(chǎn)出+4能分解因式成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，其中一個(gè)一次多項(xiàng)式是2,

則另一個(gè)一次多項(xiàng)式是()

A.x-1B.x+1C.x-3D.x+3

【答案】。

【分析】設(shè)另一個(gè)一次多項(xiàng)式是(x+m),然后計(jì)算(A+/M)(x-2)后得到關(guān)于加的方程，解方

程即可.

【解答】解：設(shè)另一個(gè)一次多項(xiàng)式是(戶〃力，

則(x+m)(x-2)

=/-Ix-^-nix-Ini,

=/+("i-2)x-2m,

=x1+x+a,

則tn-2=1,

解得:m=3,

則另一個(gè)一次多項(xiàng)式是x+3,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解的意義，熟練掌握因式分解及整式乘法的互逆性是解題的美處.

8.對任意整數(shù)〃，(2〃+1)2-25都能()

A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被6整除

【答案】B

【分析】先利用平方差公式因式分解可得(2〃i】)225=4(n2)(〃i3)，因此對任意整數(shù)〃，

4都是4(〃?2)(〃+3)的一個(gè)因數(shù)，據(jù)此即可得出答案.

【解答】解：???(2〃+1)2-25=(2〃+1)2-52=(2??+1-5)(2〃+1+5)=(2?-4)(2〃+6)

=4(//-2)(〃+3),

.??對任意整數(shù)〃,4都是4(n-2)(〃+3)的一個(gè)因數(shù),

???對任意整數(shù)小(2〃+1)2-25都能被4整除，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共11小題)

9.已知小b,c,d均為正整數(shù)，且/=/,,3=/，a-c=65,則方-4=179.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)《=〃?4,。=加5,c=X2,d=.d(加，X為正整數(shù))，根據(jù)已知”?C=65,運(yùn)用因式分解

的方法得到關(guān)于/〃，X的方程組，從而求解.

【解答】解：???/=/,。3=/，

?二可設(shè)b=m5,。=磊d=/(/〃，x為正整數(shù))，

??Z?c=65,

???〃產(chǎn)-7=65,

即(z?72+x)(W2-x)=65,

.(m2+x=65或pn?+x=13

'-m2-x=1^m2-x=5

解得F13或產(chǎn)2=9,

5=325=4

Mt-3?(〃?不為正整數(shù)故此結(jié)果舍去)或｛:二：，

：.b-d=nf-A3=243-64=179.

【點(diǎn)評】此題要注意借助巧妙的設(shè)法，運(yùn)用因式分解的知識達(dá)到降次的目的求解.

10.如圖①，是一個(gè)極長為。的正方體中挖去一個(gè)棱長為人的小正方體(a>b)

(1)如圖①所示的幾何體的體積是一體-護(hù).

(2)用另一種方法表示圖①的體積：把圖①分成如圖②所示的三塊長方體，將這三塊長方體的體

積相加后得到的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.比較這兩種方法，可以得出一個(gè)代數(shù)恒等式9b)

(c^+ab+b1)=。3-b3.

口白

a-a~

圖①圖②

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)正方體體積公式即可求解：

(2)根據(jù)正方體和三塊長方體的體積公式即可求解.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，得

故答案為-戶

(2)根據(jù)題意，得

(?(〃-b)+ab(a-b)+h2(a-b)

=〃3-〃2〃+〃2力_〃/)2+〃2〃_/,3

=J-匕3

:.a3-b3=Ca-b)(cr+ab+b2)

故答案為(a?8)(J+而+必)=?,護(hù)

【點(diǎn)評】本題考查了、工方體和長方體的體積、因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是表示三塊長方

體的體積的和.

一.5bcdef1acdef1abdef1abcefabcdf

11.已知a、bL、c、d、e、/都為止數(shù)，-----=-------=~,-------=一,---------=2,----------=4,

a2b4c8de

-ab-c-de=8,貝I」j+B1+d°+法+°ae2119y.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)等式性質(zhì)及分式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果.

【解答】解：將每個(gè)等式的左右兩邊相乘，得

(abcdef)5

abcdef

abcdef=1,

bcdefa11

aaa22

:./=2.

同理可得：序=4,《2=8,</2=1,e2=4,/=i,

Z4ts

.?.〃2十〃2十。2十/十."一半.

故答案為二

8

【點(diǎn)評】本題考查了等式的基本性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是整體思想的運(yùn)用.

12.觀察下列各式：

13+23=1+8=9,而(1+2)2=%

13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,

/.13+23+33=(1+2+3)2：

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,

/.13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

A13+23+33+43+53=(I+2+3+4+5)2=152.

根據(jù)以上規(guī)律填空：

]

(1)l3+23+33+—+/?3=(1+2+3+—+n)2=[-n(〃+1)]2.

(2)猜想：lF+]23+133+143+153=11375.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】平方的底數(shù)為立方和底數(shù)的和；

(I)平方的底數(shù)為從1到〃的和；

(2)所求代數(shù)式應(yīng)等于從I到15的立方和減去從1到10的立方和.

【解答】解；1+2+3+4+5,152

1,

(1)1+2+3+???+〃，-n(〃+1)；

2

(2)原式=(13+23+-+153)-(13+23+33+-+103)

1-X15X(15+1)]2-[-X1OX(10+1)]2

=1202-552=(120+55)(120-55)=11375.

【點(diǎn)評】此題是一道找規(guī)律題，作答過程中注意運(yùn)用已得到的結(jié)論使計(jì)算簡便.

13.若正整數(shù)機(jī)滿足個(gè)位數(shù)字是1,其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1,且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱

正整數(shù)m為“言行合一數(shù)”，交換“言行合一數(shù)”機(jī)的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)小并記P(m)=

穿一爺苧+15,那么最小的四位“言行合一數(shù)”為2001；若四位正整數(shù)k=

1000.v+100y+10y+10WyW9,且yKI,x、y均為整數(shù))與P(k)均為“言行合一數(shù)”，

那么所有滿足條件的四位“言行合一數(shù)”k的和為12212.

【答案】2001,12212.

【分析】根據(jù)“言行合一數(shù)”的定義和最小數(shù)的性質(zhì)即可確定最小的四位“言行合一數(shù)”；然后

根據(jù)“言行合一數(shù)”和交換“言行合一數(shù)"求得公k',進(jìn)而求得尸(女),然后再根據(jù)“言行合

一數(shù)”的定義即可解答.

【解答】解：由題意可得，在“言行合一數(shù)”中，百位數(shù)字和十位數(shù)字相等且不為1,見最小的四

位“言行合一數(shù)”的千位上只能是2、十位和百位數(shù)為0,個(gè)為位為1,即2001；

???四位正整數(shù)k=1000x+100y+10)，+l(2WxW9,0WyW9,且x,)，均為整數(shù))與尸(A)均

為“言行合一數(shù)”，

???交換攵的首位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字得到一個(gè)新數(shù)/，則/=lX1000+100>+10^x,

：.k+k'=1001J+220\'+I00Lk?k'=999『999,

.z,x1001x+220y+1001999x-999.__q八皿達(dá)

?.pP(Ar)=----------ri------------------m-----+15=8Q20x+20y+l15,

11ill

?：k與P(k)均為“言行合一數(shù)”且20)，的個(gè)位數(shù)數(shù)字為0,

115的末尾數(shù)字為5,

則82x的末尾數(shù)字必為6,

即x=3或x=8,

當(dāng)x=3時(shí).,P(k)=82x+20)4115=361+2Qy,

,:P(k)均為“言行合一數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，

：.y=4,

：.k=\000.V+100.y+10v+1=3441；

當(dāng)x=8時(shí)，PQk)=82什20yHi5=771+20y,

??Z與P(k)均為“言行合一數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，

：.y=0,

.??k=1000,r+100y+10y+1=8771；

???所有滿足條件的攵的和為3441+8771=12212.

故答案為:2001,12212.

【點(diǎn)評】本題主要考查了“言行合一數(shù)”的定義、數(shù)字的運(yùn)用、整式的運(yùn)算等知識點(diǎn)，理解“言

行合一數(shù)”的定義是解答本題的關(guān)鍵.

】知_1999x1999-19992000x2000-2000_2001x2001-2001川

b-fCabc

匚利：a=-1998x1998+1998’1999x1999+1999=-2000x2000+2000'人」~

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】將。、b、C的分子分母先分別用提供因式法分解因式，再約分即可將4、b、C化簡，再

代入.慶?求值即可.

.tm快、勒..1999x(1999-1)_1999x1998_,

【解口】解：.a--1998x(1998+1)一一1998x1999--1;

2000x(2000-1)_2000x1999,

)="1999x(19994-1)=-1999x2000=

2001x(2001-1)_2001x2000_,

*-2000x(2000+1)-~2000x2001--1;

：.abc=(-1)X(-1)X(-1)=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評】此題考查的是因式分解的應(yīng)用，要熟悉提公因式法等因式分解的基本方法，解答此題的

關(guān)鍵是找到公因式.

15.已知a=9?1Q+2018,b=9?1Q+2019,c=9?1Q+2020,則代數(shù)式2(/+/+/-ab-be-ac)

zuivzuiyzuiy

的值是6.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)完全平方公式分解因式后整體代入即可求解.

【解答】解：〃-b=-I,a-c=-2,b-c=-\.

2(?2+/?2+(?-ab-be?ac)

=2a2+2b2+2c2-lab-2hc-2ac

=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2

=(-I)2+(-2)2+(-I)2

=l+4+l

=6

故答案為6.

【點(diǎn)評】本題考存了分解因式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是整體思想的運(yùn)用.

I6.設(shè)正數(shù)a,c滿足24”■出=〃力c,則a+8+c的最小值為_4V6+2_.

【答案】4V6+2.

【分析】根據(jù)一直等式分別表示出。，b，c,求的取值范圍，然后將c值代入a+6+c,因

為〃，從。均為正數(shù)，采用配方法求解最小值即可，最后驗(yàn)證是否滿足題意.

【解答】解：V24a+b=ahc,

24,1

?M二布%"二碧:為‘萬+了

/.bc>24,ac>1,

/.a+b+c=ci+b+4-=(\/a—~+2+(VF-、怖)~+4V6>2+4A/6,

當(dāng)遮=盍且跖=等時(shí)，等號成立，

**?G=I,b=2A/6>

此時(shí)，C=2A/6+1?

??.兒=24+2n>24,訛=2乃+1>1,符合題意，

.\a+b+c的最小值為4V6+2.

故答案為：4V6+2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，合理構(gòu)造完全平方式是本題解題的關(guān)鍵.

17.已知心仄。為三角形的三邊，且則。2+屬+d=〃〃+反+〃c,則三角形的形狀是等邊三角形.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以2,利用配方法變形，得(〃-〃)2+(a-c)2+

(…)2=0,再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：:d+.+c?=i灑+bc+ac,

a2+b2+c2-ab-be-ac=Q,

???2M+2.+2C2-lab-2bc-2ac=0,

2122

a-lab+l7+b-Ibc+c2+a-2ac+c'=Of

即(a-h)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

??a-b=0,b-c=0,c-a=0,

??ci—b—c9

???△ABC為等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

【點(diǎn)評】本題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)是配方法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷.關(guān)

鍵是將己知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題

18.若正整數(shù)〃7滿足個(gè)位數(shù)字是1,其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1,且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱

正整數(shù)次為“群風(fēng)和鳴數(shù)”，交換“群風(fēng)和鳴數(shù)”用的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)人并記P

(〃力=等-常+15那么最小的四位“群鳳和鳴數(shù)”為2001；若四位正整數(shù)k=

lOOOx+lOO.v+lOy+l(2WxW9,0W)W9,且yW1,x、y均為整數(shù))與P(k)均為“群鳳和鳴數(shù)”，

那么所有滿足條件的四位“群鳳和鳴數(shù)”k的和為12212.

【答案】2001,11442.

【分析】群鳳和鳴數(shù)根據(jù)“群鳳和鳴數(shù)”的定義和最小數(shù)的性質(zhì)即可確定最小的四位“群鳳和鳴

數(shù)”；然后根據(jù)“群鳳和鳴數(shù)”和交換“群鳳和鳴數(shù)”求得八kf,進(jìn)而求得P(k),然后再根

據(jù)“群鳳和鳴數(shù)”的定義即可解答.

【解答】解；山題意可得，在“群鳳和鳴數(shù)”中，百位數(shù)字和十位數(shù)字相等且不為1,貝!最小的四

位“群風(fēng)和鳴數(shù)”的千位上只能是2、十位和百位數(shù)為0,個(gè)為位為1,即2001：

???四位正整數(shù)氏=1000.葉100)+2?+1(2/^<9,0<W9,且)，W1,x,)，均為整數(shù))與P(女)均

為“群鳳和鳴數(shù)”，

???交換A的首位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字得到一個(gè)新數(shù)/，則=lXl()(X)+l()0yH-10y+x,

???-&'=100Lr+220y+l00I,k-k'=999x-999,

.D1001x+220y+1001999x-999,.___心八"~

,.P(k)=-----------------------------------7T3----+15=8Q2X+20F+115,

11111,

??"與P(*)均為“群鳳和鳴數(shù)”且20,，的個(gè)位數(shù)字為0,

115的末尾數(shù)字為5,

則82x的末尾數(shù)字必為6,

即A=3或X=8,

當(dāng)x=3時(shí)，P(k)=82r+20)>+115=361+20y,

VP(k)均為“群鳳和鳴數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，

.*.y=4,

：,k=\000,V+100_y+10y+1=3441；

當(dāng)x=8時(shí).,P(k)=82x+20)4115=771+2Qy,

???k與P(k)均為“群風(fēng)和鳴數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，

:?k=1000.V+100.y+10)，+1=8001；

???所有滿足條件的k的和為3441+8(X)1=11442.

故答案為：2001,11442.

【點(diǎn)評】本題主要考杳因式分解的應(yīng)用、整式的運(yùn)算等知識點(diǎn)，理解“群鳳和鳴數(shù)”的定義是解

答本題的關(guān)鍵.

a5+bs+c55

19.已知實(shí)數(shù)mb,c滿足“i6ic=0,a2321c2=1,則---------=一.

abc-2一

【答案】|

【分析】利用完全平方公式得(a+8+c)2=cT+b2+c2+2ab+2bc+2ac,結(jié)合已知條件得出a5+bc+ca=

一)，再由4?+/?3+C,3=(a+b+c)(.a^^+c^+ab+bc+ca)+3abcJka5+b5+c^=(a2+b2+c2)(a^+^+c3)

-[a2(Z>3+?)+h2(/+/)+。2(/+必)卜即可求得答案.

【解答】解：：(a+b+c)2=cr+lr,+c2'^2ab+2bc+2ac,

a+b+c=0,cr+lr+c1=I,

.*.0=1?2(abvbeIca)，

ab+bc+ca=-々，

*：a3+h3+c3

=(a+b+c)(a2+lr+c2+aM?c+ca)+3a/7c

=3abc,

：.a5+b5+c5

=(J+廬+。2)(/+/+。3)?[”2(護(hù)+。3)+廬(〃3+川)+c2(d+護(hù))],

=3abc-[erb2(a+b)+<?c2(a+c)+Z>2(?(He)]

=3a〃c+(a1序c+idb+fc2^)

=3abc'+abc(ab+bc+ca)

=34Z?c—々Qbc

=初比，

.a5+b5+c52abc5

abcabc2

故答案為：|.

【點(diǎn)評】本題考查立方和公式，關(guān)鍵到了高中也不一定會做.

三.解答題(共11小題)

20.教材中這樣寫道；“我們把多項(xiàng)式。2+2e+爐及2"+房叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字

母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全

平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決

問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將?個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決?些與非負(fù)數(shù)有關(guān)

的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例如：分解因式f+2x-3.

原式=(『十2計(jì)1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；

例如：求代數(shù)式/+4/+6的最小值.

原式=/+4x+4+2=(x+2)2+2.

,/(x+2)220,

:.當(dāng)x=-2時(shí)，』+4x+6有最小值是2.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：〃?2?4〃L5；

(2)求代數(shù)式x2-6,r+12的最小值；

(3)當(dāng)a,b,c分別為△AAC的三邊時(shí)，且滿足/小21c2-6a10〃-6ci43=0時(shí)，判斷△A〃C

的形狀并說明理由.

【答案】(1)(m+1)(n',-5)：

(2)3；

(3)△A4C是等腰三角形，理由見解析.

【分析】(1)先配出完全平方，再用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；

(2)先配出完全平方，然后再根據(jù)完全平方的非負(fù)性即可求得最小值；

(3)將等式的左邊拆項(xiàng)后重新組合，配出三個(gè)完全平方，再根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為0,則這幾個(gè)

非負(fù)數(shù)分別為0”求解出。、b、c的值，據(jù)此即可解答.

【解答】解:(1)nr-4m-5，

=ni2-4加+4-4-5,

=Cm-2)2-9,

=3〃-2+3)(w-2-3),

=(m+\)(m-5).

故答案為：(5+1)

(2)?.?/-6x+12=/-6x-9+3=(x-3)2+3；

-6x+12的最小值是3.

(3)Va2+Z?2+c2-6a?10b-6c+43=0,

a2~6a+9+b2-10Z>+25+c2-6c+9=0?

(a-3)2+(/?-5)2+(c-3)2=0,

三個(gè)完全平方式子的和為0,所以三個(gè)完全平方式子分別等于0.

a-3=0,b-5=0,c-3=0,

得，a=3,b=5,c—3.

???△A6C是等腰三角形.

【點(diǎn)評】本題主要考查了配方法、用公式法進(jìn)行因式分解、非負(fù)性的應(yīng)用，熟練的掌握完全平方

公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵.

21.已知多項(xiàng)式A=2/+5,B=2f-5,/為任意有理數(shù).

(1)問4?B+30的值能否等于4,說明理由；

(2)當(dāng),是整數(shù)時(shí)，判斷的值能否被8整除.

【答案】(1)不可能等于4,理由見解析；

(2)能被8整除.

【分析】(1)因?yàn)锳=2C5,B=2t5,所以4?小30=4小5,據(jù)此求出從?。+30=4/25的值不

可能等于4：

(2)因?yàn)锳=2f+5,B=2t-5,所以黯-82=40],當(dāng)，是整數(shù)時(shí)，40r能被8整除,據(jù)此證明.

【解答】解：(1)A?8+30的值不可能等于4；理由如下：

A?8+30=(2什5)(2L5)+30=4及+5,

因?yàn)?為任意有理數(shù)，

所以戶》0,所以4戶+5~5,

即A?B+3025,

所以A?8+30的值不可能等于4；

(2)A2-B2=(2f+5)2-(2/-5)2=40/,

當(dāng)/是整數(shù)時(shí)，40/能被8整除，

即解?82一定能被8整除.

【點(diǎn)評】本題考查了乘法公式，解決本題的關(guān)鍵是將4、B代入要求的式子中計(jì)算.

22.先閱讀下列材料，再解決,可題.

材料：因?yàn)椋?x-2)(x+3)=/+x-6.

所以，(/+x-6)~r(x-2)=x+3.

即，+x-6能被X-2整除.

所以x-2是-6的一個(gè)因式，且當(dāng)％=2時(shí)，x^+x-6=0.

(1)【類比思考】因?yàn)镚+2)(x+3)=f+5"6,所以/+5x+6能被(x+為或(x+3)整

除，所以(x+2)或(x+3)是?+5工+6的一個(gè)因式，且當(dāng)x=-2或-3時(shí)，?+5x+6=0：

(2)【拓展探究】根據(jù)以上材料，若多項(xiàng)式/+，心-14能被1+2整除，試求小的值.

【答案】(1)(x+2)或(x+3),(x+2)或(％+3),-2或?3.

(2)-5.

【分析】(1)根據(jù)示例(x+2)(x+3)=』+5x+6,所以f+5x+6能被兩個(gè)因式中的任何一個(gè)因式

整除，這兩個(gè)因式都是入2+5X+6的因式，月.x+2=0或x+3=0時(shí)，X2+5.V+6=0；

(2)因?yàn)槎囗?xiàng)式.1+萬田?14能被x+2整除，所以當(dāng)工=?2時(shí)，?]4=0,將x=-2代入式

子計(jì)算求出，〃即可.

【解答】解:(1)因?yàn)?/2)(x+3)=/+5x+6,

所以』+5戶6能被(x+2)或(A-+3)整除，

所以(x+2)或(x+3)是』+5x+6的一個(gè)因式，

且當(dāng)x=-2或-3時(shí)，X2+5X+6=O.

故答案為；(#2)或(xi3),(xi2)或(x?3),-2或-3.

(2)因?yàn)椋?m-14能被葉2整除，

所以當(dāng)x=-2時(shí)，『+〃L\T4=0,

所以(-2)2+mX(-2)-14=0,

解得m=-5.

【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用、整式的除法、因式分解的意義，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用題

中示例的方法解決問題.

23.給出三個(gè)單項(xiàng)式:a2,序,2ab.

(1)任選兩個(gè)單項(xiàng)式相減，并進(jìn)行因式分解；

(2)利用因式分解進(jìn)行計(jì)算：cr+b1-2ab,其中a=2026,b=2024.

【答案】(1)/-必=(〃+/；)(?-/?)(答案不唯一)：

(2)4.

【分析】(1)任選兩個(gè)單項(xiàng)式相減，然后運(yùn)用提公因式法或半方差公式分解因式即可；

(2)運(yùn)用完全平方公式分解因式，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【解答】解：(I)d-廬=(“+〃)(a-h).

(2)cr+b2-2ab=(a-b)2,

當(dāng)。=2026,5=2024時(shí),

原式=(2026-2024)2=4.

【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用、單項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用提公因式法和公式法分解

因式.

24.【閱讀材料】某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”成員研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法,

但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解.例如cr-血5a-5b和?+2xy+/-9.社團(tuán)成員經(jīng)

過討論交流后發(fā)現(xiàn)可以將這樣的式子先分組，再分解.方法如下cr-ab^a-5b=a(a-b)+5(a

-b)=(a+5)(a-b)；/+2x_y+)2-9=(x+y)2-32=(x+v+3)(x+v-3).請?jiān)谶@種方法

的啟發(fā)下，解決下列問題：

【問題解決】

(1)因式分解：A3-2?+21--4；

(2)因式分解：X2-6孫+9y2-］；

【方法延伸】

(3)因式分解：4a2-12aH9必-4a+6/?+l.

【答案】(1)9?2：+21-4=(f+2)(x-2)；

(2)x2--6XJI9)2-1=(x-3A1)(x--1)；

(3)4a2-I2ab+9b2-4t/+6/?+|={2a-3b-1)2.

【分析】(1)根據(jù)分組分解法求解即可；

(2)根據(jù)分組分解法求解即可；

(3)根據(jù)分組分解法求解即可.

【解答】解:(1)原式=/(x-2)+2(x-2)

=(f+2)(x-2)；

(2)原式=(x2-6xy+9y2)-I

=(x-3y)2-1；

=(x-3y+1)Cx-3y-1)；

(3)原式=(4?2-\2ab+9b2)-(4a-6b)+1

=(2a?3b)2-2(2a-3b)+1

=(2a-3b-1)2.

【點(diǎn)評】本題主要考查因式分解，掌握分組分解法是關(guān)鍵.

25.七年級興趣小組活動(dòng)時(shí)?，老師提出了如下問題：將2。-3他-4+6。因式分解.

【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2a-3ab,、-(4-6/7)=a(2-3/?)-2(2-3/?)=(2-3萬)(a-2)；

解法二：原式=(2。-4)-(3"-6〃)=2(?-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).

【感悟】對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用

提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組分解法在代數(shù)式

的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著