考點19?圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精練）

限時檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2025上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①氏度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對的弦相等；③等邊三角形的外心與內(nèi)心重合；④任意三點

可以確定一個圓；⑤三角形有且只有一個外接圓.

A.0B.1C.2D.3

2.12025?安徽?模擬預(yù)測）如圖，在：O中，半徑/?=26，A8=6,點。在弦A3上，ZACO=60°,連接OC,

過點。作COJ_OC交。。于點。，則。。的長為（）

A.4B.2&C.6D.—

2

3.（2025?河南開封?統(tǒng)考一模）如圖，O的半徑為4,將：。的一部分沿著弦A8翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心

B

A.3B.2\/3C.6D.46

4.（2025?陜西渭南?統(tǒng)考二模）如圖，A8是。。的直徑，CD、的是（O的兩條弦，CO交ABf點G,點

。是8七的中點，點3是C。的中點，若48=10，BG=2,則原的長為（）

B

不D

A.3B.4C.6D.8

5.（2025?重慶?校聯(lián)考一模）如圖，4A是團0的直徑，點C為圓上一點，AC=4&，。是弧AC的中點,

AC與BD交于點E.若E是8。的中點，則8C的長為（）

A.5B.3C.2D.1

6.（2025?山西運城??？既＃┰?。中，弦A8和。。相交于P,且A8J_C￡）,如果AP=4,PB=4,C尸=2,

那么的直徑為（）

A.4B.5C.8D.10

7.（2025?湖北孝感??？家荒＃┤鐖D,A&CQ是的弦，延長4氏CD相交于點P.已知NP=3O。，NAOC=80。，

則BO的度數(shù)是（）

A.30°B.25°C.20°D.10°

8.（2025?浙江?模擬預(yù)測）如圖，A8C內(nèi)接于。0,ZC=30°,ZBAC=45°,8。_1_47于點。.若BD的

長為C，則0。的直徑為（）

A.&B,2C.4D.4X/2

9.（2025?廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖，團0的半徑為4,直徑A8與直徑C。垂直，尸是4/）上一點，連接PC,

PB分別交4B,C￡＞于E,F,若CE=26則8/的長為（）

4后

B.歷C.275

10.（2025?廣東?九年級課時練習(xí)）如圖，△ACB中，C4=C8=4,NACB=90。，點P為C4上的動點，連

BP,過點A作AM_L8P于M.當(dāng)點。從點C運動到點A時，線段8M的中點N運動的路徑長為（）

C.x/3n

11.（2024上?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末）如圖，用一塊直徑為4米的四來布平鋪在對角線長為4米的正方

形桌面上，若四周下垂的最大長度相等，則這個最大長度x為米（用根號表示）.

12.（2024?福建福州??？家荒＃┮蛔皹虻妮喞且欢伟霃綖?50m的圓弧（如圖所示），橋拱和路面之間用

數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面A3長度為300m,那么這些鋼索中最長的一根為m.

13.（2025?浙江麗水?統(tǒng)考二模）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測量球的半徑.嘉嘉經(jīng)過思

考找到了測量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高C￡>=12cm,底面內(nèi)徑8c=8cm,球的最

高點石到瓶底的距離為20cm,則球的半徑為cm.

14.（2025?山東?模擬預(yù)測）如圖，GO的半徑為4,四邊形ABC。內(nèi)接于：。，連接AC,8。.若=50。,

ZACD=80°,則劣弧8。的長為.

15.（2025?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之

美.如圖，正方形A8CD的面積為2,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形若

A":A3=2:1,則四邊形AffCD1的外接圓的周長為.

C

16.（2025?廣東清遠?統(tǒng)考二模）如圖，O的直徑A3和弦垂直相交于點E,CO=40，C〃_LAO于點

F,交A8于點G,且OG=1,貝的半徑長為.

17.（2025?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的O中，弦CO平行于弦A8,45=4&cm,NBOD=90°,

則AN與C。之間的距離是cm.

18.（2025?江蘇鹽城,統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是1。的直徑，點。是80的中點，CE，AB于點、E,BD交

CE于點F.⑴求證：CF=BF；Q）若BE=OE=3,求其。的長度.

19.（2025?廣東?模擬預(yù)測）如圖，。中兩條弦4。，8c互相垂直，垂足為“，M為AB的中點，連接

并延長交CO十點N.⑴求證：MV_L8；⑵連接OM,求失的值.

I，D

20.（2025?廣西南寧?九年級?？计谥校╉椖炕瘜W(xué)習(xí)：車輪的形狀

［問題提出］車牝為什么要做成圓形，這里面有什么原理？

［合作探究］

（1）探究A組：如圖1,圓形車兔半徑為6cm,其車輪軸心O到地面的距離始終為cm.

(2)探究B組：如圖2,正方形車輪的軸心為0,若正方形的邊長為6cm,求車輪軸心。距離地面的最高

點與最低點的高度差；

(3)探究C組：如圖3,有一個破損的圓形車輪，半徑為6cm,破損部分是一個弓形，其所對圓心角為90。，

車輪軸心為O,讓車輪在地上無滑動地滾動一周，求點。經(jīng)過的路程.

(探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定，即車輪軸心是否在一條水平線上運動.)

【拓展延伸1如圖4,分別以正三角形的三個頂點A,B,。為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60。圓弧，這

樣形成的曲線圖形叫做“萊洛三角形〃.

(4)探究。組：使"萊洛三角形"沿水平方向向右滾動.在滾動過程中，其"最高點""車輪軸心。，均在不斷

移動位置,那么在“萊洛三角形”滾動的過程中，其“最高點”和"車輪軸心O"所形成路徑的大致圖窠是.

(延伸發(fā)現(xiàn)：“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，但其

車軸中心。并不穩(wěn)定.)

限時檢測2：最新各地中考真題（40分鐘）

1.（2025年四川省巴中市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，CO是..A4C的外接圓，若NC=25。，則N8AO=（）

A.25°B.50°C.60°D.65°

2.（2025年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A8c。是。的內(nèi)接四邊形，ZB=58°,

Zz4CD=4O°.若CO的半徑為5,則QC的長為（）

A.上〃B,也"C.兀D.L

a392

3.（2025年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，?8c是00的內(nèi)接三角形，AB=AC,ZfiAC=120°,D

是BC邊上一點，連接A3并延長交。于點E.若AD=2,DE=3,則：。的半徑為（）

A

3r

A:.Vio:B.-Vioc.25/10D.3>/10

4.（2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞

肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A.20mB.28mD.40m

5.（2025年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在。中，直徑A8與弦C。相交于點P,連接ACAD,BD,

若/C=20。,ZBPC=70°,則ZA￡)C=()

B.60°C.50°D.40°

6.（2025年浙江省溫州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于〔O,BC//AD,AC1BD.若

4。力=120。，AO=G，則NCAO的度數(shù)與AC的長分別為（)

6C.15°,1D.15°,72

7.（2025年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A3,AC是。的弦,OB,。。是。的半徑，點尸為上任

意一點（點P不與點8重合），連接若NBAC=7O°,則N8PC的度數(shù)可能是（）

B.105°C.125°D.155°

8.（2025年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，0。是的外接圓，弦BD交AC于點、E,AE=DE,

BC=CE,過點O作。戶JLAC于點凡延長FO交火于點G,若DE=3,EG=2,則力"的長為（）

AD

B

A.40B.7C.8D.4x/5

9.（2025年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標系工3,中，宜線卜=-牙-2與x軸、），軸

分別交于4、8兩點，C、。是半徑為1的。上兩動點，且CD=g，P為弦CD的中點.當(dāng)C、。兩點在

)

C.4D.3

10.（2025年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AD是的直徑，/8C是。。的內(nèi)接三角形.若

ZDAC=ZABC,AC=4,則O的直徑AO=

11.（2025年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽A8CO

是矩形.當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點A,。時，恰好與8c邊相切，則此餐盤的半徑等于cm.

12.（2025年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點P處安裝

了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55。，為了監(jiān)控整個展區(qū)少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器—臺.

13.（2025年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，。是等邊三角形A8C的外接圓，其半徑為4.過

點B作BE_LAC于點E,點P為線段BE上一動點（點P不與叢石重合）,則CP+^BP的最小值為.

14.（2025年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于。且NAC8=90。，弦C。平分N4C3,

連接AO,BD.若A8=5,AC=4,則8D=，CD=.

15.（2025年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，點。，E在以AC為直徑的。上，/人0c的平分

線交：。于點B,連接84,EC,EA,過點石作即_L八C,垂足為從交AD于點F.

2/s

⑴求證：AE2=AFAD^（2）若sin/ABD=曦,AB=5,求A。的長.

B

16.（2025年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是<3。的直徑，AC是弦，。是人C上一點，/）是A8

延長線上一點，連接4XOCC。.⑴求證：ZADC-ZBAC=90°；（請用兩種證法解答）

（2）若乙4。?=/4￡>€,GO的半徑為3,C/>=4,求AP的長.

備用圖

17.（2025年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1,銳角內(nèi)接于1Q為BC的中點，連接40并延

長交于點E,連接過C作AC的垂線交AE于點八點G在A。上，連接KG,CG,若8c平分

4EBG且ZBCG=ZAFC.

⑴求N8GC的度數(shù).⑵①求證：AF=BC.②若AG=。尸，求tanNG8c的值，

⑶如圖2,當(dāng)點。恰好在BG上且OG=1時，求AC的長.

圖1圖2

18.（2025年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進行變式、探究

與思考：如圖1,的直徑CD垂直弦AB于點E,且CE=8,DE=2.

⑴復(fù)習(xí)回顧：求A8的長.（2）探究拓展：如圖2,連接AC,點G是8c上一動點，連接4G,延長CG交A8

的延長線于點E①當(dāng)點G是3C的中點時，求證：NGAF=NF；

②設(shè)CG=x,CF=y,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；

③如圖3,連接。尸，BG,當(dāng)4C"為等腰三角形時，請計算8G的長.

19.（2025年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）已知：A、8為圓上詼定點，點。在該圓上，NC為A3所對的圓

周角.知識回顧⑴如圖①，中，B、。位于直線AO異側(cè)，ZAOB+ZC=135°.

①求NC的度數(shù)；②若.O的半徑為5,AC=8,求8c的長：

逆向思考（2汝口圖②，P為圓內(nèi)一點，且NAPB<I2O。，PA=PB,ZAPB=2NC.求證：尸為該圓的圓心;

拓展應(yīng)用⑶如圖③，在（2）的條件下，若NAP8=90。，點C在。P位于直線AP上方部分的圓弧上運動.點

。在P上，滿足=-CA的所有點。中，必有一個點的位置始終不變.請證明.

20.（2025年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題）【感知】如圖①，點A、8、P均在：。上，ZAOB=90°,則銳

角/AP8的大小為度.

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，。是等邊三角形A8C的外接圓，點。在AC上（點戶不與點

A、C重合），連結(jié)玄、PB、PC.求證：〃3=E4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長抬至點E,使AE=PC,連結(jié)

BE,通過證明可推得/為E是等邊三角形，進而得證.下面是小明的部分證明過程：

證明：延長融至點E,使AE=PC,連結(jié)8￡,

四邊形A8CP是。的內(nèi)接四邊形，.?.N84P+NBb=18。。.

Z￡?AP+Zft4E=180°,:./BCP=NBAE.

..ABC是等邊三角形...84=8。，.-PBC絲-EBA（SAS）

請你補全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，，。是一A8C的外接圓，ZABC=90°,AB=8C,點P在。上，且點尸與點3在AC的

PB

兩側(cè)，連結(jié)玄、PB、PC.若PB=2丘PA,則后的值為.

考點19?圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精練）

限時檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2025上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①氏度相等的弧是等??；②相等的圓心角所對的弦相等；③等邊三角形的外心與內(nèi)心重合；④任意三點

可以確定一個圓；⑤三角形有且只有一個外接圓.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查的是等弧的概念，弧，弦，圓心角的關(guān)系，正多邊形的性質(zhì)，圓的確定，三角形的外接

圓的含義，根據(jù)基本概念與基本性質(zhì)逐一分析即可，熟記基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：能夠完全重合的弧是等弧，故①假命題；

在同圓與等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故②足假命題，

等邊三角形的外心與內(nèi)心重合；故③是真命題，

不在同一直線上的三點可以確定一個圓，故④是假命題，

三角形有且只有一個外接圓，故⑤是真命題；故選C

2.（2025?安徽?模擬預(yù)測）如圖，在：。中，半徑〃=2⑥，AB=6,點C在弦AS上,ZACO=60。，連接OC,

過點C作。交于點。，則的長為（）

A.4B.2&C."D.—

2

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，三角函數(shù)，勾股定理，連接04,0。，過點O作OE_LA8「點由OE_LA8

得到AE=BE=；AB=3,由勾股定理得到OE=6，由三角函數(shù)得到OC=2,再由勾股定理即可得到

8=2上，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接Q4,OD,過點。作QE_LAB干點E,

B

D

O

OE±AB,：.AE=BE=^AB=3,OE=-Jo^-AE2=73?

在Rt^COE中，EZACO=60°.OC=———=—^-=2.

sinZ.ACOsin60°

又UCOJ_OC,0ZOCD=9O°,:6=飛0?-0（：2="2可一22=2頁,故選:

3.（2025?河南開封?統(tǒng)考一模）如空，。的半徑為4,將。的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心

C.6D.4x/3

【答案】D

【分析】過點。作與4B交于點。，交。于點C,連接。4,根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出。。的長：根

據(jù)垂徑定理的推論可得八4=2人。，根據(jù)勾股定理可得人/7的長，即可求出人B的長度.

【詳解】解：過點。作與A8交于點。，交。于點C,連接OA,如圖:

根據(jù)題意可得：。。=。。=40。=2,EOC±AB,^AD=BD=-ABt

22

在RtzVMO中，AD=yjo^-OCT=742-22=273?AB=2AD=4^,故選：D.

【點睛】本題考查了翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂徑定理的推論，勾股定理，掌握翻轉(zhuǎn)是一種對稱變換，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?陜西渭南?統(tǒng)考二模）如圖，A8是。的直徑，CD.8七是C。的兩條弦，€7）交AB于點G,點

。是8E的中點，點B是CQ的中點，若A8=10,BG=2,則班的長為（）

【答案】D

【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到A8_LC￡>,CD=2CG,再利用勾股定理求出CG=4,進而得到

CD=2CG=8,再證明8E=CO，則8E=C￡>=8.

【詳解】解：如圖所示，連接OC,

團點“是CD的中點，A8是。的史徑，0/AZJ1CD,BC=BD，0CD-2CG,

回A8=10,^OC=OB=-AB=5EBG=2,團OG=3,

2f

在RtCOG中，由勾股定理得CG=J0C2_0G2=4,0CD=2CG=8,

回點。是BE的中點，出BC=EC，^BC=EC=BD^團BE=CD，m3E=C￡>=8,故選D.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角

形是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?重慶?校聯(lián)考一模）如圖，43是團。的直徑，點。為圓上一點，AC=4夜，。是弧4C的中點,

AC與8。交于點￡若石是50的中點，則6c的長為（）

A.5B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】

連接0。交AC于R由垂徑定理得O￡>_LAC,AF=CF,可證OZ)〃BC,接著證明△BCEg△。生得到

13

BC=DF,計算得。尸=3。。，然后設(shè)8C=x,則。0=5"，AB=3X,最后利用勾股定理"?=AC?+8C?計

算得到3c的長.

【詳解】解：連接。。交AC于M如圖，。是弧AC的中點，.?.3_LAC,.?.A/=C/，

/是直徑，/.ZC=90°,：.OD//BC,??ZD=NCRE,E是80的中點，:.BE=DE,

QNBEC=NDEF,；.,BCE-DFE(ASA),:.BC=DF,

I113

Q0F=-BC,/.OF=-DF,OF=-DO,設(shè)3C=x,則OO=-x,

2232

.\AB=2OD=3x,在RlZ\A8C中，AB2=AC2+BC2,

.\(3X)2=(4V2)2+X2,解得X=2,即3C=2,故選：C.

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一

組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，也考查了垂徑定理.

6.[2025?山西運城??？既?在「。中，弦/W和CD相交于P,且AB_LC。，如果AP=4,P3=4,CP=2,

那么0。的直徑為()

A.4B.5C.8D.10

【答案】D

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論可知，。的直徑為CO,連接A。、BC,如圖所示，根據(jù)同弧所對的圓周角

相等可得NQA尸=N8CP,從而得到AAPDcACPB,利用相似比代值求解即可得到答案.

【詳解】解：AB1CD,”=4=尸8，..?根據(jù)垂徑定理的推論可知，。的直徑為CD，

連接4。、BC,如圖所示：..80=80，?.?N￡>4P=NBCP.

4PD

AP=4,PZ?=4,CP=2,/.-=——，解得尸。=8,.\C￡)=PC+ra=2+8=10,故選：D.

24

【點睛】本題考查圓中求線段長，涉及同弧所對的圓周角相等及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周

角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

7.(2025?湖北孝感?校考一模)如圖,48,CO是。。的弦，延長A&CZ)相交于點P.已知NP=30。，44OC=80。，

【答案】C

【分析】如圖，連接OB,OD,AC,先求解NQ4C+NOC4=1()0。，再求解NB4O+NPCO=50。，從而可

得/8Q4+NCOO=260。，再利用周角的含義可得/80。=360。-80。-260。=20。，從而可得答案.

團Z40c=80°,0Z^4C+ZOC4=1OO°,0ZP=3OO,ZPAOZPCO=50°,

團。4=08,OC=OD,^ZOBA=ZOAB,ZOCD=ZODC,

^Z.OBA+ZODC=50°,0ZBtt4+ZCOD=26O°,

0ZBOD=360°-80°-260°=20°.團80的度數(shù)20°.故選：C.

【點睹】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的闿質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓

心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵.

8.（2025?浙江?模擬預(yù)測）如圖，.?■BC內(nèi)接于QO,ZC=30°,NB4c=45。，8D_LAC于點。.若的

長為&，則CO的直徑為（）

B.2C.4D.4及

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，連接40,80,先證AOB

是等邊三角形，再解RLAO8求;IIAK的長，從而得解，作輔助線構(gòu)造等邊三角形；.AOB是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】連接AO,〃O.ZC-30°,ZAOZ?-2ZC-60°,

OA=OB,：.408是等邊三角形，AAB=AO.

N4AC=45。，BDA.AC,8。=&，---sinABAC=sin450=—=—

AB2

：,AB=?BD=2，：?。的直徑為4.故選：C.

9.（2025?廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖，團O的半徑為4,更徑48與直徑CD垂直，P是人q上一點，連接PC,

,則B廠的長為（)

八?半

B.V17C.2百。售

【答案】A

【分析】本題主要考查圓周角定理、解直角三角形等知識，連接BZ),過點F作FH工BD,證明

1FH

tanZPBD=tanZ.PCD=-=—,設(shè)=則由7=2〃?，構(gòu)建方程求出/〃，即可求解.

2BH

【詳解】解：連接身)，過點尸作尸于”.^ABICD,3N￡OC=90°,

回CE=26，OC=4,SOE=y）EC2-OC2=^2^-42=2,0tanZECO=-^|=|,

IFH

@"CD=/FBD,0tanZPI3D=tanZ.PCD=-=一，

2BH

設(shè)FH=m,則4"=2〃？，僅07）=08,ZDOB=90°,0ZFDH=45°,

團ZFW=90。，"HFD=/HDF=450,色HF=HD=m,

刈in+2m=yplOB=4>/2，Eiti=，0BF=VFH'+BH2==\[5ni=?故選：A.

10.（2025?廣東?九年級課時練習(xí)）如圖，△4C73中，CA=C8=4,/ACB=90。，點戶為CA上的動點，連

BP,過點4作人于當(dāng)點〃從點C運動到點A時，線段8M的中點N運動的路徑長為（）

加

A.----nB.J5nC.百7tD.27c

2

【答案】A

【詳解】解：設(shè)的中點為Q,連接NQ,如圖所示：

TN為8"的中點，Q為A3的中點，.?.NQ為△84M的中位線，

VX/W1BP,:.QNLBN,/.ZQNB=90a,

???點N的路徑是以QB的中點O為圓心，2A8長為半徑的圓交C8于。的QO,

'：CA=CB=4,ZACB=90°,:?AB=6CA=4母,ZQBD=45°,：.ZDOQ=90°,

???QD為。。的!周長，，線段的中點N運動的路徑長為：竺衛(wèi)竺=顯式,故選：4.

"780"T

：.MELMF，即NEM尸=90。，.??點M在以防為直徑的半圓上，

:.EF=-AB=\0,.?.點M的運動路徑長為，x2;rx5=5/r,故答案為：5不.

22

11.（2024上?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末）如圖，用一塊直徑為4米的四來布平鋪在對角線長為4米的正方

形桌面上，若四周下垂的最大長度相等，則這個最大長度x為米（用根號表示）.

【答案】2-近

【分析】本題考查正方形和圓的性質(zhì)、三角函數(shù)等，解題的關(guān)鍵建立幾何圖形與實際問題的對應(yīng)關(guān)系.

根據(jù)正方形與圓的性質(zhì)、正弦函數(shù)關(guān)系等求解即可.

【詳解】四來布展平后的俯視圖婦下.

根據(jù)題意可知，正方形A8C。的對角線AC恰好等于。的直徑，AC=4,OF1AB,最大長度戈=所.

團AC為正方形A8CQ的對角線，乂是。的直徑，^^OA8=45\OA=^AC=2.

由。F_LAB知△Q4石是直角三角形，回OF=Q4.sinNQ4B=2xsin450=J5，

又區(qū)0/=。4=2,^x=EF=OF-OE=2-y/2（米）故答案為：2-拉.

12.（2024?福建福州??？?模）?座拱橋的輪廓是?段半徑為250m的圓?。ㄈ鐖D所示），橋拱和路面之間用

數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面人B氏度為300m,那么這些鋼索中最長的一根為m.

■路面

丁“拱

【答案】50

【分析】設(shè)圓弧的圓心為。，過。作"LAB「C,交ABTD,連接。4,先由垂徑定理得

AC=8C=：A8=150,再由勾股定理求出OC=200,然后求出8的長即可.

【詳解】解：設(shè)圓弧的圓心為。，過。作OC_LAH于C,交AB于。，連接。4,如圖所示：

則04=00=250,AC=BC=^AB=\50,0OC=yj0A2-AC2=V2502-1502=2(X)(m),

0CD=6>D-OC=25O-2OO-5O(m),即這些鋼索中最長的一根為5(hn,故答案為：50.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?浙江麗水?統(tǒng)考二模）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測量球的半徑.嘉嘉經(jīng)過思

考找到了測量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高CO=12cm,底面內(nèi)徑8c=8cm,球的最

高點E到瓶底的距離為20cm，則球的半徑為cm.

【答案】5

【分析】連接。。，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理即可求得。。長.

【詳解】解：如圖所示，連接O。，設(shè)圓的半徑為，

EG=20-12=8,.\OG=8-r,A￡>=8,AD1EF,:.GD=4,

在RtZ\OG。中，DG2+OG2=DO2^即42+(8T)2=/，解得：r=5,故答案為：5.

【點睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，在圓內(nèi)利用垂直于弦的直徑構(gòu)造直角三角形是常用的軸助線方法.

14.(2025?山東?模擬預(yù)測)如圖，O的半徑為4,四邊形A8C。內(nèi)接于O,連接AC,8。.若幺=50。,

48=&尸，則劣弧8。的長為.

【分析】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，弧長公式，由圓周角定理可得NA8O=NACO=80。，

即可得到N/MD=50。，進而得到N30D=100。，再據(jù)弧長公式即可求解，掌握弧長的計算公式是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接OB,OD.

0NACD和NABD為A力所對的圓周角，,ZABD=ZACD=80°,

ZADB=50°,.-.Za4￡）=180o-ZABD-ZA￡>B=50o,.?48=2/840=100。，

如。的半徑為4,?.?劣弧8。的長為噌9=張.故答案為：當(dāng)乃.

1ol）99

15.（2025?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載："執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之

美.如圖，正方形A3CQ的面積為2,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A9CQ',若

A":A8=2:1,則四邊形ATTCTT的外接回的周長為.

【答案】4元

【分析】根據(jù)正方形4BCO的面積為2,求出48=夜，根據(jù)位似比求出48=2夜，周長即可得出;

【詳解】解：連接AC,則4c是四邊形的外接圓的直徑.

C

,?正方形48co的面積為2,AB=0，A?:4B=2:1,A8'=B'C'=2近，

?-A,C=ylA,B,2+BfC,2=4?團四邊形AB'C'D的外接圓的周長=4仁萬=4%；故答案為：44.

【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關(guān)鍵求出正

方形ABCO的邊長.

16.（2025?廣東清遠?統(tǒng)考二模）如圖，。的直徑A8和弦CO垂直相交于點E,CO=40，于點

F,交A8于點G,且OG=1,則。的半徑長為.

【答案】3

【分析】連接AC,BC,0C,根據(jù)垂徑定理和圓周角定理得到CE=OE=2右，BC=BD，Z4Cfi=90°,

求出NB=NAGF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3C=CG.GE=EB,設(shè)OE=x,根據(jù)勾股定理得

OC2=CE2+OE2,求出工即可.

【詳解】解：連接AC,BC,OC,

O的直徑AB和弦CD垂直相交于點E,CD=g

?*-CE=DE=2s/2^BC=BD，Z4CB=90°,..N8+NC48=90。，ZCAB=ZDAB,

CFLAD,「.NG用=90。，AZDAB+ZAGF=90°,AZB=ZAGF,

ZCGB=ZAGF,：.4B=4CGB,:.BC=CG,ABLCD,：.GE=EB,設(shè)OE=x,

OG=1??,?GE=BE=x+1,OC=OB=x4-x+1=2x+1,

在RL.OCE中，由勾股定理得：OC'CE'OE"即（2x+l『=（2夜丫+，，

7

解得：x=l或x=-§（不符合題意，舍去），.?.00=2x1+1=3,

即。0的半徑長為3,故答案為：3.

【點睛】本題考杳了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出

輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

17.（2025?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的。中，弦CZ）平行于弦A8,AB=4^cm,NBOD=90°,

則AB與CO之間的距離是cm.

【答案】26+2或26-2

【分析】根據(jù)題意，分析兩種AB的位置情況進行求解即可：

【詳解】解：①如圖，AB//CD,過點。作GH_L/\A、GHLCD

在。。中囪48=90。，GHA.AB.GHZGOB+ZDOH=90°3Z.GOB=Z.ODH

"OGB=NDHO

回乙GOB=乙ODH0=^DHO（AAS）^BG=OH^\OG1.ABTOH=BG=、AB=26

OB=OD

0OG=JOB2-BG2=yj42-（2>/3）：=2l3G"=O”+OG=2G+2

鉆與CD之間的距離即與C。之間的距離為26+2

②如圖，作Ob_LA8、PDVAB,連接AQ則有四邊形。以。是矩形，也E/三PD

^ZBOD=90°^ZBAD=45°^PD1AB^AP=PD

^OF±A8^BE=^AB=2^^OE=ylOB2-BE2=^42-（2^=2

回（^一產(chǎn)+小:團42=（2+P/）），（26-PO），PD=2>/5—2故答案為：26+2或2石—2

【點睛】本題圓的的性質(zhì)、三角形的全等，勾股定理，掌握相關(guān)知識并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，A8是。的直徑，點C是BZ）的中點，CEJLAB于點E,BD交

CE于點F.⑴求證：CF=BF；Q）若BE=0E=3,求其。的長度.

r

【答案】（1）見解析（2）2兀

【分析】⑴由/W是：。的直徑，則NAC8=90。，而CE/AB,所以NR4C=NBCE：由點。是80的中點，

得到N￡>8C=N84C,于是NBCE=/DBC,即可得到b=8F；

OF1

（2）連接?！?gt;,OC,BE=0E=3,可得圓的半徑為6,在直角三角形EOC中，由以《/。?！?方不=不，可

WZCOE=60°,進而推出4QQ等于60。，再用弧長公式求解即可.本題考查了圓周角定理，等腰三角形

的判定，解直角三角形，弧長的計算，難度適中.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【詳解】（1）證明：4?是。。的直徑，.?.ZACB=9O°,

乂CE/A/,ZBCE+ZECA=^BAC+ZECA=9（）,：.^BCE=^BAC,

點。是80的中點，:.ZDBC=ZBAC,:.ZDBC=ZCDB,.\ZBCE=ZDBC,：.CF=BF

(2)解：連接0。，OC,BE=OE=3,:.OB=BE+OE=3+3=6,

21

OB=OC,/.cosZCOE=—=-=ZCOE=60°.

OC62

點。是8。的中點，:.^DOC=ZCOE=6（）,

,,460°^x6-

ZAOD=180-ZDOC-ZCOE=60，的長度=.校門。=2兀.

1oU

19.（2025?廣東?模擬預(yù)測）如圖，。中兩條弦A。，8c互相垂直，垂足為〃，M為A8的中點，連接

并延長交CO于點N.⑴求證：MNJLC/）；（2）連接OM,求笑的值.

K--L-/

【答案】（1）證明見解析（2）嚕=：

【分析】（1）本題根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，得到M4=M3=M”，推出NM47/=ZM〃4,

利用同弧所對的圓周角相等推出ZB=〃，對頂角相等得到NZ）〃N=NMH4,最后進行等量代換，即可解

題.（2）本題過點。作。E_LC￡>于點￡,連接AC,OB,OC,OD,OA.利用圓周角定理和等腰三角形

性質(zhì)推出NZX史=ND4C,NBOM=ZACB,利用角的等量代換得到NO8W=NDQE,證明

△OBM名ADOE,最后結(jié)合全等三角形性質(zhì)和垂徑定理，即可解題.

【詳解】（1）解：AHA.BC,M為48的中點，.?.M4=M8=M〃，=

ZB=/D,4DHN=4MHA,:.NDHN+/D=NB+NMAH=90°,.MNLCD.

(2)解：過點。作OE_LC。于點￡,連接AC,OB.OC,OD,OA.

NDOE=；NDOC,NQAC=g/OOC,:.NDOE=/DAC.同理得ZBOM=ZAC3.

.ZACT+ZfMC=90°,/.ZDOE+ZBOM=90°.ZBOM+ZOBM=90°,..NOBM=NDOE.

又-/OMB=/OED=900,OB=OD,/.AOBM^AZX）E（A45）,;.OM=DE=；CD,即詈=g.

【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半、等腰三角形性質(zhì)、同弧所對的圓周角相等、對

頂角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形.

20.（2025?廣西南寧?九年級?？计谥校╉椖炕瘜W(xué)習(xí)：車輪的形狀

［問題提出］車輪為什么要做成圓形，這里面有什么原理？

［合作探究］

_I___________sy“c

A4

圖1圖2圖3圖4

（1）探究A組：如圖1,圓形車輪半徑為6cm,其車輪軸心O到地面的距離始終為5"；

（2）探究B組：如圖2,正方形車輪的軸心為O,若正方形的邊長為6cm,求車輪軸心。距離地面的最高

點與最低點的高度差；

（3）探究。組：如圖3,有一個破損的圓形車輪，半徑為6cm,破損部分是一個弓形，其所對圓心角為90。，