20232024學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列

第一單元：表面涂色的正方體(染色問題)專項練習

(解析版)

一、填空題。

1.一個正方體表面涂滿了黃色，把每條棱平均分成4份，切成了很多個小正方

體，這些小正方體中，兩面涂色的有()個。

【答案】24

【分析】兩面涂色的小正方體在大正方體的每條棱上除去兩端的兩個，正方體

有12條棱，把每條棱平均分成4份，兩面涂色的正方體個數(shù)為：12X(4-2)

個，據(jù)此解答。

【詳解】12X(4-2)

=12X2

=24(個)

一個正方體表面涂滿了黃色，把每條棱平均分成4份，切成了很多個小正方

體，這些小正方體中，兩面涂色的有24個。

【點睛】本題考查表面涂色的正方體的個數(shù)問題，明確涂色面數(shù)與正方體的位

置關系是解答本題的關鍵。

2.把一個表面涂色的正方體的每條棱長平均分成5份，再切成同樣大的小正方

體，其中只有一面涂色的正方體有()塊；三面涂色的正方體有

()塊。

【答案】548

【分析】根據(jù)題意，把正方體每條棱都平均分成5份，就是把這個正方體平均

分成5X5X5=125個小正方體；根據(jù)正方體的特征可知，正方體有12條棱，

每條棱上有5個小正方體，3面涂色的小正方體在頂點處，一個面涂色的小正

方體在每個面的中間，每個面上有(5-2)X(5-2)=9個小正方體，6個面

上54個一個面涂色的小正方體；即可解答。

【詳解】(5-2)X(5-2)X6

=3X3X6

=54（塊）

3面涂色的小正方體在頂點處，正方體有8個頂點，所以三面涂色的正方體有8

塊

即把一個表面涂色的正方體的每條棱長平均分成5份，再切成同樣大的小正方

體，其中只有一面涂色的正方體有54塊；三面涂色的正方體有8塊。

【點睛】本題主要考查表面涂上的正方體，明確3面涂色的小正方體在頂點

處，一個面涂色的小正方體在每個面的中間是解期的關鍵。

3.將一個長方體表面涂上油漆再分割成小正方體（如圖），每個小正方體三個

面涂上油漆的有（）個，兩個面涂上油漆的有（）個。

【答案】812

【分析】觀察圖形可知，3面涂色的在頂點處，2面涂色的在長方體的棱上（不

包括頂點處正方體），1面涂色的在這個長方體的6個面上（不包括頂點以及

棱長的正方體），由此可知，這個長方體3面涂色有8個，2面涂色的在4條

棱上，其余8條棱上沒有2面涂色，每條棱上有3個兩面涂色，據(jù)此解答。

【詳解】三面涂油漆有8個；

2面涂油漆有：3X4=12（個）

將一個長方體表面涂上油漆再分割成小正方體（如圖），每個小正方體三個面

涂上油漆的有8個，兩面涂上油漆的有12個。

【點睛】本題考查表面涂色的長方體，解題的關鍵是理解：3面涂色的在頂點

處，2面涂色的在棱長上，1面涂色的在這個長方體的6個面上。

4.一個表面涂色的正方體，照右圖的樣子把它分割成若干個同樣大小的小正方

體，切成小正方體的總個數(shù)是（）個，其中有（）個3面涂色的

小正方體，（）個2面涂色的小正方體，：）個1面涂色的小正

方體。

【答案】

【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)正方體的體積=棱長x棱長義棱長，用4X4X4

即可求出被切成的小正方體的塊數(shù)；

三個面均為油漆的是各頂點處的小正方體，長方體有8個頂點，所以三面涂色

的有8個；

在各棱處，除去頂點處的正方體，其他的是兩面油漆，棱長被切成4個小正方

體，所以每條棱有(4-2)個兩面油漆的小正方體，所以用(4-2)X12即可

求出有幾個兩面涂色的小正方體；

在每個面上，除去棱上的正方體都是一面油漆，用(4-2)X(4-2)X6即

可求出幾個一面涂色的小正方體。

【詳解】4X4X4=64(個)

(4-2)X12

=2X12

=24(個)

(4-2)X(4-2)X6

=2X2X6

=24(個)

小正方體的總個數(shù)是64個，其中有8個3面涂色的小正方體，24個2面涂色

的小正方體，24個1面涂色的小正方體。

【點睛】此題主要考查了染色問題，解題的關鍵是抓住三面涂色的在頂點處，

兩面涂色的在棱長上，一面涂色的在正方體的面中間上。

5.把一個長5厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體表面涂色后，再沿著棱平均

分成若干個棱長為1厘米的正方體，這些涂色正方體中兩面涂色的有

()個，一面涂色的有()個。

【答案】2422

【分析】長方體的長、寬、高上分別切割成5個、4個、3個小正方體，根據(jù)立

體圖形的切拼知識可知：三個面均涂色的是各頂點處的小正方體，在各棱處，

除去頂點處的正方體都是兩面涂色，在每個面上，除去棱上的正方體都是一面

涂色，沒有涂色的小正方體在里面；根據(jù)上面的結(jié)論，即可求得答案。

【詳解】54-1=5(個)，44-1=4(個)，3i=3(個)

一個六面都涂色的魔方一共由64個相同的小正方體組成，其中一面涂色的有

24個小正方體，兩面涂色的有24個小正方體。

【點睛】大正方體每條棱上面都有n個小正方體，三面涂色的塊數(shù)與頂點數(shù)相

同永遠都是8個；兩面涂色的塊數(shù)與棱有關，即(n—2)X12；一面涂色的塊

數(shù)與面有關：即(n-2)X(n-2)X6,；沒有涂色的小正方體(n-2)X

(n—2)X(n—2)。

7.一個表面涂成紅色的大正方體，把它全部切成若干個棱長為1厘米的小正方

體。小正方體中，如果兩面涂色的有84個，那么一面涂色的有()個。

【答案】294

【分析】用84?12,求出大正方體一條棱上有幾個兩面涂色的小正方體，再加

上頂點兩個三面涂色的小正方體，求出大正方體的棱長平均分成幾份，再根據(jù)

一面涂色的小正方體個數(shù)公式：個數(shù)=(分的份數(shù)一2)X(分的份數(shù)-2)X

6,即可求出一面涂色的小正方體的個數(shù)。

【詳解】844-12+2

=7+2

=9

大正方體的棱長平均分了9份。

(9-2)X(9-2)X6

=7X7X6

=49X6

=294(個)

一個表面涂成紅色的大正方體，把它全部切成若干個棱長為1厘米的小正方

體。小正方體中，如果兩面涂色的有84個，那么一面涂色的有294個。

【點睛】解答本題的關鍵是求出大正方體棱被平均分成的份數(shù)，進而解答。

8.一個棱長是4cm的正方體，表面涂滿紅色，如果把它切成棱長是1cm的小正

方體，那么其中三面涂有紅色的小正方體有()個，沒有面涂紅色的小

正方體有()個。

【答案】88

【分析】因為切成棱長是1cm的小正方體，所以每條棱上有4個小正方體，因

為三面有紅色的小立方體只能在8個頂點上，所以三面涂色的小正方體有8

個；沒有面涂紅色的小正方體在內(nèi)部，每條棱由4一1一1個小正方體組成；據(jù)

此解答。

【詳解】由分析可得：一個棱長是4cm的正方體，表面涂滿紅色，如果把它切

成棱長是1cm的小正方體，那么其中三面涂有紅色的小正方體有8個；，沒有

面涂紅色的小正方體有(4-1-1)X(4-1-1)X(4-1-1)=2X2X2=8

個。

【點睛】本題主要考查表面涂色的正方體，明確各部分所在位置是解題的關

鍵。

9.一個棱長為4分米,表面涂色的正方體，如果把每條棱都平均分成4份，切

割成若干個棱長為1分米的小正方體，其中兩面涂色的小正方體有()

個。

【答案】24個

【分析】兩面涂色的小正方體在大正方體的每條棱上除去兩端的兩個，正方體

有12條棱，兩面涂色的正方體個數(shù)為：12X(4-2)個，計算解答。

【詳解】12X(4-2)

=12X2

=24(個)

一個棱長為4分米、表面涂色的正方體，如果把每條棱都平均分成4份，切割

成若干個棱長為1分米的小正方體，其中兩面涂色的小正方體有24個。

【點睛】本題考查表面涂色的正方體的個數(shù)問題，明確涂色面數(shù)與正方體的位

置關系是解題的關鍵。

10.給一個棱長8dm的正方體表面涂上紅色，如果把它切割成棱長2dm的小正

方體，一共能切成()塊，只有一面涂色的有()塊。

【答案】6424

【分析】因為8+2=4,所以大正方形每條棱長上都有4個小正方體，再根據(jù)

正方體體積公式：V=棱長義棱長義棱長，代入數(shù)值可以求出總共有多少個小正

方體；根據(jù)正方體特征可知：三面涂色的是每條棱頂點處的小正方體，在每條

棱上，除去頂點處的正方體，剩下的就是兩面涂色的，在每個面上，除去棱上

的所有正方體，剩下的都是一面涂色，所有的小正方體的塊數(shù)減去有色的小正

方體的塊數(shù)，就是沒有涂色的小正方體塊數(shù)，據(jù)此解答即可。

【詳解】由分析可得：

總共有的小正方體數(shù)量：

4X4X4

=16X4

=64（塊）

因為在每個面上，除去棱上的所有正方體，剩下的都是一面涂色，所以一面涂

色的正方體個數(shù)有：

（4-2）X（4-2）X6

=2X2X6

=4X6

=24（塊）

綜上所述：給一個棱長8dm的正方體表面涂上紅色，如果把它切割成棱長2dm

的小正方體，一共能切成64塊，只有一面涂色的有24塊。

【點睛】本題主要考查了正方體表面涂色的問題，需要學生首先熟練掌握正方

體的特征，其次要會結(jié)合正方體的特征知道表面涂色的規(guī)律。

11.一個正方體的棱長是6厘米，它的體積是（）立方厘米。將它表面

涂漆，然后將每條棱平均分成3份（如圖），切開后三面涂色的正方體有

）個。

【分析】（1）體積=棱長X棱長X棱長，據(jù)此求出即可；

（2）根據(jù)立體圖形的切拼知識可知：三個面均為紅色的是各頂點處的小正方

體，據(jù)此求出即可。

【點睛】抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點：一面涂色的在面上，兩

面涂色的在棱長上（除去頂點處的），三面涂色的在頂點處，沒有涂色的在內(nèi)

部，由此即可解決此類問題。

12.給一個棱長8分米的正方體表面涂上紅色，如果把它切割成棱長2分米的

小正方體，三面涂色的有（）塊，兩面涂色的有（）塊。

【答案】824

【分析】根據(jù)題意，把棱長8分米的正方體切割成棱長2分米的小正方體，相

當于把大正方體的每條棱分成8?2=4份。兩面涂色的小正方體都在大正方體

的棱上（頂點除外），則1條棱上有4-2=2塊，再乘12條棱即可求得兩面涂

色的塊數(shù)；三面涂色的小正方體在每個正方體的頂點處，則有8個，由此即可

解答。

【詳解】由分析可知：

（4-2）X12

=2X12

=24（個）

所以三面涂色的有8塊，兩面涂色的有24塊。

【點睛】本題主要考查表面涂色的正方體，通過探索規(guī)律，提升學生數(shù)學思維

能力，發(fā)展空間想象力。

13.一個棱長為5厘米的正方體的表面涂色，將它切成棱長為1厘米的小正方

體，表面沒有涂色的正方體有（）個。

【答案】27

【分析】因為5X5X5=125個；所以大正方體每條棱長上面都要5個小正方形

體；根據(jù)立體圖形的知識可知：三個面均涂色的是各頂點處的小正方體；在各

棱處，除去頂點處的正方體的有兩面涂色，在每個面上，除去棱上的正方體都

是一面涂色的；所以用小正方體的總個數(shù)減去涂色的小正方體的個數(shù)，即可求

出沒有涂色的小正方體的個數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】一共有小正方體的個數(shù)：5X5X5

=25X5

=125（個）

三面涂色的有：1X8=8（個）

兩面涂色的有：（5-2）X12

=3X12

=36（個）

一面涂色的有：（5-2）X（5-2）X6

=3X3X6

=9X6

=54（個）

沒有涂色的有：125—8—36—54

=117-36-54

=81-54

=27（個）

一個棱長為5厘米的正方體的表面涂色，將它切成棱長為1厘米的小正方體，

表面沒有涂色的正方體有27個「

【點睛】此題主要考查表面涂色的正方體個數(shù)，考查空間想象能力，掌握規(guī)律

是解題關鍵。

14.小明把一塊長8厘米，寬5厘米，高1厘米的長方體木塊的表面涂上紅

色，再把它切成棱長1厘米的小正方體，這些正方體中三面涂色的有

（）塊。

【答案】18

【分析】一個長方體被切成若干個小正方體，三面涂色的小正方體是長方體的

最外邊的兩行和兩列，其中四個角的小正方體不算在內(nèi)。

【詳解】8+1=8（列）

54-1=5（行）

C8-2+5-2）X2

=9X2

=18（塊）

這些正方體中三面涂色的有18塊。

【點睛】此題主要考查學生對表面涂色立體圖形的認識，根據(jù)實際情況，判斷

三面涂色部分屬于長方體的外邊部分，并且4個角的小正方體除外。

15.一個表面涂色的正方體，按每條棱分成6等份切成同樣大的小正方體。在

切成的小正方體中，2面涂色的有（）個，3面涂色的有（）個。

【答案】488

【分析】根據(jù)正方體表面涂色的特點，可知：沒有涂色的面在正方體的內(nèi)部；

兩面涂色的面在每條棱上（除去頂點處的小正方體）；三面涂色的面在每個頂

點處，故有幾個頂點就有幾個三面涂色的面，據(jù)此解答。

【詳解】2面涂色的面：（6-2）X12

=4X12

=48（個）

2面涂色的有48個，3面涂色的有8個。

【點睛】明確：三面涂色的面在頂點處，兩面涂色的面在每條棱的中間是解答

本題的關鍵。

16.將一個表面涂色、棱長為10厘米的正方體切成棱長為2厘米的小正方體，

一共可以切成（）塊。其中兩面涂色的正方體有（）塊，三面涂

色的正方體有（）塊。

【答案】

【分析】棱長為10厘米的正方體切成棱長為2厘米的小正方體，每條棱被平分

成了5份，所以切的塊數(shù)=5X5X5,兩面涂色的在原來大正方體棱長上除去兩

端的小正方體上，所以每條棱上有5—2=3（塊），一共12條棱，所以兩面涂

色的小正方體一共有12X3=36（塊），三面涂色的正方體在原來大正方體的

頂點上，正方體有8個頂點，所以三面涂色的正方體有8塊，據(jù)此解答。

【詳解】10+2=5（塊），5X5X5=125（塊）,一共可以切成125塊。

（5-2）X12

=3X12

=36（塊），其中兩面涂色的正方體有36塊。

三面涂色的正方體有8塊。

【點睛】此題考查了表面涂色的小正方體的塊數(shù)計算，明確每一種涂色小正方

體所在位置是解題關鍵。

二、解答題。

17.把一個長9分米、寬7分米、高4分米的長方體，截成棱長是2分米的正

方體，最多可以截多少個？可以畫圖想一想，再算一算。

【答案】24個

【分析】以長為邊，最多能截9+2=4（個）……1（分米），以寬為邊，最多

能截7+2=3（個）……1（分米），以高為邊，最多能截4+2=2（個），再

把每條棱上截的個數(shù)相乘即可計算。

【詳解】94-2=4（個）……1（分米）

7+2=3（個）……1（分米）

4+2=2（個）

4X3X2

=12X2

=24（個）

答：最多可以截24個。

【點睛】此類問題，先求出每條棱長上最多能截成的小正方體的個數(shù)，再把每

條棱上截成的個數(shù)相乘即可計算出最多可以截成的個數(shù)。

18.把一個大正方體木塊的外表涂上紅色，然后分成若干個棱長為1厘米的小

正方體，其中只有一面涂色的小正方體有96個。這個大正方體中沒有涂色的小

正方體一共有多少個？

【答案】64個

【分析】由于兩面涂色的小正方體處在12條棱的中間，所以用96除以12求出

每條棱的中間小正方體的個數(shù)，然后再加上2求出每條棱上小正方體的個數(shù)。

【詳解】