第22章二次函數(shù)單元試卷2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.拋物線y=X2+4%-7與無軸的交點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法判斷

2.拋物線y=二十3的對稱軸是（）

A.x軸B.y軸C.直線y=xD.直線y=-x

3.對于二次函數(shù)y=3/+2,下列說法錯誤的是（）

A.最小值為2B.圖象與y軸沒有公共點

C.當(dāng)％v0時，y隨”勺增大而減小D.其圖象的對稱軸是、軸

4.已知點4（1,y］），B（2/2），C（-2,乃）在拋物線y=-（%+1）2+九上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.y3>yi>yzB.y3>y2>乃c.yA>y2>D.y2>yi>73

5.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=2)2的圖象可能是()

6.將拋物線、二%2-2%+3向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為

A.y=(%—2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2+4D.y=x2—1

7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)的圖象與％軸交于點(1,0),(3,0),則關(guān)于“的方程a/+bx+c=0的解

為()

A.=1,%2=3B.xj=1,%2=-3

C.=—1,犯=3D.Xj=-1,x2=—3

8.已知二次函數(shù)、=ad+b%+c(a工0)的最小值為2,則()

A.a>0,b2—4ac=0B.a>0,b2—4ac<0

C.?<0,b2-4ac=0D.a<0,b2-4ac>0

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點力（2,4）在拋物線3/=。%2上，過點A作y軸的垂線，交拋物線另一側(cè)于點兒

點C,0在線段718上，且關(guān)于y軸對稱，分別過點C,。作%軸的垂線交拋物線于E,F兩點，則四邊形COFE

周長的最大值為()

A.8B.10C.2/3-2D.8/5-8

10.為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀(如圖所示)，對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y

軸對稱，力E〃x軸，48=4cm,最低點C在％軸上，高CH=1cm，8D=2cm,則右輪廓山咕所在拋物線

A.y=1(x-3)2B.y=i(x-3)2C.y=-1(x-3)2D.y=-1(x-3)2

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

11.已知函數(shù)y=-2(M+3)2+5,當(dāng)“時，y隨工的增大而增大.

12.拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表：

X…-4-2024???

y???mn7H10???

由表可知，拋物線與％軸的一個交點的坐標(biāo)是(4,0),則拋物線與無軸的另一個交點的坐標(biāo)是_____.

13.二次函數(shù)y=(x-l)2,當(dāng)?shù)赩I時，y隨“的增大而.(填“增大”或“減小”)

14.若拋物線y=a/+c與y=-3/的形狀相同，開口方向相反：且其頂點坐標(biāo)是(0,2),則該拋物線的函數(shù)

解析式是

15.矩形的周長為8,則該矩形的面積y與矩形的寬工之間的函數(shù)關(guān)系式為.

16.對于二次函數(shù)y=-2爐+4,當(dāng)一2<%W1時，y的取值范圍是.

17.如圖，各拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：(Dy=ax2；?y=bx2;@y=ex2;g=d/上匕較a，b,

c,d的大小，用連接為.

2

18.已知拋物線y=-x+bx-5(b>0)上有4(t,yD，8(3,y2)，C(t+2,%)三點,且為>y2>-5,則t的取值

范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題6分)

已知拋物線y=-1X2-3X-1.

(1)求拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(2)x取何值時，y隨工的增大而增大？工取何值時，y隨工的增大而減小？

20.(本小題8分)

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=Q/的圖象交于點做巳⑴和耿-2,4).

(1)求兩個函數(shù)的解析式;

(2)求AAOB的面積.

(2)如果函數(shù)y=爐一20%+3(1WxW5)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)Q的值.

24.(本小題8分)

如圖，對稱軸為直線％=—1的拋物線y=%2+6%+。與％軸相交于4、B兩點，其中點力的坐標(biāo)為(一3,0).

(1)求點B的坐標(biāo)；

(2)求二次函數(shù)的解析式；

(3)已知C為拋物線與y軸的交點，設(shè)點Q是線段4c上的動點，作QC1%軸交拋物線于點D,求線段QD尺度的

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：???d=〃-4ac=4?-4x1x(-7)=44>0,

???拋物線y=x2+4x-7與x軸交點的個數(shù)是2,

故選:C.

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可解答.關(guān)鍵是確定拋物線的對稱軸，根據(jù)點到對稱軸

的距離的大小即可解答.

【解答】

解：???拋物線y=-0+1)2+九開口向下，對稱軸是直線％=-1，

.??拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值就越小，

%取2時所對應(yīng)的點離對稱軸最遠(yuǎn)，x取-2時所對應(yīng)的點離對稱軸最近，

???丫3>y2-

故選:A.

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

【解析】解：,??二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象經(jīng)過點(1,0),(3,0),

?,?關(guān)于％的方程a*+bx+c=0的根為=1,上=3.

故選：A.

8.【答案】B

9【答案】B

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線的對稱性及四邊形周長的計算，熟練掌握二次函數(shù)的表達(dá)

式求解與最值分析是解題的關(guān)鍵.先求出拋物線表達(dá)式，設(shè)出點C坐標(biāo)，進而表示出其他點坐標(biāo)，得出四邊

形1周長的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.

【詳解】解：把力(2,4)代入、二g2,得4=QX22,

解得Q=1，

???拋物線表達(dá)式為y=/.

設(shè)C(t,4)(0VtW2),

???點C,。關(guān)于y軸對稱，

:.D(-t,4),

過點。作x軸垂線交拋物線于E,則5?,岸)，過點。作x軸垂線交拋物線于凡則/(-亡,尸).

2

ACD-2t,CE=4—t,

:.DF=CE=4-t2,EF=CD=23

四邊形CDFE周長A=2(CD+CE)=2(2t+4-t2),

=-2t2+4￡+8,

???二次項系數(shù)2<0,開口向下，對稱軸為直線￡=—天息=1。

2X(一，)

2

.??當(dāng)t=1時，Lmax=-2xl+4xl+8=10.

故選：B.

10.【答案】B

11.【答案】〈一3

12.【答案】(一8,0)

【解析】解:由圖表可知，橫坐標(biāo)工=-4和x=0對應(yīng)的縱坐標(biāo)均為m,

則拋物線的對稱軸為直線％=1(-4+0)=-2,

???拋物線與x軸的一個交點的電標(biāo)是(4,0),

???拋物線與%軸的另一個交點的橫坐標(biāo)為2x(-2)-4=-8,

則拋物線與刀軸的另一個交點的坐標(biāo)是(-8,0),

故答案為：(-8,0).

根據(jù)表格找出拋物線對稱軸，然后結(jié)合拋物線與％軸的一個交點的坐標(biāo)是(4,0),計算出拋物線與％軸的另一

個交點坐標(biāo).

本題考查了拋物線的對稱性，根據(jù)表格判斷出拋物線的對稱軸是解題關(guān)鍵.

13.【答案】減小

【解析1解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=(%-1)2的圖象如下:

拋物線y=(%-1)2的對稱軸為直線x=1,由圖象可以看出：

當(dāng)xvl時，即在對稱軸的左側(cè)，y隨"I勺增大而減小，

故答案為：減小.

利用二次函數(shù)的解析式畫出圖象，根據(jù)圖象解答即可.

本潁主要考杳了二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的風(fēng)想解答即可.

14.【答案】y=3x2+2

15.【答案】y=-%2+以

16.【答案】一4<y44

17.【答案】Q>b>d>c

18.【答案】或￡〉3

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.依據(jù)題

意，由-1<0,從而拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越大，又拋物線過力(￡,%),。。+2,月)，可得對稱軸

是直線%=等=亡+1.又力>力>一5,且拋物線過(0,—5),故〃+1-0|>|￡+1-3|>|￡+1—￡|,

再分類討論判斷即可得解.

【詳解】解：v-l<0,

???拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越大，

又?.拋物線過力(￡,%),C(t+2,yD,

.??對稱軸是直線X=上窮=t+1,

又力>及>一5,且拋物線過(0,-5),

/.|t+1—0|>|t+1—31>|t+1-t|,

|t+1|>|t-2|>1,

①當(dāng)t>2時，t+1>t--Z>1,

t>3；

②當(dāng)一1W￡W2時，t+1>2-t>1,

，"<t<1；

③當(dāng)t<-l時，一￡-1>2—￡>1,

???無解.

綜上所述，/vtv1或￡>3.

故答案為：：Vt<l或￡>3.

19.【答案】解：(l)y=-1x2-3x-1=-1(x+3)2+2,所以拋物線的開口向下，對稱軸為直線％=-3,

頂點坐標(biāo)為(一3,2).

(2)當(dāng)%<-3時,y隨工的增大而增大;

當(dāng)x>-3時，y隨匯的增大而減小.

【脩析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=Qh)2+k中，

其對稱軸為％=h,頂點坐標(biāo)為(h,k).

(1)把拋物線解析式化為頂點式可求得其頂點坐標(biāo)及對稱軸；

(2)依據(jù)開口方向及對稱軸，結(jié)合拋物線增減性可求得答案.

20.【答案】【小題1】

二次函數(shù)的解析式為y="2

一次函數(shù)的解析式為y=-x+2

【小題2】

3

21.【答案】【小題1】

解：將點A(2,0)代入y=x2+mx,得0=4+2m,

解得m=-2.

將點4(2,0)代入y=-X+b,得0=-2+b,

解得b=2.

【小題2】

由(1)得，直線和拋物線的解析式分別為y=—x+2,y=x2-2x,

聯(lián)立器d'

解啜二L嘯*

.?.點8的坐標(biāo)為(-1,3).

由圖象可知，不等式工2+血%>一萬+/)的解集為不〈一1或x>2.

【小題3】

或

-1<xM<2=3.

22.【答案】解：設(shè)塑料頂棚所在勉物線的解析式為y=a(x—6產(chǎn)+3.

將點0(0,0)代入拋物線解析式，得36a+3=0,解得a=-2.

.??拋物線的解析式為y=—白?！?尸+3.

當(dāng)x=8時，y=-^x(8-6)2+3=^.

答：保溫墻48的高度是丹米.

23.【答案】【小題1】

解：①?選①,?.?在y=-2%+3。25)中，一2<0,隨Hl勺增大而減小..?.當(dāng)x=5時，y取最大值，為一2x

5+3=-7,即函數(shù)y=—2%+3(x25)的上確界為一7.選③，???y=-+4%+1=—2(%—+3,.??當(dāng)

%-1時，y取最大值，為3,即函數(shù)y--2/+4x+1的上確界為3.

【小題2】

,?唯數(shù)y=x2-2ax4-3(1<x<5)是以3為上確界的有上界函數(shù)，二當(dāng)14x45時，函數(shù)y=x2-2ax+3

的最大值為3.?.?函數(shù)y=x2-2ax+3(l<x<5)的對稱軸為直線工=a,謂a<1,則當(dāng)x=5時，函數(shù)取

最大值，???25—10Q+3=3,解得Q=2.5(不符合題意，舍去)；②若。25,則當(dāng)％=1時，函數(shù)取最大值,

l-2a+3=3,解得a=；(不符合題意，舍去)；彝1VQ<5,且Q-1N5-a,即3WQ<5時，

則當(dāng)工=1時，函數(shù)取最大值，二l-2a+3=3,解得Q=*不符合題意，舍去)；若Q-1<5-Q,即1VQ<

3時，則當(dāng)％=5時，函數(shù)取最大值，.??25-10Q+3=3,解得Q=25綜上