4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=log<MQO,且。聲1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+8).

知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

，寸數(shù)函數(shù)y=log<Ma>(),且"21)的圖象和性質(zhì)如下表:

y=loga.v(a>0,且a#1)

底數(shù)a>\0<?<1

X=1

p',；)A=logHa>l)

圖象1(1.0)

°\Zd.O)

y=logjr'

T((Xa<l)

定義域(0.+-)

值域R

單調(diào)性在(0，+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

共點(diǎn)性圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0

工￡(()』)時(shí)，j€(-co,o)：3￡(0』)時(shí)，y￡((),4-oo)：

函數(shù)值特點(diǎn)

x￡[l,+8)時(shí)，舊o,4-oo)國(guó)1,+8)時(shí)，J,￡(-8,0]

函數(shù)y=logaY與y=log1.r的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

對(duì)稱(chēng)性

a

知識(shí)點(diǎn)三不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的相對(duì)位置

一般地，對(duì)于底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸;

對(duì)于底數(shù)0<。<1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)，底數(shù)越小越靠近x軸.

知識(shí)點(diǎn)四反函數(shù)的概念

一般地，指數(shù)函數(shù)且與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logM(a>0，且aWl)互為反函數(shù).

(1)丁=公的定義域R就是^=10&力的值域；而y=ax的值域(()，-8)就是y=lo^r的定義域.

⑵互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=a'(a>0,且1)與^=1。&亦(。>0,且a#1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

⑶互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)歹=d(a>0,且。#1)與y=lo&x(a>。，且〃工1)的單調(diào)性相同.但單調(diào)區(qū)間不一定

相同.

【基礎(chǔ)自測(cè)】

'函數(shù)十二)的定義域是,)

A.(1,2]B.(1,2)C.(2,+8)D.(一8,2)

【答案】B

x—1>0,(r>l,

【詳解】由，得???l<x<2...?函數(shù)的定.義域?yàn)?1,2).

2-x>0,k<2,

2.已知log]<log[〃<0,則()

A.n<m<\B.m<n<\

C.I<m<nD.I<n<m

【答案】D

【詳解】因?yàn)?』<1,log［加〈log1"0,所以，心〃>1,故選D.

222

3.函數(shù)y(x)=log“x+a2—2a—3為對(duì)數(shù)函數(shù)，則〃=.

【答案】3

/一2°—3=0,

【詳解】依題意有4>0,解得4=3.

4.如果函數(shù)/(x)=(3—?！放cg(x)=Iogj的增減性相同，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】\<a<2

【詳解】若人K),?X)均為增函數(shù)，

則‘3即l<a<2；

a>\,

(0<3—a<1y

若J(x)，g(x)均為減函數(shù)，貝小無(wú)解?

0<a<l,

故\<a<2.

5.函數(shù)/(x)=ln(l—2x)的單調(diào)減區(qū)間為

【答案】1-8,j

【例題詳解】

一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用

例I(1)下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

2

A.y=loga(2x)B.y=lgl()'C.y=\oga(x+x)D.y=\nx

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念即得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=lQ&X(a>0且為對(duì)數(shù)函數(shù)，

所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).

故選：D.

⑵若對(duì)數(shù)log(z)(4x-5)有意義，則x的取值范圍是()

A.B.C.2)或(2,但)D.[2,3]

【答案】C

【分析】由對(duì)數(shù)式有意義列不等式求”的取值范圍.

x-l>0

【詳解】由對(duì)數(shù)1。&1)(4."5)有意義可得,

4x-5>0

所以且x=2,

4

所以x的取值范圍為住2)U(2,z),

故選：C.

(3)已知對(duì)數(shù)函數(shù)歹=10^4(。>0且。工1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2),且該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x°,4),則實(shí)數(shù)的

值是.

【答案】9

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圖象上可求出。=百，進(jìn)而可求解與.

【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)歹=1砥X(〃>0且"1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2),

所以log“3=2解得4=石，

所以y=log3X,

可得l-3x>0,解得

故選：D.

(2)函數(shù)y=J-lg(-x)的定義域是()

A.(-8,0)B.(-1,0)C.[0,1)D.(-1,1)

【答案】C

【分析】由題可得,:電。；“"。，進(jìn)而即得.

l-x>0

【詳解】要使函數(shù)有意義，則

l-x>0

解得0Kx<l,即函數(shù)的定義域?yàn)?1).

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知集合4={田產(chǎn)4},5={x|y=ln|x-l|),則)

A.{x\x>0}B.{x|,v>l}

C.{x|(Xv<l或x>l}D.{X|0<A<1}

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)集合力、B,根據(jù)集合交集定義即可求出答案.

【詳解】由題意，4={MXN0},6={X|XH1},所以4C8={.MWK<1或X>1}.

故選:C

(2)函數(shù)y=在二/+槽(2：_3)的定義域?yàn)?

【答案】俘2)

4-X2^0

【分析】由解析式可得《2X-3>0,求解即可.

lg(2x-3)*0

乙2八[-2<x<2

4-X2>0

【詳解】由題意可得儼-3>0，故卜>53,即J3x<2.

lg(2x-3)^02

故函數(shù)y="^7+]g(2：_3)的定義域?yàn)镃'2).

故答案為：(T，2]

三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題

例3(1)若則函數(shù)y=bg“(x+6)的圖象不經(jīng)過(guò)()

A.第一象限B.第二象眼C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)平移性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖像即可求解.

【詳解】.?.函數(shù)歹=b&X在(0,+8)上單調(diào)遞增，圖像過(guò)一、四象限，

又因?yàn)楹瘮?shù)，=log.(x+b)的圖像是由函數(shù)歹=1陪x的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

而所以函數(shù)y=log0(x+6)的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限，

故選：D

(2)華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥?他曾說(shuō)："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入

微”.告知我們把"數(shù)"與"形"，"式"與"圖''結(jié)合起來(lái)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑.若函數(shù)/(、)=1限(工+功

(。>0且。工1/eR)的大致圖象如圖，則函數(shù)g(》)=「-6的大致圖象是()

【分析】根據(jù)題意，求得結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)/(x)=k>ga(x+6)的圖象，可得0<Q<L0<6<1,

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=a-x(0<a<1)的圖象與性質(zhì)，

結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)力個(gè)單位，可得函數(shù)g(x)=。-'-5的圖象只有選項(xiàng)C符合.

故選：C.

(3)將函數(shù)y=log2》的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=/(x)的圖象，則/(》)=()

A.log2(x+l)B.1+log,x

C.log2(x-l)D.-l+log2x

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進(jìn)行求解即可.

【詳解】將函數(shù)歹=log2X的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)P=1+log2X.

故選：B.

(4)￥函數(shù)y=f"的圖象過(guò)點(diǎn)(!，』，則函數(shù)/(x)=log,,(x+m)恒過(guò)定點(diǎn),

【答案】(一2,0)

【分析】根據(jù)某函數(shù)過(guò)點(diǎn)求出〃?，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出所過(guò)定點(diǎn).

【詳解】因?yàn)殁莺瘮?shù)y=x"'的圖象過(guò)點(diǎn)

o7

所以L仕丫,解得一=3,

8⑴

即〃x)=k)g”(x+3),當(dāng)工=一2時(shí)，/(-2)=0,

所以函數(shù)/(x)=log”(x+加)恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0).

故答案為：(-2,0)

跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)歹=logoy與y=log2x的圖象()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)知識(shí)將y=iog°jX化為歹=-iog?x,由此可得答案.

【詳解】由y=log05X得歹=log2M=—log2.r,

所以函數(shù)歹=10goy與歹=iog2x的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng).

故選:A

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=y=log,,x+“a>0且。工1)的圖象可能是()

【答案】A

【分析】假設(shè)指數(shù)函數(shù)圖象正確，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和x=l處函數(shù)值的正負(fù)可得到正確圖象.

【詳解】對(duì)于AB,若歹=尸=（￡],圖象正確，則0<"1,.?）=1。乳》+。單調(diào)遞減，

又1=1時(shí)，y=log4z\+a=a>0,A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于CD,若y=qx=d圖象正確，則.?沙=1。8產(chǎn)+。單調(diào)遞增，CD錯(cuò)誤.

3

故選：A.

⑶已知函數(shù)y=log“（x+2）-1（4>0,且awl）的圖像過(guò)定點(diǎn),4,若點(diǎn)力在函數(shù)/（X）=3'+。的圖像上,

則/（logs2）=.

【答案】j

【分析】首先由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定點(diǎn)力的坐標(biāo)，然后求解函數(shù)/（X）的解析式，最后求解/（I。42）的值即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=bg.（x+2）-l（a>0,且。工1）的圖像過(guò)定點(diǎn)A,

所以力（-1,-1）.

因?yàn)辄c(diǎn)A在函數(shù)/（x）=3、+6的圖像上，

4

所以3，力=-1,所以力=-、，

所以/（力=3'-1,

所以/（log⑵=3喝2T=2-99

故答案為：

四、比較大小

例4(1)已知。=1。83；，人=1。832<=1。823,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到"。，0<b<l,O1,得到答案.

【詳解】fz=log3^-<log3l=0；()<log3l</>=log32<log33=l；c=log23>log22=l,

所以a<A<c.

故選:A

(2)比較下列各組值的大?。?/p>

①log205,log?0.6;@logi.51.6,logi.51.4；

33

?logos?,logo.67；④】Og3兀，log20.8.

【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x是(0,+8)上的減函數(shù)，且0.5<0.6,

3

所以log20.5>log20.6.

33

②因?yàn)楹瘮?shù)y=k)gL5A一是(0,+8)上的增函數(shù)，且1.6>1.4,

所以logi.51.6>logl_51.4.

③因?yàn)?>log70.6>log70.5,所以1V1,

log?0.6log70.5

即Jog0.67<log0.57.

④因?yàn)閘og37t>logjl=0,

Iog2().8<log21=0,所以Iog37t>log20.8.

跟蹤訓(xùn)練4(1)已知X=lg9,y=3°」，Z=ln1,則x,y,n的大小關(guān)系是()

A.”x<zB.z<x<y

C.y<z<xD.x<y<z

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)、指數(shù)得運(yùn)算性質(zhì)，分別將x，Kz與0,1比較大小，即可得到結(jié)果.

【詳解】。=Igl<x=Ig9<lgl0=l,np0<x<1；

1=3°<J，=3°」，即J，>1：

z=ln-<In1=0,即z<0.

3

故

故選：B.

(2)設(shè)。=log36,Z>=log510,c=log714,則()

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【詳解】a=logj6=log32+l,6=log52+1,c=log72+l,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出y=log>Y,y=log5X,y=log7K的圖象,

當(dāng)工=2時(shí)，由圖易知Iog32>logs2>k)g72,

a>b>c.

五、解對(duì)數(shù)不等式

例5(1)設(shè)xwR,則“x<l〃是“也丫<0〃的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可知充分性不成立；由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定必要性成立.

【詳解】當(dāng)xvl時(shí)，若x?0,則Inx無(wú)意義，充分性不成立；

當(dāng)lnx<0時(shí)，0vx<l,/.x<l成立，必要性成立；

綜上所述：xwR,則"x<l"是"lnx<0"的必要不充分條件.

故選：B.

(2)已知log。％"+2)>log06(l-x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】

\乙）

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=log0,6x在（0,+。）上單調(diào)遞減,

Fhlog06(-v+2)>log06(l-x),

得0<x+2<lx,解得-2Vxv」，

2

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是卜2,-g|.

（

故答案為：-2,--

\乙）

（3）已知bga；<l,J<1,）<],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（。，￡）

【分析】先根據(jù)求出。>0,分4=1,三種情況，結(jié)合10g*<1求出實(shí)數(shù)。的取值范

圍，利用—<1來(lái)驗(yàn)證，最終求出答案.

【詳解】（；卜=0而單調(diào)遞減，

故。>0,

若由log“g<l=logaa可得故

此時(shí)/<（￡）*<1，滿足要求，

若a=l,此時(shí)不合要求，

若由Iog“；<l=log“4可得故。>1,此時(shí)/>],不合要求.

故答案為：（og）

跟蹤訓(xùn)練5（1）設(shè)xwR,則“l(fā)o&xvl"是"％2+工一6<0"的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解出條件和結(jié)論中的兩個(gè)不等式，通過(guò)解集的包含關(guān)系判斷結(jié)果.

【詳解】由log?%，1,解得:0<x<2；f+x-6<0解得-3<x<2,

由（0,2）（-3,2）,???“1%x<1〃是"/+*_6<0〃的的充分不必要條件.

故選：A

（2）解關(guān)于x的不等式log2（2-4，）<x解集為.

【答案】（0，）

【分析】根據(jù)給定的不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.

【詳解】不等式log2（21）一。log。-4、）<log22、o0<2-4、v2、,

解2-4、>0,即22*<2，有2X<1,解得x<g,

解2-4'<2"，即22、+2'-2>0,化為（2*+2）（2'-1）>0,有2、>1，解得x>0,

因此

2

所以不等式嗅式2-4、）<x解集為（0,；）.

故答案為：（0$）

六、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

例6（1）函數(shù)y=log。s（2-X—的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.B.[-2,-A）C.信收）D.信,1）

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出復(fù)合函數(shù)的遞增區(qū)間即可.

【詳解】由解得：_2<X<1,故函數(shù)的定義域是（-2」），

函數(shù)〃=2-Xi在12,一；）上單調(diào)遞增，在6,1）上單調(diào)遞減，

而函數(shù)y=log°.s〃在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)y=bgo.s（2-X--）的單調(diào)遞增區(qū)間是

故選：D

(2)已知函數(shù)/(X)=In(-3x2+4x+4),則/*)的單調(diào)增區(qū)間為.

【答案】(一：,令

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域，進(jìn)而確定單調(diào)增區(qū)間即可.

2

【詳解】-3x2+4x+4=-(3x+2)(x-2)>0,即一§<x<2,

由y=-3x'+4x+4=-3(x-1j'+1,則V在(一^1)上遞增，在(：,+<?)上遞減，

353D

綜上，V在(-2若2)上遞增，在(；2,2)上遞減，而y=lnx在定義域上遞增，

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一2|,32,

22

故答案為：(-y,y)

(3)已知函數(shù)f(x)=log.(X2+2X-3),若〃2)>0,則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【答案】(1,X0)

【分析】先由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得其定義域，再由/(2)>0推得從而利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函

數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】由題意,令f+2》-3>0,解得x<-3或x>l,故函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-8,-3)11(1,+8),

2

/(2)-loga(2+2x2-3)-log(,5>0,得

令E=/+2*-3=(x+1)?-4,則f(x)=logu/(?>1),

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即求，=口+1)2-4在定義域內(nèi)的增區(qū)間，

由二次函數(shù)的性質(zhì)，f=(x+l)2-4的增區(qū)間為。,心)，

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+oo).

故答案為：(L”).

(4)己知函數(shù)/。)=1幅,(2-/丫)在區(qū)間艮7］上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為.

【答案】(o,平)

【分析】令〃(》)=2-4々(。>0),即可判斷〃3在［3,7］上的單調(diào)性，依題意可得歹=log/在［3,7］上為減函

數(shù)，即可得到不等式組，解得即可.

【詳解】令〃（x）=2-撲（4〉0）,則〃3=2-?。?。>0）在[3,7]為減函數(shù),

10<f7<1、后

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知y=log“〃在[r3,7]上為減函數(shù)，則1⑺=2-7]>0,解得0<”與，

即a的取值范圍為平）.

故答案為：（°，半）

跟蹤訓(xùn)練6（1）（多選）關(guān)于函數(shù)/'3=瞰?。?一女一3）,下列說(shuō)法正確的有（）

5

A.“X）在區(qū)間（-8,1）上單調(diào)遞增

B./（X）在區(qū)間（-8,-1）上單調(diào)遞增

C./（X）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減

D./（X）在區(qū)間（3,y）上單調(diào)遞減

【答案】BD

【分析】利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（'）=唾!（/-2》-3）,

5

由f_2x-3>0,可得或x>3,

令f=f_2.3,在（TO,-1）上單調(diào)遞減，在（3,y）上單調(diào)遞增，

又y=log/是單調(diào)遞減函數(shù)，

5

所以〃力在區(qū)間上單調(diào)遞增，在（3,e）上單調(diào)遞減，

故選：BD.

⑵已知函數(shù)/（x）=logo,J——ax+3a）在[2,*o）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為（）

A.（-=0,4]B.[4,+oo）C.[-4,4]D.（-4,4]

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，可得以幻=--仆+3”在區(qū)間[2,+0。）上單調(diào)遞增，由對(duì)數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)，真數(shù)恒大于0,可得g（x）>0,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性和值域求解即可.

【詳解】解析：令g(x)=x2-ax3a.

因?yàn)閒M=bg”(，-ax+3。)在［2,內(nèi))上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［2,一)上單調(diào)遞增，且恒大于0,

所以對(duì)稱(chēng)軸x=gaW2且g(2)>0,所以Q?4且4+a>0,

解得-4<〃K4,即。的取值范圍為(-4,4］,

故選：D.

七、反函數(shù)

例7⑴已知函數(shù)y=/(x)的圖像與y=l趺的圖像關(guān)于直線N=x對(duì)稱(chēng)，則/(愴3)-/(愴4)=()

A.Ig7B.10C.12D.107

【答案】C

【分析】由題意知兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，求出，=/'(')的解析式，代值化簡(jiǎn)即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x)的圖像與》=1改的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，

所以函數(shù)歹=/(x)與函數(shù)y=*互為反函數(shù)，

所以/(x)=l(r,所以/(愴3),/但4)=10巾、10植4=3x4=12,

故選：C.

(2)已知函數(shù))，=/與函數(shù)》=/(、)互為反函數(shù)，則()

A./(3x)=ev,(XGR)B./(3x)=In3-lnx(x>0)

C./(3x)=3e'(xeR)D./(3x)=Inx+In3(x>0)

【答案】D

【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義得出J=/(x),即可計(jì)算得出/(3x).

【詳解】因?yàn)榇?e',所以其反函數(shù)為y=lnx,即/(x)=hj

所以/(3^)=In3x=Inx+In3(x>0),

故選：D.

(3)已知函數(shù)/(x)=3-3'的圖像與g(x)的圖像關(guān)于J，=x對(duì)稱(chēng)，求g(x)的表達(dá)式.

【答案】g(x)=logjx-l

【分析】由題意得“X)與g(x)互為反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的定義求解即可.

(詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/。)=33的圖像與g(x)的圖像關(guān)于y=X對(duì)禰，所以/(X)與g(x)互為反函數(shù).

而/(X)=3?3,=3川，其圖像是由y=3、向左平移一個(gè)單位，

所以g。)的圖像應(yīng)由歹=bgH的圖像向下平移一個(gè)單位，

即g(x)=log/—l

(4)函數(shù)y=X?-1(X>0)的反函數(shù)是

【答案】y=\/x+1(x>-1)

【分析】先解出x,然后再將'J互換即可得其反函數(shù).

【詳解】由y=/-l(xN0),得x=

所以歹=/一】(XNO)的反函數(shù)為》=J77T(X2-I),

故答案為：y=\/x+\(x>-\)

跟蹤訓(xùn)練7(1)若函數(shù)/(x)與g(x)=10，的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，則/(100)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，求函數(shù)/(')的解析式，再求/(100)的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X)與g(x)=10'的圖象關(guān)于直線夕=%對(duì)稱(chēng)，

所以兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則〃1)=lgx,

所以/(IOO)=lglOO=2.

故答案為：2

(2)若點(diǎn)尸(2,4)在函數(shù)/(x)=log/的圖像上，點(diǎn)。(或16)在J\x)的反函數(shù)圖像上，則〃?=.

【答案】16

【分析】根據(jù)反函數(shù)性質(zhì),列方程，求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(2,4)在函數(shù)/。)=108鵬的圖像上,所以4=叫“2,計(jì)算得44=2,

因?yàn)?(x)=log/，所以f(x)的反函數(shù)為y=ax,

又因?yàn)辄c(diǎn)。(用,16)在J\x)的反函數(shù)圖像上，所以16=d，

因?yàn)?=2,所以16=建，即得刀=16.

故答案為：16.

(3)函數(shù)J=/(力的表達(dá)式為/(?=4,設(shè)y=/T(x)是其反函數(shù)，則/T(x)=

【答案】x2(x>0)

【分析】X"互換，即可求出原函數(shù)的反函數(shù)及定義域.

【詳解】解：由題意，xNO

在y=/(x)=4中，4=/，y=f(x)=620

?M'互換得，y=x2,

：.f-'(x)=x2(x^O)

故答案為：x2(x^O)

【課堂鞏固】

1.已知函數(shù)N=log“(x+c)(Q，c為常數(shù)，其中。>O,aHl)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()

A.?>l,c>IB.6/>1,0<c<I

C.0<?<l,c>1D.0<“<l,0<c<l

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性，可判斷。的范圍，結(jié)合特殊值的函數(shù)值可判斷。的范圍，即得答案.

【詳解】由函數(shù)圖象可知函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合?=1。8“(工+。)可知0<。<1,

當(dāng)z=l時(shí)，logu(1+c)<0,1+c>I,/.c>0,

當(dāng)i=0時(shí)，logflc>0,/.0<c<l,故0<c<l,

故選：D

2.函數(shù)/")=log22x與g(x)=2-『丫在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是()

12,

【答案】B

【分析】根據(jù)/⑴=1,g(o)=l,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】v/(x)=10g22x=l+10g2x,為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)

=故A小成立；

?.?g(x)=2-(gj,為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，

/.g(O)=2-^-j=1,故C和D不成立.

故選：B.

3.函數(shù)〃*)=1咤“(3》一5)+2(。>0且。#1)恒過(guò)定點(diǎn)()

A.(2,0)B.(2,2)C.(1,0)D.(1,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】當(dāng)3x-5=1,即x=2時(shí)，尸2,

所以函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)為(2,2).

故選:B.

4

4.已知4=log35,b=log57,c=-,貝lj()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】D

【分析】利用幕函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較。力與C?的大小即可.

【詳解】因?yàn)?3=125,3)=81,所以5>3：，所以bg,5>；=log,3§，即

因?yàn)?，=343<=625,所以7<53，所以logs7<g=logQ’，即c>b.

即a>c>b.

故選：D

5.已知函數(shù)/(x)=|lnx|.若0va<6,且/⑷=/S),則a+4〃的取值范圍是()

A.(4,+co)B.[4,+co)C.(5,-Ko)D.[5,+s)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得-lna=ln〃，則，=力，令gS)=a+4力=4〃+?,利用對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可

ab

求出其范圍.

【詳解】由/(。)=/(力)得|lna|二|lnb].根據(jù)函數(shù)y=|lnx|的圖象及0vb,

得一lna=lnb,0<a<\<b,所以，=b.

a

所以g(b)>g(l)=5.故a+46>5,

故選：C.

6.設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)，且在(0,+。)單調(diào)遞增，則()

A./［廄0個(gè)2卜々2JB.小時(shí)>/23卜42J

(_3\/_2\/(_2\/3\/

-

C./2^>/2^>/llog21lD./2M>/2M>/llog21

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知23>2卷再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得噢、3>1>24>21，結(jié)合函數(shù)/3

的奇偶性和單調(diào)性即可得出結(jié)論.

'2(3\

【詳解】由指數(shù)函數(shù))，=2、為單調(diào)遞增函數(shù)可知2。=]>2彳)2微，所以/2個(gè)>3

又“X)是定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)，

所以/log2-=/(-log23)=/(log;3),

\3)

由對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2X可知，Iog”>log22=l,所以/(logj)〉/。)〉/>./'2-2

故選：B

7.已知函數(shù)/(4)=1鳴》-(11)2,則不等式/(幻<。的解集為()

A.(-CO,1)U(2,-KO)B.(0,l)u(2,+oo)

C.(1,2)D.(l,+8)

【答案】B

【分析】將已知不等式化為log2X<(x-1『，在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得不等式/(4)<0的

解集.

2

【詳解】由題意，不等式/(x)<0,BPlog2x-(x-l)<0,

2

等價(jià)于log2x<(x-l)在(0,+s)上的解，

令g(x)=k)g2WA(x)=(x-1)2,則不等式為g(x)<a(x),

在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，

可得不等式/*)<0的解集為(0,1)U(2,+8),

故選：B

8.（多選）已知函數(shù)/'（X）=10g2a+l）+10g2（X—1）,則（）

A.〃力的定義域?yàn)椤?物）

B./（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0］

C.“X）是增函數(shù)

D./（力的值域?yàn)镽

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,由x+l>0且x-l>0,求解即可判斷；對(duì)于B,區(qū)間（YO,0］不在定義域內(nèi)，即可判斷：對(duì)

PC,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法即可判斷；對(duì)于D,可得真數(shù)能取遍所有大于。的數(shù)，從而可判斷.

【詳解】對(duì)于A,由x+l>0且得x>l,故"x）的定義域?yàn)椤?+<電,A對(duì)；

對(duì)于B,區(qū)間（-8,0］不在定義域內(nèi)，B錯(cuò)；

對(duì)于C,?.?函數(shù)y=/_i在。用）為增函數(shù)，

「?函數(shù)/（X）=10g2（X+l）+10g2（X-l）=bg2（*7在（1,”）為增函數(shù)

故函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,y0）,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，C對(duì)；

對(duì)于D,/（X）=log2（x+1）+log2（x-1）=Iog2（i-1）在。,4<c）為增函數(shù)，

真數(shù)能取遍所有大于0的數(shù)，故值域?yàn)镽,D對(duì).

故選：ACD.

9.（多選）設(shè)0<a<b<l,0<c<1,則（）

a

A.c<?B.logca<logcb

cc

C.a<bD.logflc<log,c

【答案】CD

【分析】根據(jù)凡Ac的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，系函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)換底公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由于0<a<b<l,0<c<l,

則指數(shù)函數(shù)y=c'在R上單調(diào)遞減，所以故A不正確：

基函數(shù)y=f在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，所以/<6，，故C正確；

對(duì)數(shù)函數(shù)尸=1。上》在(。,+8)上單調(diào)遞減，所以log">log)>log/=(),貝ij1—>廠，>0,所以

lOga。l°g."

logac<log/,c,故B不正確，D正確.

故選：CD.

10.(多選)不等式Iog5(3-2x)<l成立的必要不充分條件是()

A.(-1,0)B.(-1,1)C.(-1,2)D.(-1,+<?)

【答案】CD

【分析】求出對(duì)數(shù)不等式的解集，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

33

【詳解】解不等式唾式3-2勸<1得：0<3-2%<1,解得即原不等式的解集為(1,5),

(-1,0).(-覃)與(1$的交集都空集，因此選項(xiàng)A,B都不是；

而(1,1)(-1,2),(1,1)(一1,+孫因此選項(xiàng)C、D都是.

故選:CD

11.已知函數(shù)小)一1。"，且/⑵=：.則”:/出+/圖+/圖一.

【答案】4-1

【分析】由〃2)=g,得到10&2=；,求得。=4,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=log“x,因?yàn)?(2)=g,即log“2=；,解得"4,

所以/(x)=log4X,

.1,2.3?J23、?I,

則/-+/-+/H=log4-+log4-+log4-=log4(-x-x-)=log4-=-1

、乙)3)y■y/J4ZJQ?

故答案為：4：-1.

12.函數(shù)/(x)=lg(x+2)+［占的定義域?yàn)?

【答案】{x|-2<x<2}

【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可得到結(jié)果.

x+2>0

【詳解】根據(jù)題意可得，,解得-2<x<2

2-x>0

即函數(shù)/(工)的定義域?yàn)椴凡?c<2}.

故答案為：卜卜2-<2}

13.已知函數(shù)/(x)為y=log2》的反函數(shù)，則/(4)=.

【答案】16

【分析】利用反函數(shù)的定義寫(xiě)出〃x)=2'.，即可求解

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)因")為y=log2%的反函數(shù),所以〃x)=2'，

所以/(4)=24=16

故答案為：16

14.已知函數(shù)/(入?)與g(x)=e'互為反函數(shù)，函數(shù)y=/?(x)的圖像與)，=/(》)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，若〃(a)=l,

則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】-

e

【分析】由函數(shù)I(x)與g(x)=e"互為反函數(shù)可得函數(shù)/(x)解析式,又因函數(shù)歹=〃(工)的圖像與y=/(x)的

圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以〃(x)=-f(x),得出V=〃(x)解析式代值計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與g(x)=e'互為反函數(shù)，所以/1)=lnx,又因函數(shù)丁="力的圖像與y=/(x)的

圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以〃("=-lnx

由h(a)=-\na=1可解得a二,

e

故答案為：—

e

15.函數(shù)y=bg“(2x-3)+8的圖象恒過(guò)定點(diǎn)兒且點(diǎn)力在寤函數(shù)〃x)的圖象上，則/(3)=.

【答案】27

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的性質(zhì)求解，

【詳解】令2x—3=1,得x=2,此時(shí)y=8,故定點(diǎn)/(2,8),

設(shè)/(x)=K,則八2)=2〃=8,得a=3,故/(3)=33=27,

故答案為：27

16.已知函數(shù)"x)=|lgx|,(1)當(dāng)。=/1(；),6=/2)時(shí)，則實(shí)數(shù)〃，力之間的大小關(guān)系是:(2)

若加>〃>0,且/(〃?)=/(〃)，則2m+n的取值范圍是.

【答案】a>b(3,內(nèi))

【分析】(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；

(2)畫(huà)出函數(shù)圖象，整理可得〃*=1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2機(jī)+工，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出2帆+力的取值范圍.

m

【詳解】a=/(￡|=Ig：=|-lg4|=lg4,/)=/(2)=|lg2|=lg2,：.a>b.

作出函數(shù)圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)/(〃?)=/(〃)時(shí)，0<〃<1<〃?，，/(〃)=—lg〃J(〃?)=lg〃?

lgw+lgn=O,/.\gmn=0?mn=1,即"=一.

m

：.2rn+n=2m+—

m

令g(x)=2〃?+,,〃?>1,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1,抬)上單調(diào)遞增.??.g(x)>g⑴=3,即2倒+〃>3.

m

故答案為:a>b-(3,+oo).

17.已知函數(shù)/(x)=ln(aF+2.Y+l).

⑴若/2的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)。的取值范圍:

⑵若/(》)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(1,+8)：⑵[05

【分析】由/(工)的定義域?yàn)镽知"=a小+2x+l的圖象恒在x軸的上方，由二次函數(shù)性質(zhì)可構(gòu)造不等式組求

得結(jié)果；由/(x)的值域?yàn)镽知〃=ad+2x+l要取遍所有的正數(shù)，由二次函數(shù)值域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

【詳解】(1)若的定義域?yàn)镽，則〃=a/+2x+l的圖象恒在x軸的上方,

a>0

△=4-4”。，解得…2

即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(|,+8)：

(2)若〃x)的值域?yàn)镽,則〃=一+2》+1要取遍所有的正數(shù)，

?>0

或LA4、…解得：0<?<1,

△=4-4QN0

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0』.

18.已知函數(shù)

⑴求函數(shù)/")的定義域；

(2)求函數(shù)/(工)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求不等式〃x)>3的解集.

【答案】⑴(口,一2)=(2,+8)

⑵增區(qū)間為(2,+CO),減區(qū)間為(70.-2)

(3)卜OO,-2G)U(26,+oo)

【分析】(1)解出不等式/-4>0可得答案；

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得答案；

(3)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解出答案.

【詳解】(1)由/_4>0可得工>2或4：-2,

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-8,-2)52,+功，

(2)因?yàn)閥=4在(F,-2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

是增函數(shù)，

所以函數(shù)/3=1%任-4)在(-第,-2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

(3)因?yàn)?(x)>3,所以logz(x2_4)>3=log^g,

所以/一4>8，x2>12,所以x>2x/J或,

所以不等式/(x)>3的解集為(-A-26卜).

【課時(shí)作業(yè)】

1.函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

Inx

A.（0,3）B.（0,l）Ull,3]C.（0,3]D.（0,l）U（l,3）

【答案】B

【分析】分別討論分子和分母的定義域，即可得到函數(shù)的定義域.

Inxw0

【詳解】由題意，在y=中,'x>0,解得：0<x<l^l<x<3,

Inx

3-x>0

J函數(shù)的定義域?yàn)椋?』）U（L3],

Inx

故選:B.

2.現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：＜*）=/；工（、）=10gL.以幻=爐-尸；/4（x）=log5x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),

e-2.71828…），它們的部分圖像如下圖所示，則對(duì)應(yīng)關(guān)系正確的是（）

A.①，(x),@AM,③人(x),④￡(外

B.①工(幻，@f3W，③/"),@f2(x)

C.①人⑴，@f2(x),③￡(x),④工(x)

D.①Ax),②工(x),③/，(幻，④人(x)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)及其函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐一進(jìn)行判斷即可

【詳解】已知工（x）=.d,其為偶函數(shù)，所以關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)，所以滿足條件的為②圖像:

/2（x）=logy.過(guò)點(diǎn)（1,0）,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以滿足條件的為④圖像；

已知A（x）=e'-cT,由于人（r）=eT-cX=—/W,所以1/；（%）為奇函數(shù)，故其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

因?yàn)閥=e'是R上的增函數(shù)，），=「、是R上的減函數(shù)，所以工（工）是R上的增函數(shù),

所以滿足條件的為①圖像；

./4(X)=bg/過(guò)點(diǎn)(1,0),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以滿足條件的為③圖像;

綜上所述①力(4)，②/(X),③工(x),④

故選：D

3.已知函數(shù)/(x)=log2(ax+方)(。>。/>0)恒過(guò)定點(diǎn)(2,0),則：的最小值為().

ao

A.25/2+1B.272C.3D.VI+2

【答案】A

【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知2a+b=l,

,ib1b2a+bb2a.Ib2a,.rz.

m則—I--=1------=1+122J-4-1=2y2+1,

abahab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)〃=三色，/)=夜—1時(shí)，

2

—+Y的最小值為2&+1，

ab

故選:A.

4.已知函數(shù)=則不等式/(x)>0的解集是()

A.(1,4)B.(-8,l)U(4,+8)

C.(0,1)=(4,+8)