點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（知識(shí)清單+12大題型+好題必刷）

尊題型匯聚

題型二.……軻斷點(diǎn)寫圓的位置關(guān)系.........

題型二利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

題型三點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題

題型四三角形外接圓的概念辨析

題型五求三角形外心坐標(biāo)

題型六求特殊三角形外接圓的半徑

題型七已知外心的位置判斷三角形的形狀

題型八判斷三角形外接圓的圓心位置

題型九判斷確定圓的條件

題型十確定圓心（尺規(guī)作圖）

題型十一反證法證明中的假設(shè)

題型十二用反證法證明命題

等知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。0的半徑為廠，點(diǎn)。到圓心的距離。尸=%則有：

①點(diǎn)P在圓外廠

②點(diǎn)P在圓上=4=廠

①點(diǎn)P在圓內(nèi)QdVr

（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系.

（3）符號(hào)讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識(shí)點(diǎn)2.確定圓的條件

不在同一,直線上的三點(diǎn)確定i個(gè)圓.

注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)

圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過(guò)一點(diǎn)可畫無(wú)數(shù)個(gè)圓，

過(guò)兩點(diǎn)也能畫無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓.

知識(shí)點(diǎn)3.三角形的外接圓與外心

（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

（3）概念說(shuō)明：

①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)：鈍角三角形的外心在三角形的外

部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)

接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè).

?題型練習(xí)_________________________________________________________

【題型一】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【例。（24-25九年級(jí)上?北京西城?階段練習(xí)）如果。。的半徑為3,0/1=2,則點(diǎn)A在。。（）

A.外B.內(nèi)C.±D.不確定

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)與圓心的距離為"，圓的半徑為「，則當(dāng)?時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r

時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)4〈「時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：的半徑為3,04=2,且2<3,

.?.點(diǎn)％在。O內(nèi),

故選：B.

【舉一反三】

I.（2025九年級(jí)?河北?專題練習(xí)）已知。。的半徑為3,當(dāng)。。=5時(shí)，點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.不能確定

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

根據(jù)“點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外”即可解答.

【詳解】解：的半徑為3,當(dāng)0P=5,5>3

即點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，

???點(diǎn)?在圓外，

故選：A.

2.（24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期中）在平面內(nèi)，的半徑為5cm,點(diǎn)尸到圓心。的距離為6°〃，則點(diǎn)〃與。。的

位置關(guān)系是點(diǎn)尸在.（填“圓內(nèi)M圓外”或“圓上.

【答案】圓外

【知識(shí)點(diǎn)】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析［本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、若點(diǎn)與圓心的距離d,圓的半徑為，，則當(dāng)d〉「時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)"=/?

時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：???在平面內(nèi)，。。的半徑為5cm,點(diǎn)尸到圓心。的距離為金加，且5<6,

.??點(diǎn)夕與。。的位置關(guān)系是點(diǎn)P在圓外，

故答案為：圓外.

【題型二】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【例2】（24-25九年級(jí)上?陜西延安?期末）點(diǎn)。到圓心。的距離為7,若點(diǎn)夕在圓O內(nèi)，則圓。的半徑/?滿足（）

A.0</,<7B.0<;,<7C.r>7D.r>7

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【分析】本題考查對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.解題的關(guān)鍵：要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與

半徑的大小關(guān)系，若點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑「，則時(shí)，點(diǎn)在圓外；行d=，,時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)?時(shí)，

點(diǎn)在圓內(nèi)，反過(guò)來(lái)與成立.據(jù)此解答即可.

【詳解】解?：???點(diǎn)P到圓心。的距離為？，點(diǎn)夕在圓。內(nèi)，

OP<r,即r>7.

故選：C.

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?廣東汕頭?階段練習(xí)）圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8,最小距離是2,則這個(gè)圓的半徑為（）

A.6B.3C.8D.4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之差為直徑為解題的關(guān)鍵.根據(jù)

圓外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之差為直徑即可得出答案.

【詳解】解：丁圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8,最小距離是2,

「?圓的直徑是8-2=6,

???圓的半徑是3.

故選：B.

2.（24-25九年級(jí)上?山東荷澤?階段練習(xí)）已知平面上點(diǎn)M到。0的最大距離為19,最小距離是3,那么的半徑

為.

【答案】8或11

【知識(shí)點(diǎn)】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分類討論，當(dāng)點(diǎn)?在圓外時(shí)，根據(jù)圓外一點(diǎn)產(chǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離減去最小

距離等于圓的直徑，當(dāng)點(diǎn)。在圓內(nèi)時(shí),根據(jù)圓內(nèi)一點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離加上最小距離等于圓的直徑即可求解.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)尸在圓外時(shí)，

???。。外一點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的最大距離為19,最小距離為3,

??.O。的直徑為19-3=16,

???。。的白徑為8,

當(dāng)點(diǎn)廠在圓內(nèi)時(shí)，

內(nèi)一點(diǎn)戶到。。上各點(diǎn)的最大距離為19,最小距離為3,

.?.。0的宜徑為19+3=22,

二。。的馬徑為11,

故答案為：8或11.

3.（22-23九年級(jí)上?河北邯鄲?期末）如圖，某海域以點(diǎn)力為圓心、3km為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槎喟到傅奈ｋU(xiǎn)區(qū)，但漁

業(yè)資源豐富，漁船要從點(diǎn)8處前往4處進(jìn)行捕魚，8、4兩點(diǎn)之間的距離是l（）km,如果漁船始終保持10km/h的航速行

駛，那么在什么時(shí)段內(nèi)，漁船是安全的？漁船何時(shí)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域？

【答案】Oh到0.7h之間，漁船是安全的：0.7h洵船進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域

【知識(shí)點(diǎn)】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【分析】先根據(jù)題意求出8。的長(zhǎng)度，再根據(jù)時(shí)間=路程+速度可得答案.

【詳解】解：如圖，

vAB=10km,AC=3km,

/.BC=7km,

由7+10=0.7,

知Oh到0.7h之間，漁船是安全的；0.7h漁船進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距

離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【題型三】點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題

【例3】（23-24九年級(jí)?甘肅平?jīng)?開學(xué)考試）如圖1,點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心，為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不

與點(diǎn)A,6重合〉，過(guò)點(diǎn)C作CZ）_L/I3于。.設(shè)弦/1C的長(zhǎng)為x,線段8的長(zhǎng)為）'，V與k的函數(shù)圖象如圖2所示，

則的直徑為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象

【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是要能根據(jù)圖象確定圓的半徑.先根據(jù)圖象得出當(dāng)點(diǎn)C到點(diǎn)。

的正上方時(shí)，8最大為2,可確定。。的半徑為2,即可求解?.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)。和點(diǎn)。重合時(shí)，CQ最大，

由圖象得CQ最大為2,

.??圓O的半徑為2,

的直徑為4,

故選：B

【舉一反三】

1.（2024?江蘇蘇州?二模）如圖，"BC中,N7MC=90。，AB=6,BC=10,點(diǎn)。為斜邊8。上一任意點(diǎn)，連

接/1O,將點(diǎn)4關(guān)于直線力。作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)七，連接力七，BE,則“BE面積的最大值為（）

A.18B.30C.15D.24

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解

【分析】本題考查軸對(duì)稱，根據(jù)題意得到力E=43=6,則點(diǎn)E在以/為圓心，6為半徑的圓匕然后確定點(diǎn)￡到力8

得最大距離最大值計(jì)算即可.

【詳解】解：???點(diǎn)8關(guān)于直線4。作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)E,

AE=AB=6,

.??點(diǎn)E在以力為圓心，6為半徑的圓上，

即當(dāng)4EJ.44時(shí)，點(diǎn)E到45得最大距離最大，最大為6,

???1"面積的最大值為1x6x6=18,

2

故選A.

2.(24-25九年級(jí)上?四川瀘州,期末)定義：點(diǎn)2、點(diǎn)。分別為兩個(gè)圖形G、。上任一點(diǎn)，如果線段做的長(zhǎng)度存在最

小值時(shí)，就稱該最小值為圖形G1和G的'，近距離。如果線段也的長(zhǎng)度存在最大值時(shí)，就稱該最大值為圖形G1和G的“遠(yuǎn)

距離”.已知△48C和0。是平面直角坐標(biāo)系曰Oy中的兩個(gè)圖形,其中點(diǎn)4(3,5),8(2,2),C(6,3),D(-2,-l),0D

半徑為1.則ZU8C和。。的“遠(yuǎn)距離”為.

【答案】46+1

【知識(shí)點(diǎn)】己知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離、點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題

【分析】本題考查了坐標(biāo)，圓的性質(zhì)，“近距離”與“遠(yuǎn)距離”的定義，解題的關(guān)犍是理解題意，正確應(yīng)用新定義解題.結(jié)

合平面直角坐標(biāo)系，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)“近距離”與“遠(yuǎn)距離”的定義，得出答案.

【詳解】解：如圖所示，連接力。,。。并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)E,

?“(3,5),8(2,2),C(6,3),D(-2,-l),

根據(jù)勾股定理可得AD=J(3+2)2+(5+1>=而,

CD=^(6+2):+(3+1)2=475

CD>AD,

△48C和O。的“遠(yuǎn)距離”為CE=CD+ED=4石+1

故答案為：475+1.

3.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，。。為等邊△力8c的外接圓，半徑為6,點(diǎn)D在劣弧筋上運(yùn)動(dòng)（不

與點(diǎn)A,3重合），連接DB,DC.

（1）求證：。。是的平分線；

（2）四邊形力。8C的面枳S是線段的長(zhǎng)x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)M,N分別在線段C,C8上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，2MN的

周長(zhǎng)有最小值人隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，，的值會(huì)發(fā)生變化，求所有,值中的最大值；

【答案】（1）見解析

⑵是,5=—

4

⑶12■

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解、等邊三角形的性質(zhì)、利周角定理、點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題

【分析】本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行

推理是本題的關(guān)鍵.

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得乙48C=N8ZC=408=60。，圓周隹定理可得ZJZX?=/8OC=60。，可得結(jié)論:

（2）將△4X:繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△取/C,可證A"力是等邊三角形，可得四邊形力D3C的面積

S=S“x+S,8”=S.e“=JC￡>2,即可求解;

A/flZCAB人4

（3）作點(diǎn)。關(guān)于直線/C的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線4。的對(duì)稱點(diǎn)F,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得屈必=OM,DN=NF,

可得△DWN的周長(zhǎng)=。用+ON+MN=/W+EM+MN,則當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)“，點(diǎn)M點(diǎn)。四點(diǎn)共線時(shí),ADMN的周長(zhǎng)有最

小值，即最小值為所=小由軸對(duì)稱的性質(zhì)可求CQ=CE=C產(chǎn)，NEC戶=120。，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的

性質(zhì)可求叱=2尸石=百石。=百。。=，，則當(dāng)。。為直徑時(shí)，/有最大值為12行.

【詳解】（1）證明：???△4BC是等邊三角形，

:./ABC=ZBAC=NACB=60°,

-ZADC=^ABC=60°,N8Z）C=/34C=60。，

:./ADC=ZBDC,

???。。是//。夕的平分線；.

（2）解：四邊形力。8C的面積S是線段QC的長(zhǎng)x的函數(shù)；理由如下：

如圖1,將△//）。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4〃C,

A

，

:.CD=CH,NDAC=NHBC,

???四邊形.405。是圓內(nèi)接四邊形,

.-.ZDJC+ZDBC=180°,

.?./O8C+NHBC=180°,

.??點(diǎn)。，點(diǎn)8,點(diǎn)”三點(diǎn)共線，

vDC=CH,ZCDH=60°,

nDCH是等邊三角形,

???四邊形4QBC的面枳S=S.+S^=8=-CD—CD=—CD2,

A/ilLl)/i(-Ao/Jv.ACuDnH22?

??.S』2；

4

(3)解：如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于直線力C的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線8C的對(duì)稱點(diǎn)凡

???點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線4c對(duì)稱,

EM=DM,

同理DN=NF,

???2MN的周長(zhǎng)=DM+DN+MN=FN+EM+MN、

:?當(dāng)E,M,N,/四點(diǎn)共線時(shí)，△DWN的周長(zhǎng)有最小值，

則連接阱，交力。于交BC于N,連接CE，CF,DE,DF,作于P,

2MN的周長(zhǎng)最小值為EF=t,

???點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線力C對(duì)稱，

:.CE=CD,ZACE=ZACD,

???點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線8C對(duì)稱,

：.CF=CD,4DCB=/FCB,

:.CD=CE=CF,ZECF=/ACE+NACD+4DCB+NFCB=2/ACB=120°,

vCP1EF,CE=CF,Z￡CF=120°,

:.EP=PF,/CEP=30。，

■PC=-EC,PE=43PC=—EC

22

，EF=2PE=￡EC=^CD=t,

.?.當(dāng)CO有最大值時(shí)，E尸有最大值，即/有最大值，

???C。為0。的弦，

??.CO為直徑時(shí)，有最大值12,

.?./的最大值為126.

【題型四】三角形外接圓的概念辨析

【例4】（24-25九年級(jí)上?陜西延安?期末）三角形的外心是（）

A.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三邊高線的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形外接圓的概念辨析

【分析】本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知三角形外心的定義是解答此題的關(guān)鍵.直接根據(jù)外心的定義進(jìn)行

解答即可.

【詳解】解：???三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形的外心，

???三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn).

故選：A.

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?山東聊城?期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)4B,C,。，E,F,G在小正

方形的頂點(diǎn)上，貝”△力臺(tái)。的夕卜心是（）

A.點(diǎn)。B.點(diǎn)EC.點(diǎn)、FD.點(diǎn)G

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形外接圓的概念辨析

【分析】本題考查了三角形的外心的定義，根據(jù)三角形三邊垂直平分線相交于?點(diǎn)，這?點(diǎn)叫做它的外心，據(jù)此解答

即可求解，掌握二角形的外心的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接力產(chǎn)、BF、CF,

由勾股定理得，=+=5五B="+F=5FC=A/22+12=75?

F4=FB=FC,

:.點(diǎn)F是*ABC的外心，

故選：C.

2.（24-25九年級(jí)上?湖北恩施?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)。是△力8c的外心，若4=70。，貝ijN5OC=

____A

O

B'C

【答案】140°

【知識(shí)點(diǎn)】三角形外接圓的概念辨析、圓周角定理

【分析】本題考查了三角形外心，圓周角定理，熟練掌握三角形的外心，圓周角定理是解題的關(guān)鍵.利用三角形的外

心的得出N8OC為圓心角，“力為圓周角，根據(jù)圓周角定理得出即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)。是△"C的外心，4A=70。,

.?./8OC=24=140。，

故答案為：140。.

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，是。的外接圓，力。是。。的直徑，BC平濟(jì)NABD,

AC=2.求。。的半徑.

【答案】V2

【知識(shí)點(diǎn)】三角形外接圓的概念辨析、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、圓周角定理

【分析】本題考查的是三角形是外接圓與外心，連接。，根據(jù)角平分線的定義得到N48C=NO8C，再由圓周角定理

得418C=N/OC,/DBC=NDAC,進(jìn)而得4QC=NZMC,得到根據(jù)圓周角定理得到/月CO=9（）。，再

根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：連接CQ.

?:BC平位/ABD,

:"ABC=ZDBC,

VZABC=ZADC,4DBC=/DAC,

??.4QC=ND4C,

：.AC=DC,

vAC=2,

:.DC=2,

???4。是。。的直徑，

.-.zfJCD=90°,

:.AC2+DC2=AD2,

??-22+22=JD2>

??AD=2y2?

???。。的二徑為近.

【題型五】求三角形外心坐標(biāo)

【例5】(23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?期中)如圖，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，△44。外接圓的圓心坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(0,4)C.(1,4)D.(3,4)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求三角形外心坐標(biāo)

【分析】本題考查了三角形的外接圓的外心，作線段4C,8c的垂直平分線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為△48C的外接圓的圓心.

【詳解】解：如圖?作線段4cBe的垂直平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為ZU8C的外接圓的圓心,

由圖可知，點(diǎn)。的坐標(biāo)是：（0,4）,

故選：B.

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?湖南常德?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，△力8。的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：^（-2,4）,

8（4,4）,C（4,0）,經(jīng)畫圖操作可知，AX8C的外心坐標(biāo)應(yīng)是（）

A.(2,1)B.(2,2)C.(4,4)D.(1,2)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求三角形外心坐標(biāo)

【分析】此題考查了三角形外心的知識(shí)，注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.首先由△力8c的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作力B與8C的垂

線，兩垂線的交點(diǎn)即為的外心.

【詳解】解：的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

???作圖得:

AB與BC的垂直平分線交點(diǎn)即為△/BC的外心,

的外心坐標(biāo)是（1,2）,

故選：D.

2.（24-25九年級(jí)上?河北石家莊?期末）如圖，ZUBC外接圓的圓心坐標(biāo)為

O,1234567~x

【答案】（5,0）

【知識(shí)點(diǎn)】求三角形外心坐標(biāo)

【分析】本題考查了線段的垂直平分線及三角形的外心.三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)是三角形的外心.解決本題

需仔細(xì)分析三條線段的特點(diǎn).利用網(wǎng)格：作線段線段的垂直平分線相交于。，再根據(jù)圖形寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：作線段8C、線段48的垂直平分線相交于點(diǎn)。，如圖，

由圖可得點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（5,0）,

故答案為：（5,0）.

3.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?假期作業(yè)）如圖，在ZU8C中，。是它的外心，8C=24cm,。到8C的距離是5cm,求MBC

的外接圓的半徑.

【答案】13cm

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求三角形外心坐標(biāo)

【分析】本題考查了三角形的外心的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，根據(jù)外心的性質(zhì)可知垂直平分8C,可知

△80。為直角三角形，BD=^BC=\2,OD=5,由勾股定理可求半徑05.

【詳解】解：為外心，ODA.BC,

：.BD——BC=12,又OD=5,

2

???由勾股定理，得

OB=ylBD2+OD2=7122+52=13（cm）,

“ABC的外接圓的半徑是13cm.

【題型六】求特殊三角形外接圓的半徑

【例6】（24-25九年級(jí)上?天津薊州?階段練習(xí)）直角三角形兩條直角邊分別為6和8,則直角三角形外接圓的半徑為

（）

A.4.8B.5C.6D.8

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求特殊三角形外接圓的半徑、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了三角形的外接圓、勾股定理，先由勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】解：???直角三角形兩條直角邊分別為6和8,

斜邊為j6?+82=10,

二直角三角形外接圓的半徑為Jxl0=5,

故選：B.

【舉一反三】

I.（23-24九年級(jí)上?北京?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOj中，小臺(tái)。的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△川無(wú)、外接圓的

圓心坐標(biāo)為（）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求特殊三角形外接圓的半徑

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，作力8和4。的垂直平分線，它們的交點(diǎn)P為△48C外接圓圓心，然后寫

出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：如圖所示，作力8和4C的垂直平分線，它們的交點(diǎn)?為△力8C外接圓圓

即△4SC外接圓圓心的坐標(biāo)為（3,2）.

故選：A.

2.（24-25九年級(jí)上?云南玉溪?期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是（2,0）,（2,3）,是AO"

的外接圓，則圓心A/的坐標(biāo)為.

【答案】（55）

【知識(shí)點(diǎn)】求特殊三角形外接圓的半徑、求三角形外心坐標(biāo)

【分析】本題考杳了特殊三角形外心，根據(jù)直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

???點(diǎn)A,5的坐標(biāo)分別是（2,0）,（2,3）,

AB1OA

.?.△408居直角三角形，

?.9"是AOIA的外接圓，

AMA=MB=MA

.?.M在OB上，且為OB的中點(diǎn)

故答案為：（LL5）.

3.（24-25九年級(jí)上?福建南平?期末）如圖，在五邊形"COE中，點(diǎn)A,B,C,。是。。上的四個(gè)點(diǎn),

/460=120。，平分/力4c.

A

(1)求證：△4CO是等邊三角形；

(2)求證：BD=BA+BC；

⑶若乙4E￡>=45。，AC=2,求△力。七面積的最大值.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析：

(3)A/1D月面積的最大值為0+1.

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、求特殊三角形外接圓的半徑

【分析】(I)由角平分線的定義得乙48O=NC8O=；N48C=60。，然后根據(jù)圓周角定理得N/CO=NO。=60。，通

過(guò)三角形的內(nèi)角和定理得乙”)C=60。，最后由等邊三角形的判定即可求解證；

(2)延長(zhǎng)為8至/，使8/=8C,證明aBC廠是等邊三角形，所以。尸=C8,"CB=60。,證明△FC4g48CZ)(SAS),

則4=60,然后由線段和差即可求證；

(3)設(shè)的外心為M,連接4U,DM,所以力歷=加。，乂4AED=45°,則/43=90。，所以點(diǎn)M為定點(diǎn),

從而可得點(diǎn)E在以M為圓心，為半徑的圓I；當(dāng)點(diǎn)￡，M,N三點(diǎn)共線時(shí)，△/￡>￡的面枳最大，然后由面

積公式求解即可；

本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：vZJBC=120°,80平分//AC,

:"ABD=4CBD=-/ABC=60°,

2

AD=AD?CD=CD?

.-.ZACD=ZABD=60°,NC4D=NCBD=60。，

ZACD=/CAD=60°,

；"ADC=180°-ZACD-/CAD=60°,

Z.ADC=ZACD=/CAD=60°,

.?.△XC。是等邊三角形；

(2)證明：延長(zhǎng)力8至F,使BF=BC,

ABC/是等腰三角形，

???/CBF=180°一/ABD-4CBD=60°,

.??△8C尸是等邊三角形，

CF=CB,ZFC5=60°,

由(1)知，CA=CD,N4CQ=60。，

:"FCB+Z.BCA=ZACD+NBCA,

即NFCA=ZBCD,

.^FCA^BCD(SAS),

???FA=BD,

?:FA=AB+BF=AB+BC,

:.BD=AB+BC；

(3)解：設(shè)△/OE的外心為M,連接4W,DM,

/.AM=MD,

???NAED=45°,

：./AMD=9U0,

???點(diǎn)歷為定點(diǎn)，

?：AD=AC=2,

???點(diǎn)￡在以M為圓心，4”=也為半徑的圓上，如圖所示,

在等腰百角三角形力。河中，MN工力。于點(diǎn)N,則有MN=1,

當(dāng)點(diǎn)E,",N三點(diǎn)共線時(shí)，△力。石的面積最大，

:.ME=MD=E，

:.EN=ME+MN=&+\，

5^=i/iD^=1x2x（724-1）=72+1.

【題型七】已知外心的位置判斷三角形的形狀

【例7】（22-23九年級(jí)上?浙江杭州?期中）△相，的外心在三角形的一邊上，則沙叱是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法判斷

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】已知外心的位置判斷三角形的形狀

【分析】根據(jù)三角形外心與三角形的位置關(guān)系可判斷三角形的形狀，因此可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)△力8c的外心在8c的內(nèi)部時(shí)，則△451是銳角三角形;

當(dāng)△N8C的夕卜心在△/5C的外部時(shí)，則△力8c是鈍角三角形；

當(dāng)△18。的外心在。的一邊時(shí);則△48C是直角三角形，且這邊是斜邊.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，解決本題的關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)「角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，三角形外

接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

【舉一反三】

1.（2024九年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）如果一個(gè)三角形的外心在三角形的外部，那么這個(gè)三角形一定是（）

A.悅角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無(wú)法確定

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】已知外心的位置判斷三角形的形狀

【分析】本題考查三角形的外心，根據(jù)外心的形成和性質(zhì)直接判斷即可.

【詳解】解：三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

如果一個(gè)三角形的外心在三角形的外部，說(shuō)明有一個(gè)圓周角大于90。.

故選：C

2.（上海?三模）三角形的外心恰好在它的一條邊上，則這個(gè)三角形一定是.

【答案】直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)】已知外心的位置判斷三角形的形狀

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得該三角形是直角三角形.

【詳解】解：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是其斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在其三角形

的外部；

由此可知若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵掌握直角三角形的外心就是其斜邊的中點(diǎn).

3.（九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)三角形，設(shè)其三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x。，和z。，若x,y,z滿足

x2+y2=z2,我們定義這個(gè)三角形為美好三角形.

c

「y

⑴AABC中，若4=50°,NB=70"則aABC（填“是“或“不是"）美好三角形；

（2）如圖，銳角AABC是。0的內(nèi)接三角形，ZC=60\AC=2,。0直徑為2立，：aABC為美好三角形;

（3）已知AABC為美好三角形，ZJ=30',求NC的度數(shù).

【答案】（1）不是；（2）見解析；（3）乙。=78?；?2。

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、已知外心的位置判斷三角形的形狀

【分析】（1）利用美好三角形的定義得出aABC的形狀進(jìn)而求出即可；

（2）利用勾股定理的逆定理得出4ABC的形狀進(jìn)而得出答案；

（3）利用美好三角形的定義進(jìn)而分別得出NC的度數(shù).

【詳解】（1）解：???△/8C中，乙4=40。，/8=80。，

.??乙。=60。

V402+60V802,

.-8。不是美好三角形；

故答案為不是；

（2）證明：連接CM、OC,

*.JC=2,OA=OC=y[2,

.??△O4C是直角三角形，即ZJOC=9（）。，

?"=45。，

vzC=60°,

山=75。，

???即三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系：452+602=5625=752,

。是美好三角形；

(3)解：設(shè)/C=x。，則48=(150-x)°,

若NC為最大角,則/=(150-x)斗3。2,

解得x=78,

若28最大角，則(150-x)占/+3()2,

解得x=72,

綜上可知，乙。=78?；?2。

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及其推論、三角形的外接圓與外心和解直角三角形，解題的關(guān)犍是掌握?qǐng)A周角定理及其

推論、三角形的外接圓與外心和解直角三角形.

【題型八】判斷三角形外接圓的圓心位置

【例8】(24-25九年級(jí)上?河北保定?期中)如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)力，B,C,D,E,F.G在小正方形網(wǎng)

格的頂點(diǎn)上，則△/AC的外心是()

A.點(diǎn)。B.點(diǎn)、EC.點(diǎn)、FD.點(diǎn)G

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷三角形外接圓的圓心位置

【分析】本題考查三角形外心的定義，根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)解答即可，也是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：作線段力C和線段4c的垂直平分線，如圖,

由圖可知點(diǎn)尸是線段和線段3。的垂直平分線交點(diǎn)，

.??點(diǎn)尸是△45C的外心.

故選C.

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?北京?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過(guò)4（2,2）,8（4,0）,。三點(diǎn)，那么這條圓

弧所在惻的圓心為圖中的（）

-2

-3

A.點(diǎn)。（2,1）B.點(diǎn)E（2,0）C點(diǎn)/（3,0）D.點(diǎn)G（2,—l）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷三角形外接圓的圓心位置

【分析】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性放，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用.根據(jù)圖形作線段4方的垂直平分線上.

與。8的垂線平分線的交點(diǎn)上即為圓心，根據(jù)圖形得出即可.

【詳解】解：如圖:

作線段力〃的垂直平分線〃。，與。？的垂線平分線交于點(diǎn)E,即為弧的圓心,

故選：B.

2.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）己知。是ZUSC的外心，/8OC+N/=210。，則4=

【答案】70?；?50。

【知識(shí)點(diǎn)】判斷三角形外接圓的圓心位置、圓周角定理

【分析】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理.

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)。在△48。內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)。在△48C外部時(shí)，根據(jù)圓周角定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，

?.?O是△/出C的外心,

①當(dāng)點(diǎn)。在△力8C內(nèi)部時(shí)，

N8OC=2/4或180。—g/4OC=N4,

:N8OC+4=210。，

34=210。，

...Z/1=70°,

②當(dāng)點(diǎn)。在△力8c外部時(shí),

180°--Z50C+Z50C=2100,

2

/.NBOC=60°.

.?.4=150°

綜上，N4的大小是70?；?50。.

故答案為：70?；?50。.

3.（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期末）在網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位），△月8c的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)

上.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

9

8

7

6

5

4

3

2

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出△48c的外接圓的圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）：

（2）將MBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到LADE,畫出LADE.

【答案】（I）圓心位置見解析，

（2）圖見解析

【知識(shí)點(diǎn)】判斷三角形外接圓的圓心位置、畫旋轉(zhuǎn)圖形

【分析】本潁考杏了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，三角形的外接圓.

（1）根據(jù)三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，作出兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,再根據(jù)平面

直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)8、。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)點(diǎn)。、E的位置,再與點(diǎn)A順次連接即可.

【詳解】（1）解：圓心位置如圖所示，；

（2）如圖所不，△4QE為所求三角形.

【題型九】判斷確定圓的條件

[例9]（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期末）給出下列說(shuō)法：

①能夠互相重合的兩個(gè)圓叫作等圓；

②長(zhǎng)度相等的弧是等??；

③以2cm長(zhǎng)的半徑的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；

④平面上任意三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，其中正確的有（）

A.②④B.①③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷確定圓的條件、圓的基本概念辨析

【分析】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握等圓、等弧等知識(shí)點(diǎn)，逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：①能夠互相重合的兩個(gè)圓叫作等圓，說(shuō)法正確：

②能夠互相重合的弧是等弧，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

③以2cm長(zhǎng)的半徑的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，說(shuō)法正確;

④平面上不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，原說(shuō)法錯(cuò)誤;

故選:B.

【舉一反三】

1.（23?24九年級(jí)上?山東聊城?期中）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①同弧所對(duì)的圓周角相等：②圓內(nèi)接平行四邊形必為矩形：③90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑：④任意二個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)

圓.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷確定圓的條件、90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、已知圓內(nèi)接四邊形求

角度

【分析】本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)：圓周角的知識(shí)、圓內(nèi)接四邊形及圓的確定等知識(shí)，掌握這叫知識(shí)是關(guān)鍵：根據(jù)圓

周角的粕關(guān)知識(shí)、圓內(nèi)接四邊形及圓的確定知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：①同弧所對(duì)的圓周角相等是真命題；

②圓內(nèi)接平行四邊形必為矩形是真命題；

由于平行四邊形的對(duì)角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則得對(duì)角為直角，從而平行四邊形為矩形；

③90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑是真命題；

④任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓是假命題：任意不在同一直線上三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，

故真命題有3個(gè)；

故選：B.

2.（24-25九年級(jí)上陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，RtZ\/4C中，ZC=90°,NC4B=30。，AB=2,在直角坐

標(biāo)系xOy中運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)A,8分別在x軸負(fù)半軸和），軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)C到點(diǎn)O距離的最大值.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】斜邊的中線等于斜邊的一半、判斷確定圓的條件

【分析】本題考查隱圓問(wèn)題，直角三角形斜邊中線的性質(zhì).取力8的中點(diǎn)。，連接C。、OD,由直角三角形斜邊中線

等于斜邊的一半可得=進(jìn)而可得點(diǎn)小()、B、C在以43為直徑的。。上，可知當(dāng)OC為

。。的直徑時(shí)取最大值.

【詳解】解：取48的中點(diǎn)。，連接C。、0D,

???NC=N4O8=90。，AB=2,

：.CD=AD=BD=OD=-AB=\

2t

???點(diǎn)4、0、B、C在以48為直徑的。。上，

???。。為0。的一條弦，

.?.當(dāng)OC為。。的直徑時(shí)取最大值，最大值為2,

即點(diǎn)C到點(diǎn)O距離的最大值為2,

故答案為：2.

3.(九年級(jí)上?廣東深圳期末)已知等邊△44。的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)力、8不重合).

(1)如圖1.當(dāng)P8=34P時(shí)，A8PC的面積為；

(2)直線/是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△力8c沿直線/折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)

①如圖2,當(dāng)尸8=5時(shí)\若直線〃/4C,求8"的長(zhǎng)度；

②如圖3,當(dāng)P8=6時(shí)，在直線/變化過(guò)程中.請(qǐng)直接寫出△力。*面積的最大值.

圖1圖3

【答案】（1）126；（2）①5百；②46+24

【知識(shí)點(diǎn)】判斷確定圓的條件

【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)為8,計(jì)算等邊△力4C的面積，由同高三角形面積的比等于時(shí)應(yīng)底邊的比，可

得△P8C的面積;

（2）①如圖2中，設(shè)直線，交8c于點(diǎn)連接8夕交夕￡于。證明△PE8是等邊三角形，求出08即可解決問(wèn)題;

②如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作?！ù怪庇?C,當(dāng)夕、P、〃共線時(shí)，A4C9的面積最大，求出P”的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：（1）如圖1中,

圖1

???等邊A48C的邊長(zhǎng)為8,

???等邊”。的面積邛

?：PB=34P,

:ZPC的面積為3166=1273；

4

故答案為：126；

（2）①如圖2中，設(shè)直線/交BC于點(diǎn)E.連接“咬PE于O,

A

圖2'

-PEWAC,

???48〃￡="=60。，乙BEP=^C=60°,

.??△PE8是等邊三角形，

?:PB=5,且&夕關(guān)于P￡對(duì)稱，

」BB"E,BB=2OB,

.?2040=30。，

：,OP=；PBq,08=/2-(|)2=歲,

w=55

②如圖3中，過(guò)點(diǎn)夕作尸〃垂直于4C,

由題意可得：9在以尸為圓心半徑長(zhǎng)為6的圓上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)HP的延長(zhǎng)線交圓P于點(diǎn)方時(shí)面積最大，

在R/A/1PH中,???48=8,PB=6,

”4=2,

?:乙PAH=600,

：.AH=\,PH=6,

.?.8/7=6+、萬(wàn)，

:，SAICB,的it大面=Q（6]6）=4>/3,24.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)卻判定，軸對(duì)稱變換，勾股定理，含30。的直角三角形的性

質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

【題型十】確定圓心（尺規(guī)作圖）

【例10]（23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?階段練習(xí)）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A,B,C,其中6點(diǎn)坐標(biāo)為

（4,4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（）

A.（2,0）B.（2,1）C.（2,2）D.（3,1）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】確定圓心（尺規(guī)作圖）

【分析】本題主要考查確定圓的條件和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心,

可以作弦力8和8c的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，

可以作弦48和8C的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心.

如圖所示，則圓心是（2,0）.

故選：A.

【舉一反三】

1.（九年級(jí)上?北京海淀?階段練習(xí)）小明家的圓形玻璃打碎了，其中三塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的

圓形玻璃，小明應(yīng)帶到商店去的一塊碎片是（）

A.①B.②C.③D.均不可能

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】確定圓心（尺規(guī)作圖）

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小.

【詳解】第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑

的長(zhǎng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即

為該圓的圓心.

2.（九年級(jí)上?北京?期中）有一種化學(xué)實(shí)驗(yàn)中用的圓形過(guò)濾紙片，如果需要找它的圓心，請(qǐng)你簡(jiǎn)要說(shuō)明你找圓心的方

法是

【答案】在圓形紙片的邊緣上任取三點(diǎn)則線段力反力C的垂直平分線的交點(diǎn)O是圓形紙片的圓心.

【知識(shí)點(diǎn)】確定圓心（尺規(guī)作圖）

【分析】如圖，在圓形紙片的邊緣上任取三點(diǎn)4優(yōu)。，連接力8,力。，再作48,4C的垂直平分線得到兩條垂直平分線的

交點(diǎn)即可.

【詳解】解：如圖，在圓形紙片的邊緣上任取三點(diǎn)4SC,

連接則力￡4C的垂百平分線的交點(diǎn)O是圓形紙片的圓心.

故答案為：在圓形紙片的邊緣上任取三點(diǎn)45,C,則線段48,4C的垂直平分線的交點(diǎn)0是圓形紙片的圓心.

【點(diǎn)睛】本題考查的是確定圓的圓心，掌握“作三角形的外接圓的圓心''是解本題的關(guān)鍵.

3.（24-25九年級(jí)上?陜西渭南?期中）如圖，已知圓和弦力8,用直尺和圓規(guī)求作圓心。（保留作圖痕跡，不寫作

法）.

【答案】見解析

【知識(shí)點(diǎn)】確定圓心（尺規(guī)作圖）

【分析1本題考查畫圓心，任取一條弦/1C,分別作力C和48的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心。.

【詳解】解：圓心O如圖.

【題型十一】反證法證明中的假設(shè)

【例11】.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）用反證法證明”等腰三角形的底角小于90?！睍r(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)（）

A.底角大于90°B.底角等于90°C.底角小于90。D.底角大于等于90°

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明中的假設(shè)

【分析】本題考杳了反證法，解此題，關(guān)鍵要懂得反證法的意義和步驟，在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)，要注意考慮結(jié)論的反

面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.根據(jù)反證法的步驟

中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可.

【詳解】解：用反證法證明”等腰三角形的底角小于90?！睍r(shí),第一步］假設(shè)底角大于等于90。,

故選：D.

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?陜西安康?階段練習(xí)）用反證法證明命題”在三角形中，至多有一個(gè)內(nèi)角是直角''時(shí)，應(yīng)先假設(shè)

（）

A.至少有一個(gè)內(nèi)角是直角B.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角

C.至多有一個(gè)內(nèi)角是直角D.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明中的假設(shè)

【分析】此題主要考查了反證法，反證法即假設(shè)結(jié)論的反面成立，“最多有一個(gè)”的反面為“至少有兩個(gè)”.

【詳解】解：?.?”最多有一個(gè)'’的反面是“至少有兩個(gè)“，反證即假設(shè)原命題的逆命題正確，

???應(yīng)假設(shè)：至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角.

故選：D.

2.（23-24九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）用反證法證明：力與人不平行”，第一步假設(shè)為.

【答案】。與b平行

【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明中的假設(shè)

【分析】反證法的第一步假設(shè)結(jié)論的對(duì)立面成立，作答即可.

【詳解】解：用反證法證明：”與。不平行”，第一步假設(shè)為。與人平行：

故答案為：。與人平行.

【點(diǎn)睛】本題考查反證法，熟練掌握反證法的第一步為假設(shè)結(jié)論的對(duì)立面成立，是解題的關(guān)鍵.

3.（24-25九年級(jí)上?福建廈門?期中）用反證法證明：在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓，首先應(yīng)假設(shè).

【答案】在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓

【知識(shí)點(diǎn)】反證法證明中的假設(shè)

【分析】本題考查反證法，根據(jù)反證法的步驟，第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論的反面成立，作答即可.

【詳解】解：用反證法證明：在同一直線上的三點(diǎn)不能確定?個(gè)圓，首先應(yīng)假設(shè)在同?直線上的三點(diǎn)能確定?個(gè)圓；

故答案為：在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓

【題型十二】用反證法證明命題

【例12】（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）我們可以用以下推理來(lái)記明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等

于60。”.假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。，即三個(gè)內(nèi)角都大于60。，則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于180。.這與

“三角形的內(nèi)角和等于180?！边@個(gè)定理矛盾，所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。.上述推理使用的證

明方法