19.7直角三角形全等的判定

一、單選題

1.如圖，ABLBD,CD1BD,AD=BC,判定△48。和△CQ8全等的依據(jù)是（）

A.AASB.SASC.ASAD.HL

2.如圖，ACA.CB,081c8,垂足分別為C,B,AB=DC,可證得△48OAOCB,則證明

3.如圖，在業(yè)aABC中，ZB=90°,A。平分N84C,OEJ_4c于點(diǎn)E,則下列結(jié)不正確的

是（）

A.DE=DBB.AE=ABC.NADE=/ADBD.ED+BD=BC

4.下列條件不能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.兩條直角邊對應(yīng)相等B.斜邊和一銳角對應(yīng)相等

C.斜邊和一直角邊對應(yīng)相等D.兩個銳角對應(yīng)相等

5.如圖，BE=CF,AELBC,DFLBC,要根據(jù)"HL”證明町A4BE空心△OCR則還需要添

加一個條件是（）

D

A.AE=DFB.ZA=ZDC.ZB=ZCD.AB=DC

6.數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利川不同畫圖工具畫角的平分線的方法.小旭說：我用兩塊含30。

的直角三角板就可以畫角平分線.如圖，取0M=OM把直角三角板按如圖所示的位置放

置，兩直角邊交于點(diǎn)P，則射線。尸是NA08的平分線，小祖這樣畫的理論依據(jù)是（）

7.如如圖，RdABC中,ZC=90°,AO是N8AC的平分線，DEA.AB,垂足為日若

AB=10cm,AC=6cm,則股的長度是（）

A.①②③B.①②C.①D.0(3)

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，ZiABC中，ZABC.NE4C的角平分線HP、4P交于點(diǎn)P,延長84、AC,PM工BE,

PN1BF,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）

①CP平分N4CR②NABC+2NAPC=180°；③NAC8=2N4PB；@SAMC=

S^MAP+SANCP.

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.如圖，在△ABC中，ZC=90°,DELAB于D,交AC于點(diǎn)E,若BC=BD,AC=6cm,

BC=8cm,AB=10cm,則△ADE的周長是______.

E

B

18.如圖，在△A8C中，AB=CB,N4BO90。，尸為A8延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)石在BC上，且

BE=BF.

(1)求證：R3ABE/R△CBFx

(2)若/C4E=30。，求NC"的度數(shù).

19.如圖1,己知A,E,F,C在同一條直線，AE=C6過E,尸分別作。月_LAC,BFA.AC,

(1)求證：DB平分EF：

(2)若△DEC的邊EC沿AC方向移動，其余條件不變，如圖2,上述結(jié)論是否仍成立？請

說明理由.

參考答案:

1.D

【分析】

根據(jù)已知條件進(jìn)行推理證明，從而確定判定依據(jù)即可.

【解析】

解:VAB1BD,CD1BD,

NABD=NCD3=90°,

BP：AAB。和aCOB均為直角三角形，

iERt^ABDRt^CDB中，

/.MAABDGRmCDB(HL),

???判定△480和ACOB全等的依據(jù)是HL,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定定理，能夠準(zhǔn)確分析題干信息，掌握每一種判定定理的區(qū)別和應(yīng)

用場景是解題關(guān)鍵.

2.D

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定定理即可得解.

【解析】

證明：VAC1CB,DBA.CB,

...△人仁月與^均為直角三角形，

在RiAACB與RSDBC+,

:.RmABSR小DCB(HL),

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了全等全角三角形的判定.注意本題是對兩個直角三角形全等的判定，熟悉

定理是解答的關(guān)犍.

3.D

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。后8。，再證明△”￡)絲△AE。，故可判斷.

【解析】

???AO平分NBAC,N8=90。，DELAC

：.DE=BD,A正確:

VAD=ADfNABD=NAED

：./\ABD^AAED(HL)

：.AE=AB,ZADE=ZADB,8c正確：

YED+BKBC,故。不正確

故選。.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查全等三角形與角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)健是根據(jù)題意證明三角形全等.

4.D

【分析】

根據(jù)三角形全等的判定定理判斷即可.

【解析】

解：A、根據(jù)SAS定理可知，兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意：

B、根據(jù)A4S定理可知，斜邊和一銳角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)”L定理可知，斜邊和一直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；

D、兩個銳角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

【解析】

解：添加的條件是4B=CZ)：理由如下：

VAE1BC,DFYBC,

：.ZCFD=ZAEB=90°,

在Ri/iABE和Ria。。尸中，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解

此題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】

【解析】

故選B

【點(diǎn)睛】

此題考杳了全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相等的量，再根據(jù)全等三角

形的判定方法求解.

7.B

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。斤DC證明RQAE。絲R/ZkACD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AE=AC=6cm,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【解析】

解：???AO是NB4C的平分線，DE.LAB,ZC=90°,

:.DE=DC,

在心△AEO和/?/△ACD中，

.,./?/△AED^Ri^ACD(HL),

,\AE=AC=()cfn,

BE=ABAE=106=4(c/n),

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩

邊的距離相等是解題的關(guān)健.

8.B

【分析】

易證HAAPR名RIAAPS,可得AS二AR,NBAP=N1,再根據(jù)AQ=PQ,可得Nl=/2,即可

求得。0〃A從即可解題.

【解析】

解：如圖，

在/?/△APR和/?/△APS中，

/./?/△APR^Rt^APSCHL),

???AR=AS,①正確；

ZBAP=Z1,

?：AQ=PQ,

/.Z1=Z2,

???N84P=N2,

：.QP//AB,②正確，

???△8RP和△QSP中，只有小PS,再沒有其余條件可以證明△8RP之AQSA,故③錯誤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題涉及到全等三角形的判定和角平分線的判定，需要結(jié)合已知條件，求出全等三角形或角

平分線，從而判定三個選項(xiàng)的正確與否.

9.C

【分析】

【解析】

*：AD=AD,

???AO垂直平分夕故③正確；

由已知及①②③的結(jié)論無法得出E尸垂直平分A。，故④錯誤：

???正確的個數(shù)有3個；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及線段垂直平分線的判定定理，熟

練掌握直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

10.D

【分析】

過點(diǎn)〃作戶加工人。于根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明

Rl^PAM^Rt^PAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NAPM=NAPD,同理得出NCPO=NCPN,

可判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三用形的性質(zhì)判斷④.

【解析】

解：①過點(diǎn)尸作PO_LAC于。，

1?PB平分NABC,%平分NE4C,PM1BE,PNLBF,PDLAC,

:.PM=PN,PM=PD,

:.PM=PN=PD,

平分N4C凡故①正確；

PNtBC,

/.NA6C+90°+NMPN+90°=360°,

:.NABC+NMPN=180。,

在即△附M和心△心。中，

，放△以M且心△心。(HL),

ZAPM=NAPD,

同理：RmPCD"RmPCN(HL),

:./CPD=/CPN,

:?/MPN=2/APC,

：,ZABC+2ZAPC=\S0°t②正確；

③???布平分NCAE,BP平分NABC,

/.ZCAE=ZABC+ZACB=2ZPAM,ZPAM=ZABC+ZAPB,

：.ZACB=2ZAPB,③正確；

④由②可知M△以”會心4%。(HL),RtAPCD^Rt^PCN(HL)

：.S^APD=S^APM,S&CPD=S〉CPN,

：.S^APM+S^CPN=SAAPC,故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩

邊的距離相等是解題的關(guān)健.

11.50°

只需要證明得至IJN1=NCA￡>=40。，貝JN2=9O°NCAQ=5O°.

【解析】

解：VZB=ZZ>90°,

:.&ABC和"OC均為直角三角形，

在心“3。和心"OC中，

:.RSBCQRmADC(HL),

，N1=NCAD=4O。，

/.Z2=90oZC/4D=50°.

故答案為:50°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵在「能夠熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件.

12.10

【分析】

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE二AD,利用7證明/?/△A3。和RtXEBD

全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得/W=AE,然后求出△DEC的周長=8C,再根據(jù)8c=10,

即可得出答案.

【解析】

解：是NA4C的平分線，DE工BC,ZA=90°f

：.DE=AD,

在RsABD和RIAEBD中,

ABD^RtLEBD(HL)，

：.AB=BE,

：.叢DEC的周長=OE+C7>CE

=AD+CD+CE

=AC+CE

=AB+CE

=BE+CE

=BC,

?"GIO,

??.△OEC的周長是10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

熟記各性質(zhì)并求出△DEC的周長二BC是解題的關(guān)鍵.

13.8cm

【分析】

【解析】

連接BE,

B

故答案為：8cm

【點(diǎn)睛】

本題考查了證明三角形全等以全等三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

14.55°

【分析】

根據(jù)可證得心△△即△CFQ,從而得到NBDE=NC/7A35。，即可求解.

【解析】

解：VZ￡>FC+ZAFD=18D°,ZAFD=145°,

：.ZCFD=35°.

又???DE_LAB,DF1BC,

/.ZBED=ZCDF=90°,

在R3BDE與4R3CFD中，

，心△BDE必RmCFDQHL),

：./BDE=/CFD=35。,

:NEDF+NBDE=90。,

NEDF=55。.

故答案是：55°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，能根據(jù)“心證得

RS8OE絲△/?/△CFQ是解題的關(guān)鍵.

15.8或4##4或8

【分析】

根據(jù)直角三角形全等的判定方法確定AD的長度.

【解析】

*：AC±BCfAPA.AC,

/.NACB=NE4Q=90°,

?：DE=AB,

/.當(dāng)AD=AC=Scm時，根據(jù)“小廣可判斷RtAAQE0RSCAB；

當(dāng)八。=4c=4cm時，根據(jù)“〃L”可判斷RS/IDE^RtACHA；

綜上所述，當(dāng)AO=8cm或4cm時，ZkAOE和^ABC全等.

故答案為：8或4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要

注意這里有兩種情況.

【分析】

(1)由角平分線的性質(zhì)得DE=DF,再根據(jù)HL證明/?/△AEDWRmAFD,得AE=AF,從

而證明結(jié)論：

【解析】

(1)證明：:八。是△人小。的角平分線，DE、分別是△/!"￡＞和△ACD的高，

：,DE=DF,

在RtLAED與RthAFD中,

:?R小AEDWRmAFD(HL),

：,AE=AF,

?；DE=DF,

???A。垂直平分￡”；

(2)解：?；DE=DF,

???4B+AC=10,

，OE=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn).

17.(1)見解析；(2)5

【分析】

【解析】

：?/D=/EBC；

：?NE=/DFC；

又?：CB=CD

(2)解：由(1)得CE=CFBE=DF=2

VZ￡=ZDFC=90°,AC=AC,

：,AF=AE

：,AF=AE=AB+BE=AI3+DF=5

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及性質(zhì).

18.(I)證明見解析；(2)ZACF=60°.

【分析】

(1)利用“印廣證明三角形全等即可；

【解析】

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的

判定方法與性質(zhì).

19.(I)見