立方根與實數(shù)的運算（知識清單+6大題型+好題必刷）

尊題型匯聚

「題型二……豆為福概念理解:

j題型二求一個數(shù)的立方根j

i題型三已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù):

:題型四立方根的實際應(yīng)用：

I題型五實數(shù)的混合運算;

;題型六實數(shù)運算的實際應(yīng)用：

Ia

?知識清單

知識點1.立方根

（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做〃的立方根或三次方根.這就星說，如果工3=0那么工叫做。

的立方根.記作：Va-

（2）正數(shù)的、工方根是正數(shù)，0的立方根是0,負數(shù)的立方根是負數(shù).如任意數(shù)都有立方根.

（3）求一個數(shù)。的立方根的運算叫開立方，其中。叫做被開方數(shù).

注意：符號五中的根指數(shù)“3”不能省略：對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方狼的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0;負數(shù)沒有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.

知識點2,實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開

方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號

的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、廨的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的

計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種

運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

?題型練習_________________________________________________________

【題型一】立方根概念理解

【例1】（24-25七年級上?浙江杭州?期中）下列說法正確的有（）

①若a+b=0,則加+孤=0②若私=〃，則a=0

③若Id=Ml，貝4=b④若\a\=a,則a20

A.①②B.②③C.③④D.①④

【舉一反三】

I.（24-25七年級上?浙江?期中）下列說法：①若兩個數(shù)乘積為1,則這兩個數(shù)必互為倒數(shù)：②任何正數(shù)都有兩個互

為相反數(shù)的平方根：③立方根等于本身的數(shù)有1,0，-1;④一個數(shù)的算術(shù)平方根一定比原數(shù)小.其中錯誤的是（）

A.①B.②C.③D.④

2.（23-24七年級上?浙江杭州?階段練習）比較下列實數(shù)的大?。憾鳹64（填"”“二”或.

3.（23-24七年級上?浙江杭州?階段練習）求下列各式的值.

（1）若。與b互為相反數(shù)，。與"互為倒數(shù)，x的絕對值等于5,求3（a+3-6cd+x的值；

（2）若s-2的立方根是3,，+3的算術(shù)平方根是4,求ST的平方根：

（3）如圖，在4x4方格中陰影正方形的邊長是它的整數(shù)部分是小數(shù)部分是一（小正方格的邊長為1個長度單位）.

【題型二】求一個數(shù)的立方根

【例2】（24-25七年級上?浙江溫州?期末）數(shù)行的值為（）

A.±3B.9C.3D.81

【舉一反三】

1.（24-25七年級上?浙江紹興?期末）在實數(shù)2萬2，出,3.14,網(wǎng)中，屬于無理數(shù)的是（）

22

A.—B.GC.3.14D.雙

2.（24-25七年級上?浙江紹興?期中）64的平方根為；鬧的立方根為.

【題型四】立方根的實際應(yīng)用

【例4】（24-25七年級上?浙江紹興?期中）一個正方體儲水容器，已知其容積是27m3,則該容器的棱長是（）

A.9mB.V27mC.3mD.百m

【舉一反三】

1.（23-24七年級上?浙江溫州?期中）如圖，一階魔方為2x2x2的正方體結(jié)構(gòu)，由8個相同的小方塊組成.已知一階

魔方的體積為64cm3（小方塊之間的縫隙忽略不計），那么每個方塊的邊長為（）

由

A.4cmB.2cmC.RcmD.8cm

4

2.（24-25七年級上?浙江杭州?期末）已知球體的體積夕若一個球的體積是36幾，則它的半徑，,二

3.（24-25七年級上?浙江?期中）如圖，一個底面半徑為女m的瓶子內(nèi)裝著一些溶液.當瓶子正放時，瓶內(nèi)溶液的高度

為16cm；倒放時，空余部分的高度為4cm.瓶內(nèi)的溶液正好倒?jié)M2個一樣大的正方體容器（兀取3,容器的厚度不

計）.

（1）該瓶子的容積（裝滿時溶液的體積）是多少立方厘米?

（2）正方體容器的棱長是多少厘米？

【題型五】實數(shù)的混合運算

【例5】（23-24七年級上?浙江杭州?期末）若實數(shù)。，b滿足Q+b=l-百，則（）

A.力都是有理數(shù)B.。的結(jié)果必定為無理數(shù)

C.a,人都是無理數(shù)D.a-〃的結(jié)果可能為有理數(shù)

【舉一反三】

I.（23-24七年級上?浙江杭州?期末）實數(shù)m4c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若可二k|,則下列結(jié)論錯誤的

是（）

abc

—1---------1-----1―?

A.a+cvOB.a-b<0C.ab<0D.^<0

2.（24-25七年級上?浙江杭州,期中）計算：V27-（V3-2）=.

3.（24-25七年級上?浙江臺州?期末）計算：

（l）（V3+l）->/3；

(2嚴+2x(-6)+4.

【題型六】實數(shù)運算的實際應(yīng)用

【例6】（24-25七年級上?浙江溫州?期中）下列計算正確的是（）

A.7?=±2B.（-1）2=-1C.^27=3D.五+也=亞

【舉一反二】

1.（24-25七年級上?浙江嘉興?期中）若x為實數(shù)，在“百口工”的“□”中添上一種運算符號（在"+,",x,+”中選擇）

后，其運算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（）

A.4B.V3C.2-y/3D.-y/3

2.（22?23七年級上?浙江寧波?期中）寫出兩個無理數(shù)，使它們的和為2.

3.（22-23七年級上?浙江嘉興?期中）閱讀材料：若點M,N在數(shù)軸上分別表示實數(shù)〃?，〃，那么歷，N之間的距離

可表示為.例如即表示3,1在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離;同樣：|5+3|=|5-（-3）|表示5,-3在數(shù)軸

上對應(yīng)的兩點之間的距離.根據(jù)以上信息，完成下列題目：

（1）已知A,B,C為數(shù)軸上三點，點A對應(yīng)的數(shù)為后，點。對應(yīng)的數(shù)為1.

①若點8對應(yīng)的數(shù)為-2,則4,。兩點之間的距離為一：

②若點A到點B的距離與點A到點C的距離相等，則點B對應(yīng)的數(shù)是—.

（2）對于|I-3|+|、+4|這個代數(shù)式.

①它的最小值為—；

②若|x-3|+|x+4|+|），-l|+|y+2|=10,則x+y的最大值為.

一、單選題

1.若一個數(shù)的立方根為-;，則這個數(shù)為（）

A.，B.-C」一

99?27?27

2.已知了=近-3,下列結(jié)論錯誤的是（)

A.x是負數(shù)B.x-6是27的立方根

C.f是無理數(shù)D.x+3是7的算術(shù)平方根

3.在計算器上按鍵后-8=，顯示結(jié)果是（）

A.-3B.3C.17D.33

4.若一個數(shù)的平方根等于它的立方根，則這個數(shù)是（）

A.0B.1C.1D.±1

5.下列說法正確的是（）

A.百的算術(shù)平方根是3B.1的平方根是它本身

42

c.與的平方根是士:D.若一個數(shù)的平方根等于它的立方根，則這個數(shù)為1

6.下列計算結(jié)果不等于2的是（）

A.44B.1-(-1)C.(-2)\1D.0

7.一個正方體的體積擴大為原來的8倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼模ǎ?/p>

A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍

8.一個數(shù)的平方根與立方根相等，這樣的數(shù)有（）.

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

9.下列說法錯誤的是（）

A.±y/4=±2B.64的算術(shù)平方根是4

C.s/o+=0D.若J1-x+Jx-1=0.則x=l

10.要生產(chǎn)一個底面為正方形的長方體形容器，容積為128L（1L=1立方分米），使它的高是底面邊長的2倍，則底

面邊長為（）

A.2分米B.3分米C.4分米D.5分米

二、填空題

11.已知（x—了=27,則x的值是.

12.若x+5的立方根是2,則3x+l的平方根是.

13.若一個數(shù)。的相反數(shù)等于它本身，則而一5亞丁77+2標亞=.

14.已知己-1=.丫-1，貝iJY-x的值是.

15.己知3十班的小數(shù)部分是〃?,3-冷的小數(shù)部分是〃，則帆+〃的立方根足.

16.有四個實數(shù)分別是32,也,-23,2&,請你計算其中有理數(shù)的和與無理數(shù)的積的差，其計算后的結(jié)果為_____.

2

三、解答題

17.已知x+JJy=0,其中x,y是有理