專題10-同余定理

小升初數(shù)學思維拓展數(shù)論問題專項訓練

（知識梳理+典題精講+專項訓練）

]:

知鋼梳理

1、所謂的同余，顧名思義，就是許多的數(shù)被一個數(shù)d去除，有相同的余數(shù).d數(shù)學上的稱

謂為模.如a=6,b=1,d=5,則我們說a和b是模d同余的.因為他們都有相同的余數(shù)1。

I

【典例一】一個兩位數(shù)，除以3余1,除以5余3,這個兩位數(shù)最大是（）

A、78B、88C、98D、90

【分析】除以3余1,除以5余3,那么這個數(shù)不是3和5的倍數(shù)；由此用排除法求解.

【解答】解：除以3余1,除以5余3,那么這個數(shù)不是3和5的倍數(shù)；

A、7+8=15;15是3的倍數(shù)，所以78是3的倍數(shù)，故A錯誤；

D、5的倍數(shù)的個位數(shù)都是0或5的整數(shù)，90的個位數(shù)字是0,那么是5的倍數(shù)，故D錯誤；

BC、而這個數(shù)的末尾應是3或8;B和C都符合，只要再看哪個數(shù)除以3余1即可.

88+3=29…1;

984-3=32-2；

88除以3余1,所以88符合要求.

故選：B.

【點評】本題先根據(jù)余數(shù)的特點，找出這個數(shù)的可能性，再利用排除法進行求解.

【典例二】有一整數(shù)，除300,262,205得到的余數(shù)相同，這個整數(shù)是（）。

【分析】這個數(shù)除300、262,得到相同的余數(shù)，所以這個數(shù)整除300-262=38,同理，這個

數(shù)整除262-205=57以及300-205=95,因此，求出38、57、95的最大公約數(shù)1即是所求結

論.

【解答】解：300-262=38,2

62-205=57,

300-205=95.

38,57,95的最大公約數(shù)是19.這個整數(shù)是19.

故答案為：19.

【點評】此題考查了學生最大公約數(shù)的知識，以及整除的性質.

【典例三】動物賓館來了不足30只小動物，每4只住一間或6只住一間最后都會余3只住

一間，想一想，動物賓館來了幾只小動物？

【分析】先求出4和6的公倍數(shù)，然后加上3即可.

【解答】解：30以內，4的倍數(shù)有：4、8、12、16、20、24、28：

6的倍數(shù)有：6、12、18、24、

4和6的公倍數(shù)是：12、24

12+3=15（只），24+3=27（只）.

答：動物賓館來了15或27只小動物.

【點評】解答此題的關鍵是先求出6和4的公倍數(shù)，然后加上3進行解答即可.

專項制稱

一.選擇題（共3小題）

1.已知69,90,125分別除以一個大于1的自然數(shù)N,它們的余數(shù)相同，那么81除以N的

余數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.7

2.一筐桔子6個人平均分余1個，7個人平均分也余1個，這筐桔子至少有（）個.

A.13B.21C.8D.43

3.一箱桃子有40多個，如果把這箱桃子每8個裝一盒，還剩5個；如果每10個裝一盒，

也軻余5個，這箱桃子有（）個。

A.40B.45C.48

二.填空題（共13小題）

4.有一個數(shù)，除300、262、205,都得到相同的余數(shù)，這個數(shù)是.

5.A+2=c..1,A+3=d....1,A+5=e...1,c,d、e均為非零自然數(shù)，則A最小

是—o

6.有一個自然數(shù).被10除余7.被7除余4.被4除余1.這個自然數(shù)最小是.

7.用某數(shù)分別去除數(shù)560、906和1252,所得余數(shù)都相同，則這個數(shù)是.

8.一個大于1的整數(shù)分別除167,352,574得到相同的余數(shù)，則這個整數(shù)為.

9.123⑵+234以+345鄧除以5,余數(shù)是.

10.有甲、乙、丙、丁四個數(shù).甲數(shù)除以4商2011余2,乙數(shù)除以8商2011余4,丙數(shù)除

以12商2011余6,丁數(shù)除以16商2011余8.那么甲、乙、丙、丁四個數(shù)的總和除以4的

商是.

11.22003與20032的和除以7的余數(shù)是.

12.有幾十個蘋果，三個一組，余2個，四個一組，余2個，5個一組余2個，共個.

13.被10除余2,被11除余3,被12除余4,被13除余5的最小自然數(shù)是.

14.一個數(shù)除13511,13903,14589的余數(shù)都相同，這個數(shù)最大是.

15.一排士兵（不超過12人）報數(shù),1、2、1、2……地報數(shù)，排尾的人報1;1、2、3、1、

2、3……地報數(shù),排尾的人報2：1、2、3、4、1、2、3、4……地報效，排尾的人報3。有

名士兵。

16.如果33、27與21分別除以同一個數(shù)，余數(shù)都是3,那么這個除數(shù)最大的是.

三.解答題

17.有一個數(shù)，它比30小，比20大，如果平均分成4份還余2,如果平均分成6份就余4,

這個數(shù)是多少？

18.有一個兩位數(shù)，除以2與除以3都余1,除以4與除以5都余3,求這個數(shù).

19.用151、197、238分別除以同一個整數(shù)，所得3個余數(shù)的和是31,這個整數(shù)是幾？

20.如果13511、13903、14589這3個自然數(shù)除以一個自然數(shù)，所得的余數(shù)相同，那么這個

自然數(shù)最大是多少？

27.有一個不等于1的整數(shù)，它除967、1000、2001,程到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多

少？

28.有一堆蘋果，3個3個地數(shù)多1個，4個4個地數(shù)多1個，5個5個地數(shù)少4個.這堆

蘋果最少有多少個？

29.有一個不等于1的整數(shù)，它除967.1000.2001得到相同的余數(shù).那么這個整數(shù)是多少？

參考答案

一.選擇題（共3小題）

1.【答案】B

【分析】可設69=x+a（〃是余數(shù)），90=y+a,\25=z+a,x,y,z能被這個自然教

整除，相減之后即90-69=），-工能被這個自然數(shù)整除，所以得到這個結論：這個數(shù)能同時

整除它們的差，然后求出公約數(shù)即可解答.

【解答】解：90-69=21,

125-69=56,

125-90=35,

21,56,35能同時被這個數(shù)整除，

21,56,35大于1的公約數(shù)為7.

81+7=11...4

故選：B。

【點評】本題主要考查了公約數(shù)的概念，通過同余得出它們的差能夠整除這個自然數(shù)是解答

本題的關鍵.

2.【答案】D

【分析】如果這筐桔子去掉一個，也就可以被6和7整除，由此求出6、7的最小公倍數(shù)加

1即可得出答案.

【解答】解：6和7的最小公倍數(shù)是6x7=42,

42+1=43（個），

答：這筐桔子至少有43個.

故選：D。

【點評】解決此題的關鍵是抓住余數(shù)相同，轉化為整除解決問題.

3.【答案】B

【分析】如果把這箱桃子每8個裝一盒，還軻5個；如果每10個裝一盒，也剩余5個，說

明這個數(shù)減去5后，能被8和10整除，這個數(shù)就是8和10的公倍數(shù)再加上5,據(jù)此解答。

【解答】解:8和10的最小公倍數(shù)為40.

40+5=45（個）

符合題意。

答：這箱桃子有45個。

故選：B.

【點評】本題主要考查了同余定理，題目較為簡單，找到8和10的公倍數(shù)是本題解題的關

鍵.

二.填空題（共13小題）

4.

【分析】根據(jù)同余定理，300、262、205這三個數(shù)兩兩的差都是這個整數(shù)的倍數(shù)，這個整數(shù)

最大為這三個差的最大公因數(shù)；然后把這三個差分解質因數(shù)，即可找出這個最大自然教.

【解答】解；3（X）-262=38=2x19

262-205=57=3x19

300-205=95=5x19

所以三個差的最大公因數(shù)為：19

答：這個數(shù)是19.

故答案為：19.

【點評】本題解答的依據(jù)是同余定理之一：〃對于?！ㄍ嗟某湟獥l件是：。與人的差

能被〃整除.

5.【答案】31。

【分析】觀察這幾個算式，余數(shù)都是1,如果沒有余數(shù)，那么被除數(shù)就是2,3,5的公倍數(shù)，

再加上1,就是A,要使A最小就是2,3,5的最小公倍數(shù)加數(shù)1,由此求解。

【解答】解：2,3,5的最小公倍數(shù)是：

2x3x5=30

則4=30+1=31。

故答案為：31o

【點評】解決本題關鍵是明確：A最小是2,3,5的最小公倍數(shù)，再加上余數(shù)1。

6.【分析】被10除余7,被7除余4,被4除余1,如果加上3,就都正好整除，所以只要

求出10,7,4的最小公倍數(shù)再減去3就可以了.

【解答】解：10、7、4的最小公倍數(shù)是140,

140-3=137,

故答案為：137.

【點評】本題主要考查同余定理，將此問題轉化為求3個數(shù)的最小公倍數(shù)問題是解答本題的

關鍵.

7.

【分析】因為560、906和1252被同一個數(shù)去除，所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理可知，則

其中任意兩個數(shù)的差應是這個除數(shù)的整數(shù)倍，906-560=346,1252-906=346,

1252-560=692,346=2x173,692=2x2x173,所以這個數(shù)是346或173.

【解答】解：因為906-560=346,1252-906=346,1252-560=692;

346=2x173,692=2x2x173,

所以這個數(shù)是346或173.

故答案為：346或173.

【點評】如果幾個數(shù)被同一個數(shù)除余數(shù)相同，則這幾個數(shù)兩兩相減的差是這個除數(shù)的整數(shù)信.

8.

【分析】根據(jù)同余定理，167,352,574這三個數(shù)兩兩的差都是這個整數(shù)的倍數(shù)，這個整數(shù)

為這三個差的因數(shù)；然后把這三個差分解質因數(shù)，即可找出這個整數(shù).

【解答】解：352-167=185=5x37,

574-352=222=2x3x37,

574—167=407=37x11：

所以這個整數(shù)為三個差的公有因數(shù)：37：

答：這個整數(shù)為37.

故答案為：37.

【點評】本題解答的依據(jù)是同余定理之一：〃、〃對于?！ㄍ嗟某湟獥l件是：〃與。的差

能被〃整除.

9.

【分析】（1）由題意得（123⑵+234234+345知）+5=12浮+5+23產+5+345-鄧小5,然后

根據(jù)同余定理解答.（2）判斷某數(shù)是否為5的倍數(shù)只看此整數(shù)的個位數(shù).123的一次方個

位上數(shù)字是3,123的二次方個位上數(shù)字是9,123的三次方個位上數(shù)字是7,123的四次方

個位上數(shù)字是1,123的五次方個位數(shù)字又回到3了，所以4個一循環(huán)，123除以4余3,因

此123的123次方個位數(shù)字為7,7除以5余2;234的一次方個位上數(shù)字是4,234的二次

方個位上數(shù)字是6,234的三次方個位上數(shù)字又回到4了，也就是234的奇數(shù)次方個位上數(shù)

字是4,偶次方個位上數(shù)字是6,234偶數(shù)，所以234的234次方個位數(shù)字為6,6除以5余

1;3454的能被5整除，余數(shù)是0,由此解答.

【解答】解：由分析和題意得：

123+4=30…3,

所以123的123次方個位數(shù)字為7,

7+5=1…2,

所以123⑵除以5余2：

234偶數(shù)，所以234的234次方個位數(shù)字為6,6除以5余1,

所以234?”除以5余4；

345泗的能被5整除，余數(shù)是0;

則（2+1）+5=0…3,

所以123⑵+2342"+345M除以5,余數(shù)是3.

故答案為：3.

【點評】靈活利用同余定理解決問題.

10.【分析】根據(jù)商x除數(shù)十余數(shù)=被除數(shù)，分別表示出甲、乙、丙、丁四個數(shù)，又因為除

數(shù)都是4的倍數(shù)，可以進行巧算；然后再用它們的和除以4即可.

【解答】解：（2011x4+2+2011x8+4+2011x12+6+2011x16+8）^4

=[(2011x4+2011x4x2+2011x4x3+2011x4x4)+(2+4+6+8)R4

=[2011x(1+2+3+4)X4-5X4]4-4

=2011x10+5

=20110+5

=20115.

答：商是20115.

故答案為：20115.

【點評】本題關鍵是根據(jù)有余數(shù)的除法，分別表示出四個數(shù)，然后再根據(jù)數(shù)據(jù)特點進行巧算

得出結果.

11.【分析】2的次方+7其實是有規(guī)律可循的，2?7余2,4+7余4,8+7余1,I6-7余

2,32除以7余4,64+7余1,2的次方+7的余數(shù)是2,4,1循環(huán)的.2003?3余2,那么

就是循環(huán)中第2個數(shù).也就是4.2003x2003=4012009.4012009+7余1.兩個余數(shù)相加就

是4+1=5;由此得出2的2003次方與2003的2次方的和除以7的余數(shù)是5.

【解答】解：由2的次方47的余數(shù)是2,4,1循環(huán)的可得：

2003+3=667…2,所以Z200'+7的余數(shù)是4：

因為2(X)3x2003=4012(X)9,

4012009+7余1,即20032+7余1,

所以Z2003與2003?的和除以7的余數(shù)是1+4=5,

故答案為:5.

【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)2的次方.7余數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出a200?+7的余數(shù)是4.

12.【分析】說明這堆革果的個數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)加2,3、4、5的最小公信數(shù)是3x4x5=60,

又知這堆蘋果有幾十個，可確定這堆蘋果有60+2個，由此解決問題即可.

【解答】解：3、4、5是互質數(shù)，

3^4話口5的最4、公倍數(shù)是：3x4x5=60,

60+2=62(個)，

答：共有62個，

故答案為：62.

【點評】此題主要考查求三個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：三個數(shù)互質，它們的最小公倍數(shù)是它

們的積，并用此決解實際問題.

13.【分析】從題中可以看出這個數(shù)加8就能被10,11,12,13整除，所以要先求10,11,

12,13的最小公倍數(shù)，把10,11,12,13分解質因數(shù)，把它們公有的質因數(shù)和獨有的質因

數(shù)連乘所得的積就是它們的最小公倍數(shù)，再用這個數(shù)減8,可知符合條件的最小的自然數(shù)

【解答】解：10=2x5,11和13是質數(shù)，12=2x2x3,

所以，10,11,12,13的最小公倍數(shù)是：

2x2x3x5x11x13=8580

最小自然數(shù)是：8580-8=8572.

故答案為：8572.

【點評】此題主要考查了同余問題的靈活應用，注意求最小公倍數(shù)時，把＜它們分解質因數(shù)后，

把公有的質因數(shù)和獨有的質因數(shù)連乘所得的積就是它們的最小公倍數(shù).

14.

【分析】根據(jù)同余定理，13511、13903、14589這三個數(shù)兩兩的差都是這個整數(shù)的倍數(shù)，這

個整數(shù)最大為這三個差的最大公因數(shù)：然后把這三個差分解質因數(shù),即可找出這個最大自然

數(shù).

【解答】解；13903-13511=392=2x2x2x7x7

14589-13903=686=2x7x7x7

14589-13511=1078=2x7x7x11

所以三個差的最大公因數(shù)為：2x7x7=98

辱：這個自然數(shù)最大是98.

故答案為：98.

【點評】本題解答的依據(jù)是同余定理之一：。、〃對于?！ㄍ嗟某湟獥l件是：a與人的差

能被”整除.

15.【答案】11。

【分析】根據(jù)題意可知，士兵的人數(shù)要同時符合下列條件：①士兵人數(shù)不超過12：②2個2

個地數(shù)，余1;③3個3個地數(shù)，余2;④4個4個地數(shù)，余3?？梢詮?名士兵開始嘗試計

算，找出正確答案。

【解答】解：根據(jù)題意可在，士兵的人數(shù)要同時符合下列條件：①士兵人數(shù)不超過12；②2

個2個地數(shù)，余1;③3個3個地數(shù)，余2;④4個4個地數(shù)，余3。

(1)假設有7名士兵，74-2=3……1,7+3=2……1,7+3的余數(shù)不是2,不符合題意。

(2)假設有8名士兵，8+2=4,8+2無余數(shù)，不符合題意。

以此類推，假設有11名士兵，11+2=5……1,11+3=3……2,11+4=2……3,符合題意。

答：有11名士兵。

故答案為：11。

【點評】解決本題也可以這樣想：若增加1人，則總人數(shù)是2、3、4的公倍數(shù)，所以總人數(shù)

是2、3、4的公倍數(shù)少1,即11。

16.【分析】把33、27、21分別減去余數(shù)3可得30、24、18,再找出這三個數(shù)的最大公約

數(shù)，就是除數(shù)最大值，由此可以解決.

【解答】解：33-3=30,27-3=24,21-3=18,

30=2x3x5,

24=2x2x2x3,

18=2x3x3,

30、24和18的最大公約數(shù)是2x3=6,所以這個除數(shù)最大是6.

故答案為：6.

【點評】此題是求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法的應用，關鍵是分析出30、24、18這三個數(shù).

三.解答題

17,【分析】如果平均分成4份還余2,如果平均分成6份就余4,如果這個數(shù)加上2之后

就能被4和6整除，即是4和6的公倍數(shù)，然后分解質因數(shù)求出比30小，比20大的公倍數(shù)

即可.

【解答】解：根據(jù)分析可得，

4=2x2

6=2x3

4和6的最小公倍數(shù)：2x2x3=12

12x2-2=22

20<22<30

答：這個數(shù)是30.

【點評】本題考查了余數(shù)問題，關鍵是明確這個數(shù)加上2之后是4和6的公倍數(shù).

18.【分析】根據(jù)題意，這個兩位數(shù)應該是2和3的公務數(shù)多1,即6的倍數(shù)多1,；同時

又是4和5的公倍數(shù)多3,即20的倍數(shù)多3.根據(jù)兩位數(shù)中20的信數(shù)多3的數(shù)有：23、43、

63、83,其中是6的倍數(shù)多1的只有43.所以這個數(shù)為43.

【解答】解：這個兩位數(shù)應該是2和3的公倍數(shù)多1,

即6的倍數(shù)多1,;

同時又是4和5的公倍數(shù)多3,

即20的倍數(shù)多3.

根據(jù)兩位數(shù)中20的倍數(shù)多3的數(shù)有：

23、43、63、83,

其中是6的倍數(shù)多1的只有43.

答：這個數(shù)為43.

【點評】本題主要考查同余定理，先根據(jù)余數(shù)的特點，找出這個數(shù)的可能性，再利用排除法

進行求解.

19.【答案】450,24O

【分析】由題意，這三個數(shù)的和減去31后，得到的差一定能被這個整數(shù)整除，然后這個差

分解質因數(shù)，即可得出結論。

【解答】解：由題意可得：

⑸+197+238-31=555

555=3x5x37

因為5做除數(shù)余數(shù)和最大是12,不符合題意，15做除數(shù)余數(shù)和是1+2+13=16,不符合題

意，

所以這個數(shù)是37“

答：這個整數(shù)是37。

【點評】本題考查同余問題的靈活運用，解題的關鍵是理解這三個數(shù)的和減去31后，得到

的差一定能被這個整數(shù)整除。

20.【答案】98o

【分析】根據(jù)據(jù)同余定理，13511、13903、14589這三個數(shù)兩兩的差都是這個整數(shù)的倍數(shù)，

這個整數(shù)最大為這三個差的最大公因數(shù)：然后用短除法即可找出這個最大自然數(shù)。

【解答】解：3903-13511=392

14589-13903=686

14589-13511=1078

213926861078

7ll96~343539

■284977

47If

2x7x7=98

答：這個自然數(shù)最大是9虱

【點評】本題是一道有關理除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)、帶余除法（中國剩余定理）的

題目。

21.

［分析】由于用它去除425余5,去除500少4,去除300余6,則這個最大自然數(shù)是425-5,

500+4,300-6的最大公因數(shù).據(jù)此完成即可.

【解答】解：425-5=420,500+4=504.300-6=294

420=2x2x3x5x7

504=2x2x2x3x3x7

294=2x3x7x7

即296、504和294的最大公約數(shù)是：2x3x7=42.

答：這個數(shù)最大是42.

【點評】根據(jù)這個數(shù)除幾余幾求出這個數(shù)是哪些數(shù)的最大公因數(shù)是完成本題的關跳.

22.

v-1-1

【分析】采用逆推法，設最后一次5份，每份x塊，那分前為（5x4-1）塊，那第三次每份為二士

2

塊，分前為（至二+1）塊，第二次每份為25x+7塊,分前為（12"+35+I）塊,第一次每

266

份為125X+41塊,分前為（5（125x+41）+1=5（125*+17）十塊,求最小值，就是（i25x+17）

242424

能被24整除的最小值，x必須方數(shù)，且不能被3整除（17不能被3整除），x-1,5,7,11….代

入后11合適.所以有糖296塊；因此得解.

【解答】解：假設第四次五等份的一份是x塊，則由以上分析，則這一堆糖共有：

5（⑶+⑺塊,

24

要求它的值最小，且是整數(shù)，就是125X+17能被24整除的最小值，x必須奇數(shù)，且不能被

3整除（17不能被3整除），x=\,5,7,11....代入后11合適.所以有糖296塊；

答：這堆糖至少296塊.

【點評】此題采用逆推法，列出代數(shù)式，湊數(shù)得解.

23.【分析】被6除余5,余數(shù)是5,如果減去5,這個數(shù)就是6的倍數(shù)，且被5除還余2,

這樣從最小的6的倍數(shù)開始尋找，6+5=1…1:那么6x2=12,符合被5除余2,所以這個

數(shù)最小是12+5=17,然后根據(jù)以后每30個（5和6的最小公倍數(shù)）有這樣一個數(shù)，找出在

100至200之間所有這樣的數(shù)即可.

【解答】解：被6除余5,余數(shù)是5,如果減去5,這個數(shù)就是6的倍數(shù)，且被5除還余2,

這樣從最小的6的倍數(shù)開始尋找，6+5=1…1,不符合要求；

那么，6x2=12,籽合被5除余2,

所以這個數(shù)最小是：12+5=17,

起始的一個是17,自此以后每30個（5和6的最小公倍數(shù)）有這樣一個數(shù)，

所以是：17.47.77,107,137,167,197,

所以，在100至200之間這樣的數(shù)有：107,137,167,197.

答：在100至200之間所有這樣的數(shù)是107,137,167,197.

【點評】本題先根據(jù)余數(shù)的特點，找出符合要求的最小的這個數(shù)，再利用5和6的最小公倍

數(shù)30按規(guī)律進行求解.

24.

【分析】根據(jù)同余定理，2d,56,104這三個數(shù)兩兩的差都是這個整數(shù)的倍數(shù)，這個整數(shù)為

這三個差的因數(shù)；然后把這三個差分解質因數(shù)，找出它們的最大公園數(shù)，即可找出這個整數(shù).

【解答】解：56-24=32;

104-24=80;

104-56=48;

32=2x2x2x2x2:

80=2x2x2x2x5;

48=2x2x2x2x3;

32、80、48的最大公因數(shù)是：2x2x2x2=16;

所以K的最大值是16.

【點評】本題解答的依據(jù)是同余定理之一：〃、〃對于模〃同余的充要條件是：。與人的差

能被〃整除.

25,【分析】我們先要找到一個除1外最小的滿足條件的數(shù)；只看被7除余1,那么這個數(shù)

是8,但8不滿足被4除余3,于是加上7,再看，是15,15滿足這兩個條件；所以用15

加上4和7的最小公倍數(shù)（即28）的任意整數(shù)倍，均可滿足條件；所以，100以內的有：15,

43,71,99.

【解答】解：根據(jù)分析可得，

（1）除1外最小的能滿足被7除余1的數(shù)是8,但8+4=2,不滿足被4除余3,根據(jù)同余

定理：被除數(shù)加上除數(shù)的倍數(shù)，再除以除數(shù)，余數(shù)不變：可