四川省嘉祥教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.己知向量4=(2,3),b=(.v,-6),若聯(lián)〃力，貝ljx=()

11

A.—4B.4C.-D.—

44

2.化簡(jiǎn)1-2COS222.5°的結(jié)果是()

「五門(mén)五

AA?1BR._—1—C?一D?

2222

3.為得到函數(shù)/(x)=sinx+酊的圖象，只需把余弦曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)的(

)

A.向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度

6

C.向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

6

4.若方為單位向量，O「_L75，則。彳(。4+。8)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.在V/8C中，/BW，AB=8,AC=7,則〃C=()

A.5B.3或5C.4D.2或4

?C

6.已知sina-cos(a-5)=；,貝ijcos(2a-J)的值為()

633

7217

氏C

A.9--3-3-D.-9-

7.筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具”.如圖，一個(gè)半徑為4米

的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)一圈，筒車(chē)的軸心。距離水面的高度為2米.在筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的

一圈內(nèi)，盛水筒P距離水面的高度不低于4米的時(shí)間為()

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒

8.如圖，在△//。中，。是4C的中點(diǎn)，E在邊力8上，BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O,

__AR

若7鼠衣=碗.瓦,則二7；的值是()

A.-B.2C.75D.—

22

二、多選題

9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.[ab^c^a(b

B.若向量工與￡共線(xiàn)，則存在唯一的實(shí)數(shù)/M吏石=4)

c.若非零向量零5滿(mǎn)足同邛|巾一可,則￡與五+5的夾角為60°

D.若非零向量入[滿(mǎn)足則|1+6|=,/

10.已知函數(shù)/(X)=JJsin2x+sin'x-cos"x,則()

A.f(x+-^)+f(~x)=0B.|/Cv)|</(^)

o3

C./*)在-%:上單調(diào)遞增D.若〃X+。)為偶函數(shù)，則閘的最小值為專(zhuān)

11.記△力8c中三個(gè)內(nèi)角4,B,C所對(duì)邊分別為mb,c.如圖，M,N分別是函數(shù)

/(x)=sin(/u-4)[。<4<9與直線(xiàn)y=^的兩個(gè)交點(diǎn),其中眼叫=雪，則()

%

叵G

、2/'M'N_______

A./(V3TI)=-1

乙

B.NABC面積的最大值為起

4

C.周長(zhǎng)的取值范圍為(2G,3G]

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.若V48C為銳角三角形，貝Ij20+c的取值范圍為(4,2近]

三、填空題

—2——

12.已知兩點(diǎn)『2,-1),々(-1,3),點(diǎn)P在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足4P=4理，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為.

13.若sin]cosx=(l+cos])sinx,XG(O,TC),貝ljx=.

____i____?____

14.在V/8。中，已知初屈:4音?赤+]配萬(wàn)，則tan〃的最大值為.

JJ

四、解答題

15.已知|：|=4,山=2,且」與否的夾角為120°.

⑴求|22-同；

⑵若向量4-超與蘇-記不能作為平面向量的一組基底，求實(shí)數(shù)義的值.

16.已知〃？=(行，一后)，,7=(sin2x,cos2x),f(x)=mn.

O-xi—I-I—L.J—J—J-4-Jx

c0IIIIIIIII

-2.，---1.

X

cox+(p

/(x)

⑴將函數(shù)/(X)化簡(jiǎn)為《sin(3+0)的形式并用五點(diǎn)法畫(huà)出/(X)在J器上簡(jiǎn)圖；

_OO

(2)求函數(shù)/(x)取得最大值時(shí)x所組成的集合，并試從向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的角度，結(jié)合數(shù)

量枳的定義解釋/("的最大值為2.

17.已知函數(shù)八x)="sm2工一Latir.

'''sin2x+2cos*x2

⑴求/(X)的定義域4并化簡(jiǎn)函數(shù)/(X);

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《四川省嘉祥教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ACCDBADCABCABD

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示得到方程,解得即可.

【詳解】因?yàn)椋?(2,3),5=?-6)且；〃力，

所以3x=2x(-6),解得x=-4.

故選：A

2.C

【分析】由二倍角公式可得答案.

【詳解】由二倍角公式：1—2COS222.5=-(2cos222.5°-l)=-cos45°=-當(dāng).

故選：C

3.C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.

【詳解】余弦曲線(xiàn)y=cosx=sin(x+g］上的所有點(diǎn)的向右平移丁個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)

\2；6

717C

/(-v)=sinX---+---—

62

故選：C.

4.D

【分析】依題意5.方=0,即可求出方.赤，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)镋_L茄，次為單位向，所以方方=刀?(礪-刀)=0,

印萬(wàn)?麗一方2=0，所以蘇?。石=|可2=1，

所以刀.(刀+礪卜刀?萬(wàn)+方.麗=1+1=2.

故選：D

5.B

【分析】利用余弦定理求解即可.

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】由余弦定理，^AB2BC2-2AB-BCcosB=AC2,

即64+8。2-88。=49,即8c?-88。+15=0，

解得8C=3或5,

經(jīng)檢驗(yàn)，均滿(mǎn)足題意.

故選：B.

6.A

【分析】由題可得而然后由二倍角公式可得答案.

3

【詳自軍】sina-cos(<z-=sina-^-cosa-Lina

622

1.6.(兀)1

一sina-------cosa=sina---=-

22I3J3

27t

則cos(2a—=1-2sin

故選：A

7.D

【分析】以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意中的實(shí)際意義，確定盛水筒P

距離水面的高度不低于4門(mén)的時(shí)間為:圓周，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于水面的直線(xiàn)為x軸，垂直于水面的直線(xiàn)為F軸,

建立平面直角坐標(biāo)系，如留所示，

則OC=2m,則sinZ.AOx=sinZ.OAC=—,所以Z.AOx=Z.OAC=—,

26

如圖，盛水筒P距離水面的高度為4m時(shí)，分別在點(diǎn)〃”處，

則由對(duì)稱(chēng)性可得NMOx=-,則/MON=TT-2X-=—,

663

因筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1圈，所以筒車(chē)轉(zhuǎn)1圈的時(shí)間為60秒，

由上分析，盛水桶尸距離水面的高度不低于4m的時(shí)間為"圓周，

所以盛水筒P距離水面的高度不低于4m的時(shí)間為20秒.

故選：D.

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】利用共線(xiàn)定理結(jié)合平行四邊形法則和已知條件，設(shè)施=久而（0<2<1）,用平面

AR

向量基本定理求出力的值：進(jìn)而求要的值.

AC

【詳解】因?yàn)?。在力。上，所以彩與而共線(xiàn),

設(shè)力。=2/力（0<2<1）,因?yàn)?E=2￡4,所以南=2而，

乂。是8c的中點(diǎn)，所以44+/C=2/Q，所以力。=5/14+54C,

^C=6J3EC=62^D｛成+困=6/1而1~方+可，

方?正=6怒?反=6義（/月+■+方），

所以荔?沅=6而屈=62—?jiǎng)?/p>

所以22=1,BP/t=1,所以一鼻肉+京研=0,故同=6|羽

所以要=石,

AC

故選：C

9.ABC

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積及向量共線(xiàn)可判斷A：分￡=限（/和￡=B=6時(shí)討論可判斷B；

根據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則可判斷C；根據(jù)垂直的向量表示及向量運(yùn)算可判斷

D.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)（萬(wàn)萬(wàn)”工0時(shí),（小可七與r共線(xiàn),

小01戶(hù)0時(shí)，1?0?司與G共線(xiàn),

而萬(wàn)與亍不一定共線(xiàn)，所以?xún)H石"=小（小“不一定成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若16,力力時(shí)，向量B與"共線(xiàn)，但不存在實(shí)數(shù)義使7筋；

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

當(dāng)7=B=d時(shí)?，向量坂與￡共線(xiàn)，但實(shí)數(shù)2不唯一，任意實(shí)數(shù)之都能使坂=笳成立.故B錯(cuò)誤;

對(duì)于c：同叩=卜-可，則以同,w，B-川為三邊的三角形為等邊三角形,

則C；與月的夾角為60°，所以￡與萬(wàn)+坂的夾角為30''，故C錯(cuò)誤；

對(duì)J,D：ci.Lb則d?在=0,

則B+同2+2;不+|甲小門(mén)甲,

忖一陷=J,—2d./)+川-=J424甲，即B+/)卜,一,故D正確.

故詵：ABC.

10.ABD

【分析】先由二倍角公式與輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)

判斷即可.

【詳解】/(X)=x/3sin2x4-sin4x-cos4x=V3sin2x+(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)

=y/3sin2.r+sin?x-cos?x=\A-sin2x-cos2x=2sin|2x--

I6)

對(duì)于A,

71n

，Y）+/（T）=2sin2n+2sin-2x--1=2sin2x+--2sin\2x+=0，故

6H]66J4

A正確;

對(duì)于B,|/（x）|=2sin（2x=、K2=/g）,故B正確;

對(duì)于C,由一5+247142.1-2?]+2左兀（左￡2）,得一己+,E?xWg+4花（4wZ）,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—￡+杭f+E(AeZ),

03

故/(X)在「-?,-5]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

_46JL64_

對(duì)于D,/(x+^)=2sinf2(x+^)-^l=2sinf2x+2^-y\為偶函數(shù),

k6)I61

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

所以2夕一Z=—+kn(keZ),即e=鴻(丘力,

62

所以|同的最小值為故D正確;

326

故選：ABD

11.BCD

【分析】由題可得/(x)=sin(71r+"對(duì)于A,由誘導(dǎo)公式可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B,由

題可得S/y*=由"，然后由余弦定理，基本不等式可得訛工3,據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)

于C,由正弦定理邊角互化可得C”c=G+2(sin/+sirC),然后利用力+C=g結(jié)合和差

化積公式可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于D,由正弦定理邊角互化可得2q+c=2(2sin/+sinC),然

后由/+C=；結(jié)合輔助半公式可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】由圖可得/(O)=sin8=當(dāng)，而故8=g,

注意至ljsin(/?x+￥]=，=6x+—=—+2^7i?￡/>x4--=—4-2kn,kGZ.

I3j23636

由題可得從女=2—2=女=〃=百，則/(x)=sin(ex+g、.

9663I3J

對(duì)于A,f(yfin)=sin-!-^=sin—=sinn+—=-￡故A錯(cuò)誤;

33I3J

-acs\nB=^-ac

對(duì)于B,S謝

24

由余弦定理，b~=a2+c2-laccos8=>3=a2+c2—acfil基本不等式,

3=a2+c2-ac>2ac-ac=ac>當(dāng)且僅當(dāng)a=c=6取等號(hào).

則Sm邛K乎,故B正確;

b

對(duì)于C,C&ABC=a+b+c=yf3+a+c=x[3H-(--s-i--n--J--+sinC)

sinR

=V3+2(sinJ+sinC),因8=：n=/+c=￥2兀，則力jo",結(jié)合和差化積公式,

J33\J

r2北\冗

7t

則sinX+sinC=sinJ+sin--Jj=2sinycoscosA--

3l3J

nn

因力兀,l||ijJ--e3,3j

3

因y=cosx在卜合0)上單調(diào)遞增，在0,：nJ上單調(diào)遞減,

3

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

則sinJ+sinCe忤如c山?e(2瓜3伺，故C正確;

對(duì)于D,2a+c=―-—(2sinJ+sinC)=2(2sinJ+sinC),

sinB

0八<A4<—兀

因V4?C是銳角三角形，N+C==,則:=>7<C<T-

3八,2兀門(mén)兀62

0<A=----C<—

32

2sinJ+sinC=2sin--C+sinC=2sinC+\fcosC=Win(7+6),

其中tan8=—，。e0,：X—<—<1=><?€

2I-32

e兀-7in八八八n八?n門(mén)(兀5兀、兀27137cl

因工<。<7，則z+°<c+°<7+°，又工+ec二，77二，

6262O\3\2J2\54J

則…門(mén)在序詞上單調(diào)遞增，在?+。)上單調(diào)遞減,

min."sin仁+"sin［：+，),<而in(C+9R<T.

2

因tan0=—,Ow，則sin"與cos?

2z)萬(wàn)

則"/H*4喙=嘉帖+q3+

542

因訪>麗二萬(wàn)則2<V7sin(C+，)K近.

故2a+c=2(2sin4+sinC)e@,2故D正確.

故選：BCD

31

12.35

____7__

【分析】設(shè)尸a,y),根據(jù)爐=5理，得到丑=結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程

組，求得xj的值，即可得到答案.

【詳解】由點(diǎn)耳(2,-1),月(-1,3),可得福=(—3,4),

__?______o____o

設(shè)尸*,y),因?yàn)楦?鼻所，可得即二M硒，所以(工一2/+1)=三(一3,4),

JJJ

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

43

解得片寸二:，所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

故答案為:

n

13.

10

【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合二倍角公式，正切函數(shù)單調(diào)性可得答案.

八.兀

s.in—7T2sin—cos—7T

【詳解】由題可得——=—也一①=tan3=tanx,因XG（0,兀）,

1+cos三2cos2至10

510

因y=tanx在卜卦仁”上單調(diào)遞增，則x蘭.

故答案為：

14.巫J而

22

【分析】由平面向量數(shù)量積公式和余弦定理得到2/+02=3/，進(jìn)而由余弦定理和基本不等

式求出COS4=±%SN攵，從而求出⑶仍有最大值，最大值為巫.

6ac32

------1--------2---------12

【詳解】由切?8C=y以?C8+§4C?48得accosB=-abcosC+-bccosA,

即3accosB=ahcosC+2/?ccosA,

士工田,日、?2+c2-b2.a2+b2-c2r,b2+c2-a2

又由余弦定理得：3ac----------=ah-----------\-2hc-----------

lac2ab2bc

化簡(jiǎn)得：2a2+c2=3b\

222/+02

a2+c2-b2a+c3a2+2c22\[2ac及，

2ac2ac6ac6ac3

當(dāng)且僅當(dāng)〃=&。時(shí)，等號(hào)成立,

將〃=J丞代入2/+02=3〃中，可得/）=也。，滿(mǎn)足任意兩邊之和大于第三邊，

3

故cos3有最小值，且8為銳角，此時(shí)sin8=Jl-［正］=^,tanZ?=—

YI3J3cos52

由于y=cosx在（0,：）上單調(diào)遞減，y=tanx在（0,^）上單調(diào)遞增,

故taiB有最大值，最大值為好.

2

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

故答案為：亞

2

【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)

的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，

或其他的限制，通常采用這種方法：

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

15.（1）2721;

（2）±76.

【分析】（1）利用數(shù)審:積的定義及運(yùn)算律求解.

（2）利用共線(xiàn)向量定理歹J式求解.

11一一］

【詳解】（1）由|a|=4,g|=2,且々與B的夾角為120°,得。力=4*2、（-5）=-4,

\2a-b\=\）4a2-4ab+l^=74x42-4x（-4）+22=2后.

（2）由向量力-泥與笳-35不能作為平面向量的一組基底,得2，-力與b-33共線(xiàn),

則存在實(shí)數(shù)〃，使得2。-4二以義。一3楊二〃:。一3女刃，而〉與否不共線(xiàn)，

2=kA

于是4=-3/解得金G

所以實(shí)數(shù)2的值為土石.

16.⑴/（x）=2sin（2x-列表，作圖見(jiàn)解析

Q）?xx=言+kjt,keZ、解釋見(jiàn)解析

O

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得〃x）=2sin（2x-再利用

五點(diǎn)作圖法畫(huà)出圖象即可;

（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即司,再結(jié)合贏〃斗斗網(wǎng)進(jìn)行解釋即可.

【詳解】（1）由題意，/（幻=m-n=>/2sinlx-41cos2x=2sin(2x--^-1,

列表如下:

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

n37c57r77r9n

TTTT

X8

c九n3兀

2x——0T2兀

42n

0-2

/(%)200

作圖如下:

(2)令2丫一色二色+2而，kwZ,解得彳=」+女冗,左eZ,

428

故函數(shù)/(x)取得最大值的x所組成的集合為卜x=彳+伍4eZ

O

因?yàn)?(工)=機(jī)〃=|w卜同,COS@i,〃卜M，p

=’(可+(—國(guó)?衍2x4-COS22X=2?

當(dāng)且僅當(dāng)cos(尿。=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)而與;;同向，夾角為0,

則函數(shù)/(x)的最大值為2.

17.(l){x|xeRKH+w-彳+桁,％wZ},；

(2)3.

【分析1(1)根據(jù)正弦函數(shù)及余弦函數(shù)定義域計(jì)算，再根據(jù)二倍角正弦及同角三角函數(shù)關(guān)系

化簡(jiǎn)計(jì)算；

(2)應(yīng)用函數(shù)值域把恒成立轉(zhuǎn)化為最值計(jì)算求解.

【詳解】(1)/(力的定義域由滿(mǎn)足sin2x+2cos2/0及"桁+^的值組成，

即2cosx(sinx+cosx)00及xoKi+1,

jrir7E

所以tanx工一1及+—,得xhE—,x工kn+-,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

因此｛x|xeR^r*—++kn,keZ).

24

在xw彳前提下，化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)="2si**「普

2slmcosx+2cosx2cosx

(sirix+cosx)"simsinx+cosxsinvcosx1

=----------------------=-----------------=-----=—.

2cos.r(sinr+cosx)2cosx2cosx2cosx2cosx2

(2)對(duì)任意不等式/(x)Vsinx+%o；Ssinx+3恒成立,

222

m>\-2sinx恒成立.

而當(dāng)xwA時(shí)，1-2sinx€(-l,3),所以實(shí)數(shù)〃7的最小值為3.

18.⑴。=￡

4

(2)證明見(jiàn)解析

2

(3)0C=§

【分析】(1)由已知結(jié)合正弦定理邊角轉(zhuǎn)化再應(yīng)用余弦定理求角；

(2)設(shè)OC=x,。8=N，則由余弦定理計(jì)算求解證明；

(3)根據(jù)二倍角正弦及余弦公式化簡(jiǎn)求出cos"=2叵，再應(yīng)用兩角和正弦求解應(yīng)用正弦定

5

理計(jì)算求值.

【詳解】(1)(V^sinA-sinC)=sin?。+sin2B—CsinAsinC,

化簡(jiǎn)得：sin%+sin2C-sin2^=J5sinBsinC.

在A80C中，由正弦定理得：OC'OB?-BC2=&)C0B,

由余弦定理可得：cos。=竺衛(wèi)上區(qū)~二包,故。=5.

2OCOB24

(2)設(shè)OC=五，OB=y,則CM=2—x,OD=2五-y.

在△40。中，由余弦定理得：

AD~=^2—x)+^2\/2—y)—2x(2-x卜gy}.

在小。。中，由余弦定理得：BC2=x2+y2-2xyx^.

由BC=/O,所以(2-%『+(2五一y)-2x(2-x)2/2-x^-=x2+y2-2xy1

化簡(jiǎn)得：y=,故。為BD中點(diǎn)、.

(3)如圖：過(guò),D點(diǎn)、做DE〃BC,交力。與E.則NEZ)O=NC8O.

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

A

所以4C=QE,乂BC=AD,所以=

所以=

所以/OEZ)=兀一力，又40ED=2C,4+。=兀一四=巫.所以月=8+色.

444

由于石sin2/l+co3=6n底桁2(8+(+cosB=后=石cos28+co必=?

所以石(2cos*-l)+cos8=V^n2瓜0CB+cosB-26=0.

又-l<cos〃<l,所以coW=2舊,所以sin8=^^.

55

所以sinf8+三］=sinBcos-+cos^sin4=立x=巨=地鼻,即sinC=獨(dú)。.

I4J442510^10

CR"=oc

在△04。中，根據(jù)正弦定理，可得：/=丹=訴'-石=。。=1

sinCsinB........-3

105

19.(1)2兀，理由見(jiàn)解析

(2)(仇0),keZ

(3)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)由周期的概念即可判斷；

(2)化簡(jiǎn)/'(x)=；sinx(2+3cosx+4cos2x),問(wèn)題轉(zhuǎn)換成sinx=0,即可求解；

(3)由對(duì)稱(chēng)性的定義即可判斷.

【詳解】(I)y=sinx/=；sin2x/=；