實數(shù)（10大知識點+6大題型+分層練）

工區(qū)

單元目標聚焦?明核心

1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的算術(shù)平方根、平方根和立方根。

2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根。

3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應。了解

數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大到實數(shù)后，一些概念、運算等的變化。

4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，能進行簡單的實數(shù)運算，了解近似數(shù)，能用計算器進行近似計

算，并會按問題的要求對結(jié)果取近似值。

知識圖造梳理?固基礎

知識點01：平方根

知識點02:平方根的性質(zhì)

知識點03:立方根

知識點04:立方根的性質(zhì)

知識點05汨理數(shù)的八強形式

知識點06:無理數(shù)

知識點07:實數(shù)與數(shù)軸

知識點08:實數(shù)的絕對值與大小螭

知識點09:實數(shù)的運算

知識點10：科學記數(shù)法

遜-平方

強二朝

題型四實數(shù)的運算

題型五科學記數(shù)法

題型六有關的規(guī)律探索題

基礎鞏固通關測

分思介梯訓陳

能力提升進階練

教材要點精析?夯重點

知識點01：平方根

一般地，如果一個數(shù)X的平方等于小即x2=a,那么這個數(shù)x叫作。的平方根，也稱為二次方根。叫

作被開方數(shù).

求一個數(shù)a的平方根的運算叫作開平方，例如，求64的平方根，就是要對64進行開平方運算，64是

被開方數(shù).

正數(shù)a的兩個平方根可以用“土表示，其中+G表示。的正平方根（即算術(shù)平方根），-6表示。

的負平方根，讀作“負根號a”.0的平方根記為“#"，耶=0.

知識點02:平方根的性質(zhì)

正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.

當被開方數(shù)擴大（或縮?。?倍，它的算術(shù)平方根相應地擴大（或縮?。ū叮ā?0）.

被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動兩位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點相應地向右或者向左移動一位.

知識點03：立方根

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=m那么這個數(shù)x叫作a的立方根，也稱為三次方根。叫作

被開方數(shù)

求一個數(shù)。的立方根的運算叫作開立方.例如，求64的立方根，就是要對64進行開立方運算，64是

被開方數(shù).

一個數(shù)。的立方根用“必”表示。

知識點04：立方根的性質(zhì)

正數(shù)的立方根為正數(shù)，0的立方根為0,負數(shù)的立方根為負數(shù)。

當被開方數(shù)（大于0）獷大（或縮?。?倍，它的立方根相應地廣大（或縮?。ū?

被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動三位，它的立方根的小數(shù)點相應地向右或者向左移動一位

知識點05：有理數(shù)的小數(shù)形式

可以把整數(shù)看成小數(shù)點后是0的小數(shù)，于是任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形

式。反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).

有理數(shù)必為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù);反過來，有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù).

知識點06：無理數(shù)

無限不循環(huán)小數(shù)乂叫無理數(shù).

要點歸納：

(1)無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.

(2)常見的無理數(shù)有三種形式:①含冗類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號

的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如石.

知識點07：實數(shù)與數(shù)軸

1.實數(shù)的概念與分類

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).有理數(shù)為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù).不是有理數(shù)的實

數(shù)就是無理數(shù).實數(shù)可以這樣分類：

正有理數(shù)

(有理數(shù)＜0有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負有理數(shù)

實數(shù)《

正無理數(shù)

無理數(shù)＜無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

實數(shù)也可以分為正實數(shù)、0、負實數(shù)。

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點的關系

我們嘗試用數(shù)軸上的一個點來表示后.

由前面的學習，我們知道兩個邊長為1的小正方形可以拼成一個面枳為2的正方形力8口，它的邊長為

V2.觀察正方形力8⑦，可知它的一邊是一個直角三角形的斜邊，這個直角三角形的兩條直角邊長都是1.

⑴12)

這樣，就在數(shù)軸上確定一個點來表示

要點歸納：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，而且這些點是唯一的；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表

示一個實數(shù).數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應。

知識點08：實數(shù)的絕對值與大小比較

借助數(shù)軸，可以將有理數(shù)的絕對值、大小比較推廣到實數(shù).有理數(shù)關于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實

數(shù).

一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離，叫作這個實數(shù)的絕對值，實數(shù)a的絕對值記作a.

絕對值相等、符號相反的兩個實數(shù)互為相反數(shù);0的相反數(shù)是0.非零實數(shù)a的相反數(shù)是一〃.

考點題型突破?拓思維

題型一平方根及其應用

【例1-1]（22-23七年級下?上海虹口?期末）已知J2023-”是正整數(shù),則實數(shù)”的最大值為（：）

A.2022B.2023C.2024D.2025

[W1-2]（23-24七年級下?上海松江?期中）求x的值：3（x-lf=147.

【例1-3】已知Jr-y-5+(4x+3y+l『=0,求的值.

【變式1-1]（23-24七年級下?上海金山?期中）下列運算正確的是（）

A.V-16=-4；B.V16=±4：C.=4；D.=-4.

【變式1-2]（23-24七年級下?上海黃浦?期中）若;X-4+內(nèi)耳=0,求戈+P的平方根.

【變式1-3]若2〃?+3和〃?+1是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù).

題型二立方根及其應用

【例2】（23-24七年級下?上海徐匯?期末）計算：溫+后=.

【變式2?1】（23-24七年級下?上海靜安?期中）若8/=一27,則工的值為.

【變式2-2］（22-23七年級下?上每靜安?期中）已知/=4"y心是x+2正的平方根，8=2叼是2-丫

的立方根，求力+4的立方根的值.

【變式2-3】已知一個正方體的棱長是7cm,要再做一個正方體，使它的體積是原正方體的體積的8倍，求

新做的正方體的棱長.

題型三實數(shù)的概念

22

【例3?1］（22-23七年級下?上海?期中）在0.425,屈,0,3.14159,—y0.2022022202222…

（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“0”之間“2”的個數(shù)依次加1個）這7個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例3-2］（22-23七年級下?上海嘉定?階段練習）下列說法中，正確的是（）

A.無限小數(shù)都是無理數(shù)B.無理數(shù)都是帶有根號的數(shù)

C.李、9都是分數(shù)D.實數(shù)分為正實數(shù)，負實數(shù)和零

【變式3-1］（22-23八年級上?上海楊浦?期中）下列實數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

27

A.a0.25C.wO.—

【變式3-2］（22-23七年級下?上海?單元測試）&-3的相反數(shù)是;絕對值是.

題型四實數(shù)的運算

【例4-1］（24-25六年級上?上海奉賢?期中）計算：1得=.（化為小數(shù)）

【例4-2］（23-24七年級下?上海嘉定?期末）點/和點8是數(shù)粕上的兩點，點力表示的數(shù)為，點8表

示的數(shù)為百，那么4、8兩點間的距離為.

【例4-3］（23-24七年級下?上海普陀?期末）比較大小：-36-7.（填“>”，"=”或“V”）

［ft4-4］（23?24七年級下?上海閔行?期中）已知：八V分別是4-石的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么6號-V

的值為.

【例4-5］（23-24七年級下?上海?期中）計算：九。一卜囪一（一3八在彳

【變式4-11（22-23七年級下,上海青浦?期中）如圖，點4和點。關于點力對稱，則點。表示的數(shù)是

CAB

——*1-----------1------------

1&

【變式4-2］（23-24七年級下?上海徐匯?期末）比較大小：3VH10.（填或“<”）

【變式4-3］（2025七年級下?全國?專題練習）將下列小數(shù)化為分數(shù).

（1）0.6⑵0.87。（3）0.18（4）0.263

【變式4-4］（21-22七年級下?上海閔行?期末）己知8-而的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為V,求

2xiy+x2y2-xy

題型五科學記數(shù)法

【例5-1】（2025?上海青浦?二模）據(jù)統(tǒng)計，2025年清明假期4月4口至6口，蟠龍?zhí)斓?、和睦村等旅游?/p>

區(qū)共接待游客76.75萬人次.76.75萬人次用科學記數(shù)法表示為人次.

【例5-2］一個水分子的直徑約0.00000000385米.將0.00000000385用科學記數(shù)法表示的結(jié)果是.

【變式5-1］（22-23七年級上?上海長寧?期中）若正方體的棱長為4x10。那么它的體積為.（用

科學記數(shù)法表示）

【變式5-2】在紡織工業(yè)中，“絲”是一個常用的長度單位，通常用來表示非常小的長度，1絲=0.01毫米

=0.（）0001米，0.00001米用科學記數(shù)法表示為（）

A.IxlO5B.O.lxlO-4C.IxlO-5D.IxlO-6

題型六有關的規(guī)律探索題

【例6-1】已知：VoJ*O.7b75*2.24,請根據(jù)以上規(guī)律得到疝礪的結(jié)果是（）

A.0.071B.0.224C.0.0017D.0.0224

【例6-2】觀察下表規(guī)律：

a0.008880008000000

0.2220200

利用規(guī)律：如果次37=1.333，癡7=2.872,則址）.0237=

【變式6-1】觀察表格

a???0.00010.01110010000???

???0.010.111()100???

按表中規(guī)律若已知后=8.973,4=89.73，用含/〃的式子表示〃，貝.

【變式6-2】觀察規(guī)律卜-0.064=-0.4,亞不=一4,V-64000=-40,則3-6.4x1（V=

【變式6-3］按要求填空:

（1）填表并觀察規(guī)律:

a0.00040.044400

8

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

已知：回=2.408,貝1屈5=；

已知：70.0068=0.0825,4=8,25，則工=;

（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明.

a0.00040.044400

0.020.2220

分層階梯訓練?提能力

基礎鞏固通關測

一、單選題

1.若有一個實數(shù)為3-6，則它的相反數(shù)為（）

A.3+逐B(yǎng).-石+3C.V5-3D.-3-75

2.有一個如圖的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當輸出值是4時，輸入的是（

C.4五D.8近

3.（22-23七年級下?上海寶山?階段練習）若〃、力是實數(shù)，且。＜力，則下列關系式成立的是（）

A.B.同＜例C.a＜希D.。〈后

二、填空題

4.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知出h1.442,達麗之14.42,若心）.000456口0.07696,則師工

5.把小數(shù)化為分數(shù)0.16=.

6.（23-24七年級下?上海松江?期末）比較大小：-6-372（填“＞"，"V"）.

7.（23-24七年級下?上海黃浦,期中）根據(jù)下圖中的程序，當輸入x為36時，輸出的值是

8.19J的算術(shù)平方根是

16

9.（22-23七年級下?上海寶山?期末）已知實數(shù)〃的一個平方根是2,則它的另一個平方根是

10.己知J2q-1+（Y+3）2=O,那么+.

三、解答題

11.（22-23七年級下?上海寶山?階段練習）解方程：2（；+x[=250

12.（22-23七年級下?上海寶山?期末）計算：歷+J第

13.（23-24七年級下?上海浦東新?期中）一個正數(shù)的兩個平方杈分別是2"1和-〃+4,求這個數(shù).

14.一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2a-1和-a+2

⑴求。和x的值：

⑵求31+2〃的平方根.

15.按要求填空:

（1）填表并觀察規(guī)律:

a0.00040.044400

石

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

已知：回=2.408,MV580=：

已知：j0.0068=0.0825,4=8,25，則工=;

（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明.

能力提升進階練

1.（23-24七年級下?上海楊浦?期末）寫出在正與J五之間的一個有理數(shù)，這個數(shù)可以是（只需填寫

一個）.

2.（22-23七年級下?上海?期中）將數(shù)軸沿著點P對折，如果兩個點正好重合，把這兩個點叫做關于點Q

的“對稱點”，如果表示4點的點和表示-正點是一組關于點P的“對稱點”，那么表示^的點關于點P

的對稱點所表示的數(shù)是.

3.（23-24七年級下?上海崇明?期中）已知16的平方根是明出=-3,那么.

4.已知J5萬=2.3,那么7529+70.0529=.

5.（23-24七年級下?上海靜安?期中）若實數(shù)-V滿足等式五二I+F7-4y=0,則化簡

|1|+|4-目+3-片.

6.（23-24七年級下?上海?期中）若舊的整數(shù)部分為。，5-幾小數(shù)部分為〃，則的值為.

7.（23-24七年級下?上海?階段練習）已知位=1.414213…,5=1.732050…，則&（精確

到0.01).

8.(22-23七年級下?上海青浦?期中)已知加、〃是連續(xù)的正整數(shù)，m<n<n，則川=.

9.(23-24七年級下?上海靜安?期中)公園里有一塊面積為10平方米的正方形綠化地，現(xiàn)在這塊地上劃出

一個扇形區(qū)域舉辦花展，并在扇形的周邊圍上低矮的籬笆，如圖所示，正方形48co為綠化地，扇形

為所劃區(qū)域，AF=4FD,求需要多長的籬笆.(兀。3.14,加=3.2,結(jié)果精確到十分位)

10.求一個正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如"，有些數(shù)則不能直接求得，如石，但可以通過

計算器求.還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，請同學們解答以下問題：

a???0.04440040000???

???0.2220200???

(1)運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：已知衣而。1.435,求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:

①J0.0206x:@5/206?；

(2)根據(jù)上述探究過程類比研究一個數(shù)的立方根.已知孤。1.260，則沃面之

(3)知識聯(lián)系與遷移：請求出下列方程中x的值

①1-6=30

@ix+l)3+l=0

11.探索與應用.

(1)先填寫下表，通過觀察后再回答問題:

a???0.00010.01110010000???

?.?0.01X1y100???

①表格中x=；y=；

②從表格中探究。與右的數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：

已知V^?=1.8,若右=180,則。=.

已知,25.36=5.036,J253.6=15.906,則,253600=.

(2)閱讀例題，然后回答問題：

例題：設是有理數(shù)，且滿足口+揚=3-2&，求。+%的值.

解：由題意得(。-3)+(〃+2)&=0,因為a、6都是有理數(shù)，所以〃-3,b+2也是有理數(shù)，由于正是無理

數(shù)，所以a—3=0,8+2=0,所以a=3,b=-2,所以a+b=3+(—2)=1.

問題：設X、y都是有理數(shù)，且滿足一一2丁+后y=10+3>/5,求/的值.

12.(2024七年級下?上海?專題練習)皓皓同學在學習了"平方根''這節(jié)課后知道「'負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)沒有

平方根”，她對這句話產(chǎn)生了興趣，她想知道負數(shù)在其他范圍內(nèi)是否有平方根，所以她上網(wǎng)查找了以下一些

資料.

數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，在學習了實數(shù)以后，像/=-1這樣的方程還是沒有實數(shù)解的，因

為沒有?個實數(shù)的平方等于即負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根，所以為了了解形如/=-1這類方程的解,

就要