考點25空間幾何體的體積及表面積

知識理解

一.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面枳公式

二.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

兒何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面枳=S何+2S底V=Sh

V=1SA

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=5tx+Six

V=1（S上+s下+V^）力

臺體（楂臺和圓臺）S我面積=S何+Si-.+S下

球S=4兀R?

【方法總結(jié)】

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法對「規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解

把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)

割補法

則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積

等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方

等體積法

法，多用來解決三棱錐的體積

【舉一反三】

【答案】（1）證明見解析；（2）二.

12

【解析】證明：（D取尸力的中點。，連結(jié)QN、AQ,

N

【解析】（1）證明：連結(jié)AC與6D交于點N,連結(jié)MN

【解析】（1）連接AB交A用于點石，連接。￡,則￡為AQ的中點,

【舉一反三】

2.(2020?全國高三專題練習)如圖，在四棱柱47切中，4〃JL底面力比〃BD\LB、D,四邊形月比。

是邊長為4的菱形，DJ)=6,3尸分別是線段4,的兩個三等分點.

(1)求證：〃夕/平面4〃七

(2)求四棱柱/曲力-45G〃的表面積.

【解析】⑴連接交4。于M，連接用七，如圖,

DiCi

AEFB

一?77平面4〃后

⑵在四棱柱仍必■力歸G4中，〃/LL底面力鑿9,

所以四棱柱為直四棱柱，

3.（2020?上海閔行區(qū)?高三一模）如圖，在圓柱O。中，A3是圓柱的母線,BC是圓柱的底面0O的直

徑，。是底面圓周上異于8、C的點.

???點。是。。上異于8、C的點，BC是。。的直徑，

考向三點面距

【解析】（1）連接AG交于點。，則。為AG中點，連接OM,

AB

【舉一反三】

E

B

【解析】（1）如圖所示:

連接"交〃'丁點。則。為川的中點,

B

【答案】（1）證明見解析；（2）避.

2

【解析】（1）證明：取此’的中點月連接EF、B3如圖所示:

因為公尸分別為外，%的中點,

因為E是外的中點，

p

【答案】（1）證明見解析；（2）必點在心上靠近u點的四等分點處.

4

【答案】（1）§；（2）證明見解析.

（2）證明：取4C的中點分別為尸，連接N〃，DF.

M

【解析】(1)如圖，連接AC,

(2)如圖，取AC、AB的中點N、H，連接肋V、NH.

BE

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】（1）證明：連接A。，

（2）解：延長SG,交AC于”，

由題設知，”為AC的中點，

B

【答案】（1）詳見解析；（2）逅.

4

因為E為AB的中點，

因為尸為AR的中點，

8.（2021建國高三專題練習）如圖，已知直三棱柱川3GABC中"C=BC=AA\=l"CLBC,E在力4上，且肝3%

G在上，且14=3%.

（1）求三棱錐4-/歷。的體積：

（2）求證：AGVEG.

【答案】（1）,;（2）證明見解析.

【解析】（1）在直三棱柱力旌484中，BCVAC,

所以8C_L平面ACCxAxy

所以8到平面/1CG4的距離為b

（2）如圖所示：

在然上取點〃，使6，。，連接口，DG,

3

因為除工物，

3

所以DE）/BC,

乂,%□_平面力84,

所以〃/江平面力

又4Gu平面力CG/L,

所以〃反L/1G.

在正方形47G4中，

HJCA,4和，4月，

33

得%_L4G.

又9ECDG=D,

所以/C_L平面DEG.

所以

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【解析】(1)如圖所示:

連接AC〕,

(2)如上圖：設棱C4的中點為O,連G。，BD，

【答案】(D證明見解析;(2)60.

【解析】(1)如圖所示，設4。與4G相交于點E，連接皮)，

p

【解析】（1）取3c的中點〃連接尸￡）,

???正三棱錐的一:個側(cè)面是全等的等腰