【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第53講事件的獨立性、條件概率和全概率公式（精講）

題型目錄一覽

①事件的相互獨立

性

②條件概率

③全概率公式

④貝葉斯公式

、知識點梳理

一、條件概率

2,性質(zhì)

（2）必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

二、相互獨立與條件概率的關(guān)系

1.相互獨立事件的概念及性質(zhì)

（I）相互獨立事件的概念

（2）概率的乘法公式

（3）相互獨立事件的性質(zhì)

如果事件A,8互相獨立，那么A與月，Z與8,Z與月也都相互獨立.

（4）兩個事件的相互獨立性的推廣

2.事件的獨立性

三、全概率公式

1.全概率公式

2.貝葉斯公式

二、題型分類精講

題型一事件的相互獨立性

至^策略方法

1.判斷事件是否相互獨立的方法

（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.

2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟

（1）首先確定各事件之間是相互獨立的.

（2）求出每個事件的概率，再求積.

注：使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要尊握公式的適用條件，即各個事件是相

互獨立的.

【典例1】（單選題）將一顆骰子先后鄭兩次，甲表示事件“第一次向上點數(shù)為1”，乙表示事件“第二次向

上點數(shù)為2”，丙表示事件“兩次向上點數(shù)之和為8”，丁表示事件“兩次向上點數(shù)之和為7"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【分析】根據(jù)相互獨立事件概率公式，即可判斷選項.

故選：B

【典例2】（單選題）如圖，三個元件（，T2,■正常工作的概率分別為:，!，將它們中某兩個元

244

件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路正常工作的概率是（）

A.AB.AC.D.

32161632

【答案】D

【詳解】記不正常工作為事件A,乙正常工作為事件8,記7；正常工作為事件C,

電路不發(fā)生故障，即Z正常工作且72,1至少有一個正常工作，

故選：D

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是：，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是g，從兩個口袋內(nèi)各摸I個球，

那么概率為?的事件是（）

6

A.兩個都不是白球B.兩個不全是白球

C.兩個都是白球D.兩個球中恰好有一個白球

【答案】B

【詳解】解：??,從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是!，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是:，

3一

故選：B.

2.某次乒乓球單打比賽在甲、乙兩人之間進行.比賽采取三局兩勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽的勝利，

3

比賽結(jié)束.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝出的概率都為,，比賽不設(shè)平局，各局比賽的勝負互不影響.

這次比賽甲獲勝的概率為（）

36n9c80"81

AA.B.—C.D.

12525125125

【答案】D

【分析】甲戰(zhàn)勝乙包含兩種情況；①甲連勝2局，②前兩局甲一勝一負，第二局甲勝，由此利用相互獨立

事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲戰(zhàn)勝乙的概率.

【詳解】結(jié)合題意：甲隊戰(zhàn)勝乙隊包含兩種情況：

故選：D.

3.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示

事件”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”.丙表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙不相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨立事件的定義判斷即可.

故選：B.

A.A與A?互斥B.A與4相互對立

【答案】D

【分析】根據(jù)己知條件求出概率，結(jié)合互斥事件，相互獨立及概率的乘法公式進行計算即可.

故選：D

5.現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放

回，再任取一張.甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件”第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件

“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色f勺撲克牌”，則（）

A.乙與丙相互獨立B.乙與丁相互獨立

C.甲與丙相互獨立D.甲與乙相互獨立

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，結(jié)合相互獨立事件的概念及判定方法，逐項判定，

即可求解.

所以乙與丙不相互獨立，所以A錯誤；

所以乙與丁不相互獨立，所以B錯誤；

所以甲與丙不相互獨立，所以C錯誤；

所以甲與乙相互獨立，D正確.

故選：D.

6.同時擲紅、藍兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件4表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5“，事件〃表示“紅色骰子的點

數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同“，事件。表示“至少一枚微子的點數(shù)是奇數(shù)則下列說法中

正確的是（）

①4與C互斥②B與。對立③A與。相互獨立④8與。相互獨立

A.①?B.①@C.②③D.②④

【答案】B

【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件、獨立事件的定義逐一判斷即可.

【詳解】①；因為兩枚骰子的點數(shù)相同，所以兩枚骰子的點數(shù)之和不能為5,

所以A與C互斥，因此本序號說法正確；

②：當紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)，藍色骰子的點數(shù)是奇數(shù)時，B與D同時發(fā)生，

因此這兩個事件同時發(fā)生，所以本序號說法不正確；

故選：B

7.某中學(xué)運動會上有一個項目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進

行比賽，共進行5局比賽，每局匕賽獲勝的一方得1分，負方得。分；第二階段，比賽雙方各出4人，二

對二進行比賽，共進行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負方得。分.先得到5分及以上的一方裁

定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束.若甲、乙兩個班進行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的

I4

概率都是在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是不，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)

過7局比賽獲勝的概率是（）

【答案】A

【分析】可分類分別求出甲班在第一階段獲勝的局數(shù)對應(yīng)的概率，最后各種情況概率相加即可求解.

【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局數(shù)，分類討論如下：

故選：A.

C.A與C'相互獨立D.B與C相互獨立

【答案】C

【分析】對于A：根據(jù)對立事件概念分析判斷；對于B：事件的運算結(jié)合古典概型運算求解；對于CD：根

據(jù)古典概型結(jié)合獨立事件的概念分析判斷.

即A事件和8事件可以同時不發(fā)生，所以A事件與8事件不對立，故A錯誤；

對于選項B：樣本空間共36個樣本點，

所以A與。相互獨立，故C正確.

故選：C.

二、多選題

C.事件A與事件。相互獨立

D.事件4與事件。相互獨立

【答案】ABD

【分析】利用相互獨立事件的定義及概率乘法公式判斷A,C,D選項，根據(jù)古典概型判斷B選項.

故選：ABD.

A.事件A與8互斥

B.事件A與8是對立事件

C.事件8與C相互獨立

D.事件A與。相互獨立

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，利用列舉法，結(jié)合互斥事件、對立事件的概念，可判定A正確，B不正確；再由相互

獨立事件的判定方法，可判定C不正確，D正確.

【詳解】拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點數(shù)，

用x表示紅色骰子的點數(shù)，y表示綠色骰子的點數(shù)，

事件A與〃不能同時發(fā)生，所以事件A與8為互斥事件，所以A正確；

對于B中，事件A與8不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以不是對立事件，所以B錯誤；

所以事件A與。相互獨立，所以D正確.

故選：AD.

11.下列對各事件發(fā)生的概率的判斷正確的是（）

A.一個袋子中裝有2件正品和2件次品，任取2件，”兩件都是正品”與“至少有1件是次品”是對立事

件；

C.甲袋中有除顏色外其他均相同的8個白球，4個紅球，乙袋中有除顏色外其他均相同的6個白球，6

個紅球，從甲、乙兩袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為g

D.設(shè)兩個獨立事件A和4都不發(fā)生的概率為g發(fā)生B不發(fā)生的概率與8發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，

則事件A發(fā)牛的概率是:

【答案】ACD

【分析】應(yīng)用對立事件的定義判斷A,

密碼被破解的對立事件是三個人同時沒有破譯密碼，由此求出密碼被破譯的概率判斷B,

從每袋中各任取一個球，利用相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出取到相同球的

概率判斷C,

【詳解】對于A,袋子中有2件正品和2件次品，任取2件，“兩件都是正品”與“至少有1件是次品”是對

立事件，故A正確；

故選：ACD.

c.A與4相互獨立D.4與4相互獨立

【答案】ACD

【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算概率判斷AB,根據(jù)相互獨立事件的定義結(jié)合概率的求法判斷CD.

【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x,y,

故選：ACD.

三、填空題

13.已知A,B,C3人進行射擊比賽，且A,B,。一次射擊命中10環(huán)的概率分別為0.9,0.9,0.95,

若他們每人射擊一次，則至少有2人命中10環(huán)的概率為.

【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式直接求解.

【詳解】3人中至少有2人命中10環(huán)即2人命中10環(huán)或3人命中1。環(huán),

【答案】|

【分析】根據(jù)對立事件的概率公式，即可得答案.

故答案為：|

15.某公司招新面試中有3道難度相當?shù)念}目，小明答對每道題目的概率都是0.7.若每位面試者共有三次機

會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，則小明最終通過面試的概率

為.

【分析】根據(jù)獨立事件概率乘法公式可求得無法通過面試的概率，根據(jù)對立事件概率的求法可求得結(jié)果.

16.某高中的獨孤與無極兩支排球隊在校運會中采用五局三勝制（有球隊先勝三局則比賽結(jié)束）.第一局獨

孤隊獲勝概率為。.4,獨孤隊發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加，反之降低0.1.則

獨孤隊不超過四局獲勝的概率為.

【答案】0.236

【分析】根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得.

17.某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、

100分、200分，答錯得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6,且各題

答對與否相互之間沒有影響，則這名同學(xué)得300分的概率為.

【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的概率公式求解即可.

這名同學(xué)得300分包括兩種情況，一是答對第一和第三兩個題目，二是答對第二和第三兩個題目，這兩種

情況是互斥的，

18.同時擲紅、藍兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件人表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件“表示“紅色骰子的

點數(shù)是偶數(shù)“，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件。表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)

①4與C互斥②6與。對立③A與。相互獨立④3與C相互獨立

則上述說法中正確的為.

【答案】①④

【分析】列舉出所有可能組合，根據(jù)各事件的描述列出對應(yīng)的組合，結(jié)合互斥、對立、獨立事件的定義或

性質(zhì)判斷事件間的關(guān)系即可.

故答案為：①④

四、解答題

19.為普及法律知識，弘揚憲法精神，某校教師舉行法律知識競賽.比賽共分為兩輪，即初賽和決賽，決賽

通過后將代表學(xué)校參加市級比賽.在初賽中，已知甲教師晉級決賽的概率為,，乙教師晉級決賽的概率為

若甲、乙能進入決賽，在決賽中甲、乙兩人能勝出的概率分別為:和白假設(shè)甲、乙初賽是否晉級和在決賽中能

3N

否勝出互不影響.

（1）若甲、乙有且只有一人能晉級決賽的概率為卷，求〃的值；

（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加市級匕賽的概率.

⑵衛(wèi)

72

【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式可分別計算甲、乙贏得比賽的概率，可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)獨立事件概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)事件A表示“甲在初賽中晉級%事件。表示“乙在初賽中晉級％

（2）設(shè)事件C為“甲、乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽”，。為“甲能參加市級比賽”，E為“乙能參加

市級比賽”，

20.某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰.已

知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為?，?，I，且各輪問題能否回答正確互不影響?求：

（1）該選手進入第三輪考核才被淘汰的概率；

⑵該選手至多進入第二輪考核的概率.

9

【答案】（1囁

（2）i

【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件和對立事件的概率公式計算可得.

（2）根據(jù)相互獨立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對立事件的概率公式計算可得.

因為該選手進入第三輪才被淘汰指：前兩輪均通過，第三輪淘汰，

所以該選手進入第三輪才被淘汰的概率為

所以該選手至多進入第二輪考核的概率為

⑴求〃和4的值；

（2）求本次知識競賽甲同學(xué)答對的題數(shù)小于乙同學(xué)答對的題數(shù)的概率.

【答案】⑴c23

JD

c19

2）-

75

【分析】（1）根據(jù)設(shè)A=“甲同學(xué)答對該題*B="乙甲同學(xué)答對該題”，再根據(jù)所給概率列式求解即可;

【詳解】（1）設(shè)人="甲同學(xué)答對該題“，4="乙甲同學(xué)答對該題”，

由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨立,

（1）求〃的值；

（2）求小紅不能正確解答本題的概率；

（3）求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率.

（2）7；

D

⑶;?

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的概率公式計算得解.

（2）利用對立事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.

（3）利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.

因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為5，

（2）若小紅不能正確解答本題，則說明小紅任何方法都不會，

（3）記事件，為小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對，

所以小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率為

23.在2023年成都大運會的射擊比賽中，中國隊取得了優(yōu)異的比賽成績，激發(fā)了全國人民對射擊運動的熱

情.某市舉行了一場射擊表演賽，規(guī)定如下：表演賽由甲、乙兩位選手進行，每次只能有一位選手射擊,

用抽簽的方式確定第一次射擊的人選，甲、乙兩人被抽到的概率相等；若中靶，則此人繼續(xù)射擊，若未中

34

靶，則換另一人射擊.已知甲每次中靶的概率為乙每次中靶的概率為工，每次射擊結(jié)果相互獨立.

45

（1）若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射擊后甲得20分的概率；

（2）求第n次射擊的人是乙的概率.

…481

【答案】⑴嬴J

【分析】（D根據(jù)題意，把3次射擊后甲得20分的情況，第1次、第2次都是甲射擊且中靶，第3次甲射

擊且未中靶和第1次乙射擊且未中靶，第2次、第3次甲射擊且均中靶，結(jié)合相互獨立的概率乘法公式，

即可求解；

【詳解】（1）解：由題意，3次射擊后甲得20分的情況有以下兩種：

第1次乙射擊且未中靶，第2次、第3次甲射擊且均中靶，

（2）解：設(shè)“第n次射擊的人是乙“為事件A.，

題型二條件概率

^^策略方法

1.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下（條件下）''等字眼.但已

知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認為是條件概率問題.運用P（AB）=P（8|A）-P（A）,求

條件概率的關(guān)鍵是求出P（A）和P（AB）,要注意結(jié)合題目的具體情況進行分析.

2.求條件概率的兩種方法

【典仞］1］（單選題）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù).在笫1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，

3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（）

A.!B.-C.-D.—

2848

【答案】C

【分析】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A,3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件8,結(jié)合條件概率的計算公式，即

可求解.

【詳解】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A,3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件8,

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.核酸檢測是目前確認新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù).經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標本

的部位和取得的標本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準確性有一定影響.已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%,在感

染新冠病毒的條件下，標本檢出陽性的概率為99%.若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病

毒且標本檢出陽性的概率為（）

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

【答案】A

【分析】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解.

故選：A

【答案】C

【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.

故選：C

A.-B.-C.2D.一

592

【答案】B

【分析】使用列舉法，利用古典概型和條件概率公式可得.

【詳解】分別記景點蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分別為a,b,c,d,e.

故選：B

4.小明先后投擲兩枚骰子，已知有一次投擲時朝上的點數(shù)為偶數(shù)，則兩次投擲時至少有一次朝上的點數(shù)為

4的概率為（）

11c1110-17

A.—B.—C<—D.—

36272736

【答案】B

【詳解】記“有一次投擲時朝上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件A,包含27種情況，“兩次投擲時至少有一次朝上的

點數(shù)為4”為事件B,包含11種情況.

故選：B.

5.2023年8月31日貴南高鐵實現(xiàn)全線貫通運營，我國西南和色南地區(qū)新增一條交通大動脈，黔桂兩地間

交通出行更加便捷、西南與華南地區(qū)聯(lián)系將更加緊密.貴南高鐵線路全長482公里，設(shè)計時速350公里，南

寧東到貴陽東旅行時間由原來的5個多小時縮短至最快2小時53分.貴陽某調(diào)研機構(gòu)調(diào)查了一個來自南寧的

42

旅行團對貴陽兩種特色小吃腸旺面和絲娃娃的喜愛情況，了解到其中有?的人喜歡吃腸旺面，有?的人喜

1JIJ

歡吃絲娃娃，還有自7的人既不喜歡吃腸旺面也不喜歡吃”姓娃.在己知該旅行團一游客喜歡吃腸旺面的條件

下，他還喜歡吃絲娃娃的概率為（）

A.—B.—C.；D.—

4824

【答案】B

【分析】設(shè)出事件，求出既喜歡腸旺面又喜歡絲娃娃的概率，從而利用條件概率公式求出答案.

【詳解】設(shè)喜歡吃腸旺面設(shè)為A事件，喜歡吃絲娃娃設(shè)為8事件，

故選：B.

6.箱子中裝有2個白球和2個黑球，兩人先后從中有放回地隨機摸取1個球，已知其中一人摸到的是白球,

則另外一人摸到的也是白球的概率為（）

1I23

A.§B,-C.-D.-

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，箱子中裝有2個白球和2個黑球，兩人先后從中有放回地隨機摸取1個球,

設(shè)事件A為“其中一人摸到的是白球”，事件8為“另一人摸到的是白球”

因為兩人先后從中有放回地隨機摸取1個球，

故選：A.

7.已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地

相同），現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是

（）

A.UB.Hc.AD.3

2724278

【答案】C

【分析】利用全概率公式進行求解.

【詳解】設(shè)“從1號箱中取到紅球放入2號箱”為事件A,“從2號箱中取到紅球”為事件B.

所以兩次都取到紅球的概率為.

故選：C.

A.-B.-C.ID.—

992525

【答案】D

故選：D.

A.-B.-C.-D.-

5544

【答案】B

【詳解】依題意，甲，乙隨機選擇一條線路去研學(xué)的試驗有于個基本事件，

故選：B

10.某市計劃開展“學(xué)兩會，爭當新時代先鋒''知識競賽活動.某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人

土，并從中隨機選取4人組成代表隊參賽.在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選

中的概率為（）

A1117

A.2B.C.D

15-7

【答案】C

【分析】根據(jù)條件概率公式計算即可.

故選：C.

1_2

A.1B.C.D.3

3234

【答案】B

故選：B.

129~9

A.-B.C.D.—

552520

【答案】B

故選：B.

13.甲盒中有2個紅球和1個黃球，乙盒中有1個紅球和2個黃球，丙盒中有1個紅球和1個黃球.從甲

盒中隨機抽取一個球放入乙盒中，攪拌均勻，然后從乙盒中隨機抽取一個球放入丙盒中，攪拌均勻后，再

從丙盒中抽取一個球，則從丙盒中抽到的是紅球的概率為（）

17「

AA.—BD.-16C.-13D”.—13

36271854

【答案】A

【分析】事件從丙盒抽到的是紅球可視為事件甲盒抽到黃球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球，

事件甲盒抽到黃球，乙盒抽到紅球，事件丙盒抽到紅球，甲盒拍到紅球，乙盒抽到黃球，

丙盒抽到紅球，事件甲盒抽到紅球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紇球的和事件，利用互斥

事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可.

故選：A.

二、多選題

14.某校高三⑴班有學(xué)生40人，其中共青團員15人.全班平均分成4個小組，其中第一組有共青團員4人.從

該班任選一人作為學(xué)生代表，下列說法錯誤的是（）

A.選到的是第一組的學(xué)生的概率為g

B.選到的是第一組的學(xué)牛?的概率為了

C.已知選到的是共青團員，則他是第一組學(xué)生的概率為］

O

4

D.已知選到的是共青團員，則他是第一組學(xué)生的概率為?

【答案】AC

【分析】由古典概型的概率可判斷選項A、B；再由條件概率可判斷選項C、D.

【詳解】設(shè)事件A表示“選到第一組學(xué)生％事件B表示“選到共青團員”，

在事件6發(fā)生的條件下（即已所選到的學(xué)生是共青團員為前提），有15種不同的選擇，

其中屬于第一組的有4種選擇，

故選：AC.

【答案】BD

【分析】利用條件概率公式逐項判斷，可得出合適的選項.

故選：BD.

16.某校開展羽毛球比賽，甲組有選手6名，其中3名男生，3名女生；乙組有選手5名，其中3名男生,

2名女生.現(xiàn)從甲組隨機抽取一人加入乙組，再從乙組隨機抽取一人，A表示事件”從甲組隨機抽取的一人

是女生“，3表示事件“從乙組隨機抽取的一人是男生”，則（）

【答案】AC

【分析】AB選項，在A發(fā)生情況下，結(jié)合古典概型求概率公式計算出答案；CD選項，在才發(fā)生的情況下，

結(jié)合古典概型求概率公式計算出答案.

故選：AC.

【答案】BCD

【分析】利用條件概率和對立事件的的概念判斷選項A；利用事件的互斥和獨立的概念判斷選項B;利用

條件概率公式判斷選項C；利用獨立事件的概率乘法公式判斷選項D.

事件A或事件A發(fā)生的概率為1,并不能得出A,B互為對立事件，A錯誤；

對D,若A,B為相互獨立事件，

故選:BCD.

18.盒子中共有4只黑球，2只白球，現(xiàn)從中不放回地每次任取一球，連取兩次，則下列選項正現(xiàn)的是（）

A.第一次取到黑球的概率為］

B.事件”第一次取到黑球”和“第一次取到白球''互斥不對立

4

C.在第一次取到門球的條件下，第二次取到黑球的概率為彳

Q

D.第二次取到黑球的概率為］

【答案】AC

【分析】求出第一次取到黑球的概率可判斷A；列出“第一次取到黑球”、“第一次取到白球”包含的基本事

件可判斷B;根據(jù)條件概率公式訐算可判斷C；求出第二次取到黑球的概率可判斷D.

對于B,事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球，

或者第一次取到黑球第二次取到白球兩種情況；

“第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球，

或者第一次取到白球第二次取到黑球兩種情況，

所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球''即互斥又對立，故B錯誤；

對于C,設(shè)第一次取到白球為事件A,第二次取到黑球為事件8,

所以在第一次取到白球的條件下，

對于D,第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球，

或者第一次取到白球第二次取到黑球兩種情況，

故選：AC.

【答案】AB

【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.

故選:AB.

三、填空題

20.袋中有10個外形相同的球，其中5個白球，3個黑球，2個紅球，從中任意取出一球，已知它不是白

球，則它是黑球的概率是.

【答案】j3

【詳解】用A表示事件”從中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件”從中任意取出一球，它是黑球”.

3

故答案為：不

21.已知事件A發(fā)生的概率為0.4,事件8發(fā)生的概率為0.5,若在事件8發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概

率為0.6,則在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率為.

【答案】0.75

【答案】15

故答案為：15.

23.現(xiàn)有10張獎券，有且僅有2張為有獎獎券，甲、乙兩人輪流依次不放回地抽取獎券，甲先抽取，然后

乙再抽取為一個輪次.則在第一輪甲、乙都未中獎的條件下，第二輪甲、乙都中獎的概率為.

【答案嗎

【分析】設(shè)出事件，利用條件概率公式進行求解.

【詳解】設(shè)事件A為在第一輪甲、乙都未中獎，事件8為第二輪甲、乙都中獎，

故答案為：!

2o

24.當前，我國各年齡段青少年的近視呈現(xiàn)發(fā)病年齡早、進展快,程度深的趨勢，其中很大一部分是青少年

長時間玩手機導(dǎo)致的.據(jù)調(diào)查，貴陽市某高中學(xué)生大約0.3的人近視，而該校大約有0.4的學(xué)生每天玩手機超

過2.5小時，這些人的近視率約為0.6.現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機超過2.5

小時的概率為.

【答案】|4

【分析】根據(jù)條件概型概率計算公式求得正確答案.

所以從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，

4

故答案為：—

25.1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一口定為國際勞動節(jié).五

一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲

在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是.

2

【答案】|

【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.

【詳解】記“甲在五一假期期間值班2天”為事件A,“甲連續(xù)值班”為事件

所以已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率為:

2

故答案為：—.

【答案】|2

【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.

9

所以已知A在五一長假期間值班2天，則A連續(xù)值班的概率為g.

2

故答案為：

J

27.現(xiàn)有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機抽取兩瓶，若取出的兩瓶中至少

有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為.

【答案】|

【分析】先用大寫字母表示各個事件，然后根據(jù)條件概率公式，分別求出各事件的概率即可.

故取出的兩瓶中至少有一瓶是藍色，另一瓶是紅色或黑色的概率為

故答案為:y.

題型三全概率公式

^^策略方法

【典例1】(單選題)在2023亞運會中，中國女子籃球隊表現(xiàn)突出，衛(wèi)冕亞運會冠軍，該隊其球員被稱為

3分球投手，在比賽中，她3分球投中的概率為一,非3分球投中的概率為三,且她每次投球投3分球的概

45

率為：，則該球員投一次球得分的概率為()

31「23八17

AA.-BR.-C.—D.—

423()3()

【答案】C

【分析】根據(jù)全概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)事件A為“該球員投球得分”，事件B為“該球員投中3分球得分%

故選：C

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

I.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)

的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為］,白，《，現(xiàn)從這1()盒中任取一盒，再從這盒

1U1JU

中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為()

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

【答案】A

【分析】運用全概率公式進行求解即可.

故選：A

A.2B.?C.2D.1

3052211

【答案】A

【分析】由全概率公式可得.

故選：A

3.現(xiàn)有甲乙兩個箱子，分別裝有除顏色外其它都相同的黑色和白色兩種球，甲箱裝有2個白球3個黑球,

乙箱有3個白球2個黑球，先從卬箱隨機取一個球放入乙箱，再從乙箱隨機取一個球是白球的概率是()

A.-B.\C.—D.1

53302

【答案】C

【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式進行計算.

【詳解】設(shè)8="從乙箱中取出白球"，4="從甲箱中取出白球”，

故選：C.

5997

A.—B.—C.—D.—

21402()20

【答案】B

【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.

所以所求近視的概率為2.

40

故選：B

5.隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行

方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、05并且小明步行上班不遲

到的概率為0.91,騎共享單車上班不遲到的概率為0.92,乘坐地鐵上班不遲到的概率為().93,則某天上班

小明遲到的概率是()

A.0.24B.0.14C.0.067D.0.077

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，準

確計算，即可求解.

【詳解】記小明步行上班為事件A,騎共享單車上班為事件B,乘坐地鐵上班為事件C,

小明上班遲到為事件”，

故選：D.

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算即得.

故選：B

7.重慶八中味園食堂午餐情況監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，小唐同學(xué)周一去味園的概率為《3，周二去味園的概率為已3，

且小唐周一不去味園的條件下周二去味園的概率是周一去味園的條件下周二去味園的概率的2倍，則小唐

同學(xué)周一、周二都去味園的概率為（）

9933

A.—B.—C.—D.—

70504014

【答案】A

【詳解】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A,設(shè)“小唐周二去味園”為事件B,貝心小唐同學(xué)周一、周二都去

味園”為事件AB,

故選：A

8.已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書.隨機選取

一箱，再從該箱中隨機取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二

次取到的也是科技書的概率為（）

A.-B.—C.-D.—

410512

【答案】C

故選：C

二、多選題

品牌甲乙其他

市場占有率

優(yōu)質(zhì)率

【答案】AC

【分析】對于A,利用互斥事件的概率公式求解判斷，對于BD,由條件概率公式計算判斷，對于3由全

概率公式計算判斷.

故選：AC

10.甲盒中有3個紅球，2個白球；乙盒中有2個紅球，3個白球.先從甲盒中隨機取出一球放入乙盒，用

事件A表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事件4表示“從甲盒中取出的是白球”：再從乙盒中隨機取出一球,

用事件。表示“從乙盒中取出的是紅球“，則（）

A.事件A與事件8是對立事件B.事件8與事件C是獨立事件

【答案】AD

【分析】根據(jù)對立事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨立事件的定義即可判斷B；分第一次取白球和紅球

兩種情況討論，從而可判斷C；根據(jù)條件概率公式即可判斷D.

【詳解】對于A：事件A與事件B是對立事件，故A正確；

對于B：事件8發(fā)生與否與事件C有關(guān)，故B錯誤：

故選：AD.

II.某市場供應(yīng)多種品牌的N95口罩，相應(yīng)的市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表：

品牌甲乙其他

市場占有率

優(yōu)質(zhì)率

【答案】AC

【分析】對于A,利用互斥事件的概率公式求解判斷，對于BD,由條件概率公式計算判斷，對于C,由全

概率公式計算判斷.

故選：AC

12.有3臺機器生產(chǎn)同一種零件.第1臺機器加工的次品率為10%,第2,3臺機器加工的次品率均為8%,

加工出來的零件混放在一起.已知三臺機器生產(chǎn)的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%,35%,45%,則下列選項正確

的有（）

A.任取一個零件是第一臺機器生產(chǎn)出來的次品概率為0.02

B.任取一個零件是次品的概率為0.084

C.如果取到的零件是次品，且是第2臺機器生產(chǎn)的概率為,

3

D.如果取到的零件是次品，且是第3臺機器生產(chǎn)的概率為,

【答案】ABD

【分析】應(yīng)用乘方公式、全概率公式求第一臺機器生產(chǎn)出來的次品概率、次品的概率，再由條件概率含義,

應(yīng)用古典概型的概率求法求次品備件下第2、3臺機器生產(chǎn)的概率.

故選：ABD

三、填空題

【答案】0.7

【分析】根據(jù)題意，由全概率公式將購買新能源的分為男性購買新能源和女性購買新能源列出關(guān)系求解即

可.

所以男性購車時，選擇購買新能源車的概率是。.7.

故答案為：0.7

47

【答案】麗

【分析】先求得這個學(xué)生來自每個學(xué)校并且選擇了物理的概率，最后由分類加法算出總概率.

【詳解】設(shè)：事件A:這個學(xué)生來自甲學(xué)校；事件這個學(xué)生來自乙學(xué)校；事件C:這個學(xué)生來自丙學(xué)

校；

事件甲學(xué)校學(xué)生選了物理；事件2：乙學(xué)校學(xué)生選了物理；事件4：丙學(xué)校學(xué)生選了物理；

47

故答案為：如

15.現(xiàn)有兩個罐子，1號罐子中裝有3個紅球、2個黑球，2號罐子中裝有4個紅球、2個黑球.現(xiàn)先從1號罐

子中隨機取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率

為?

【答案】g23

【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解作答.

【詳解】記1號罐子中取出紅球的事件為A,取出黑球的事件為4,從2號罐子中取出紅球的事件為3,

23

故答案為：

16.某學(xué)校有A,8兩家餐廳，某同學(xué)第1天等可能地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去A餐廳，那么第2

天去A餐廳的概率為0.8,如果第一天去4餐廳，那么第2天去6餐廳的概率為0.4,則該同學(xué)第2天去8餐

廳的概率為.

【答案】0.3

【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.

【詳解】設(shè)4="第1天去A餐廳用餐”，第="第1天去B餐廳用餐”，

由全概率公式，

因此該同學(xué)第2天去3餐廳用餐的概率為0.3.

故答案為：03.

17.已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去廣西桂林旅游的概率分別為01，0.2,（）.15,且該地居

民青少年、中年人、老年人的人數(shù)比例為4:3:3,若從該地居民（僅指青少年、中年人、老年人）中任選一

人,則此人暑期去桂林旅游的概率為.

【答案】0.145

【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算得解.

故答案為：0.145

四、解答題

（I）若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率：

21

（2）若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機會的概率為《，乙搶到答題機會的概率為《，丙搶

JJ

2

到的概率為二，求這個問題回答正確的概率.

【答案】⑴2

lo

⑵上

30

【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算出乙、丙分別答題正確的概率，再利用獨立事件和對立事

件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率；

（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.

【詳解】（1）解：設(shè)乙答題正確的概率為小，丙答題正確的概率為P2，

（2）解：記事件A為“甲搶答這道題”，事件人為“乙搶答這道題%事件&為“丙搶答這道題”，

記事件8為“這道題被答對”，

19.為了考察學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識的掌握程度，準備了甲、乙兩個不透明紙箱.其中，甲箱有2道概念敘

述題，2道計算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計算題（所有題目均不相同）.現(xiàn)有A,B兩個同學(xué)來

抽題回答；每個同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機抽取兩道題作答.每個同學(xué)先抽取I道題作答，答完題

FI后不放回，再抽取一道題作答〔不在題目上作答）.兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題忖放回原紙箱.

(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；

(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中.B同學(xué)接著抽取題目回答，若他

從乙箱中抽取兩道題目，求第?個題目抽取概念敘述題的概率.

【答案】⑴々

(2)7

【分析】(1)設(shè)A表示“第i次從甲箱中抽到概念敘述題”，分別求出概率，根據(jù)全概率公式計算