/2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系課后培優(yōu)提升訓(xùn)練湘教版2025-2026學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)一、選擇題1．已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值是（

）A．或 B．或 C． D．2．已知、是方程的兩根，且，則的值為（）A． B． C．95 D．3．設(shè)a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．0 B．2025 C．2024 D．20234．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A． B． C． D．5．若是方程的一個(gè)根，則另一個(gè)根是（

）A． B． C． D．6．甲、乙兩人在解一道一元二次方程時(shí)，甲在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根為6和1，乙在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根為和，則原方程根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．兩根分別是2和5 D．兩根分別是和7．如果實(shí)數(shù)、（）分別滿足，，則的值等于（

）A． B． C． D．20258．若是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且，則k的值為（

）A．或1 B． C．1 D．1或4二、填空題9．設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．10．已知，是一元二次方程的兩根，則．11．為方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值為．12．已知關(guān)于x的方程的兩根為，其中，，則的取值范圍是．三、解答題13．已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若該方程有一個(gè)根是，求k的值．(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求k的值．14．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的3倍，那么稱這樣的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，則方程是“3倍根方程”．(1)通過計(jì)算，判斷是否是“3倍根方程”．(2)若關(guān)于x的方程是“3倍根方程”，求代數(shù)式的值；(3)已知關(guān)于x的一元二次方程（是常數(shù)）是“3倍根方程”，請(qǐng)寫出的值．15．閱讀下列材料：【材料1】若一元二次方程的兩根為，則．【材料2】已知實(shí)數(shù)滿足，且，求的值．解：由題知是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴；∴

．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)關(guān)于的方程的兩個(gè)根是和1，則的值為___________；(2)若關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于4，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知：，，且．求的值為______________．16．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足，求實(shí)數(shù)m的值．17．定義：如果，是一元二次方程的兩個(gè)根，且，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如：一元二次方程的兩個(gè)根是，，此時(shí)，則方程是“鄰根方程”．(1)下列方程中，屬于“鄰根方程”的是（填序號(hào)）．①；②；③．(2)已知方程是“鄰根方程”，求m的值．(3)若方程是“鄰根方程”，求證：．18．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論為何值，該方程都有實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)時(shí)，已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，不解方程求的值．參考答案一、選擇題1．C2．A3．C4．D5．B6．C7．C8．C二、填空題9．10．11．112．三、解答題13．【解】（1）解：把代入方程得：解得：或；（2）解：∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，解得：；∴，∴，解得：或（不合題意，舍去）．∴．14．【解】（1）解（1）∵，∴解得．∵，∴是“3倍根方程”．（2）∵，解得

．∵是“3倍根方程”，分情況討論：①則：．②則：．（3）∵（是常數(shù)）是“3倍根方程”，∴不妨設(shè)是的三倍，由韋達(dá)定理：，解得．當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)，，∴．15．【解】（1）解：∵關(guān)于的方程的兩個(gè)根是和1，∴，即：，∴．故答案為2．（2）解：設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∵，∴，∴，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，原方程化為，則，此方程沒有實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，原方程化為，則，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．綜上所述，的值為．（3）解：∵，∴，∴，即，∵∴是方程的兩個(gè)的實(shí)數(shù)根，且．∵，∴．16．【解】（1）解：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，解得：；（2）解：∵方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，∴，，∵，∴，，解得：（舍去）或，∵，∴．17．【解】（1）解：，解得：，∴，故①不是“鄰根方程”；，解得：；∴，故②不是“鄰根方程”；，解得：，∴；故③是“鄰根方程”；故答案為：③（2）解：方程的兩根為，方程是“鄰根方程”，，