2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽文化自信試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）晉祠圣母殿的屋頂采用宋代"舉折"技法，其屋面曲線近似于最速降線（擺線）。若某段屋面曲線可表示為參數(shù)方程(x=t-\sint)，(y=1-\cost)（(t\in[0,\pi])），則該曲線在(t=\frac{\pi}{2})處的切線斜率為（）A.1B.√2C.-1D.0故宮太和殿臺基為正方形，其臺階高度與寬度之比符合黃金分割比（約0.618）。若臺基側(cè)面等腰梯形的上底為8米，下底為12米，高為h米，且腰長與高的比值恰為黃金分割比的倒數(shù)，則h的值為（）A.4.8B.5.2C.5.6D.6.0《營造法式》記載"方五斜七"（正方形邊長5，則對角線約7），此近似值與真實值的誤差率為（）A.1.2%B.2.4%C.3.6%D.4.8%某榫卯結(jié)構(gòu)中，直角榫頭的截面為Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm。現(xiàn)要在榫頭表面加工一個正方形凹槽，使其一邊在斜邊AB上，另兩個頂點分別在AC、BC上，則正方形邊長為（）A.(\frac{60}{37})cmB.(\frac{12}{7})cmC.(\frac{5}{2})cmD.(\frac{24}{17})cm西安鐘樓的圓形基座半徑為15米，現(xiàn)要在基座外側(cè)鋪設(shè)一圈寬度為1米的扇形石板臺階，若臺階對應(yīng)的圓心角為60°，則臺階面積為（）A.(\frac{31}{2}\pi)m2B.16πm2C.(\frac{61}{4}\pi)m2D.15πm2二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）趙州橋主拱為圓弧形，跨度（弦長）37.4米，拱高7.2米。若將主拱視為劣弧，則該圓弧所在圓的半徑為______米（精確到0.1）?！毒耪滤阈g(shù)》"粟米章"中有比例問題："今有粟二斗一升，欲為糲米。問得幾何？"（粟率50，糲米率30）。若某古代糧倉用粟米兌換糙米，每人出粟米7斗，盈余2斗；每人出粟米5斗，不足4斗。則兌換人數(shù)為______，糙米總量為______斗。傳統(tǒng)剪紙中，將正方形紙片沿對角線對折三次后，得到的圖形是頂角為______度的等腰三角形，其面積與原正方形面積之比為______。某園林六角亭的地基為正六邊形，邊長為2米。若用相同的正三角形地磚鋪滿亭頂（不重疊、無縫隙），則至少需要地磚______塊。2025年是乙巳年（干支紀(jì)年），天干（甲-癸）每10年循環(huán)，地支（子-亥）每12年循環(huán)。已知蘇軾生于1037年（丁丑年），則他誕辰1000周年（2037年）的干支為______。三、解答題（共4題，每題20分，共80分）（幾何綜合）如圖，某古建牌坊的"雀替"構(gòu)件為直角梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AB=6dm，BC=10dm，AD=4dm。工匠要在其中加工一個矩形木窗EFGH，使點E在AB上，F(xiàn)在BC上，G、H在CD上。（1）設(shè)EF=xdm，用含x的代數(shù)式表示矩形EFGH的面積S；（2）求S的最大值及此時x的值。（代數(shù)應(yīng)用）《周髀算經(jīng)》記載"勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日"。漢代天文學(xué)家采用"重差術(shù)"測量太陽高度：如圖，在同一鉛垂面內(nèi)立兩根等高標(biāo)桿（表高h(yuǎn)），間距為d，測得表影長分別為l?、l?（l?>l?）。（1）證明太陽高度H=(\frac{hd}{l?-l?})；（2）若h=8尺，d=1000里，l?-l?=1寸（1里=300步，1步=6尺，1尺=10寸），求H（結(jié)果用里表示）。（概率統(tǒng)計）某非遺工坊制作"魯班鎖"，其核心部件由3根不同長度的木柱組成，長度分別為3cm、4cm、5cm。質(zhì)檢時隨機抽取2根木柱，若兩根長度之差的絕對值不超過1cm，則該部件合格。（1）求單個部件合格的概率；（2）若連續(xù)檢測3個部件，用X表示合格部件數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)。（動態(tài)幾何）如圖，圓形藻井半徑為R，中心有一盞燈P（視為點光源），光線PA、PB與圓交于A、B兩點，且∠APB=60°。當(dāng)點P沿垂直于圓面的直線移動時：（1）求證：弦AB的長度為定值；（2）若燈P到圓心O的距離為t，求陰影區(qū)域（弓形ACB）面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值。四、文化探究題（20分）（數(shù)學(xué)史與創(chuàng)新）（1）趙爽弦圖（如圖1）由4個全等直角三角形與中間小正方形組成，若直角三角形兩直角邊為a、b（a>b），試用兩種方法表示大正方形面積，推導(dǎo)勾股定理；（2）借鑒弦圖思想，設(shè)計一個由6個全等直角三角形與中間正六邊形組成的"六方弦圖"（如圖2），若直角三角形的一個銳角為60°，較短直角邊為1，求中間正六邊形的面積。（注：所有答案需寫出必要演算步驟，幾何題需保留作圖痕跡）試卷設(shè)計說明：文化載體：精選晉祠、故宮、趙州橋等10處中國古建筑，融入《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等典籍記載，覆蓋幾何、代數(shù)、概率等初中數(shù)學(xué)核心領(lǐng)域。能力立意：基礎(chǔ)題（選擇1-5、填空6-8）側(cè)重文化場景中的知識應(yīng)用，中檔題（填空9