2025年下學(xué)期高中定積分與微積分基本定理試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）下列定積分的值為負(fù)數(shù)的是（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx$B.$\int_{-1}^{2}xdx$C.$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$D.$\int_{-2}^{-1}x^3dx$函數(shù)$f(x)=\int_{0}^{x}(t^2-2t)dt$的極小值點為（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$定積分$\int_{-1}^{1}(x^3+\sqrt{1-x^2})dx$的值為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\frac{\pi}{4}$C.$\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}$D.$0$若$\int_{0}^{a}(2x-1)dx=2$，則實數(shù)$a$的值為（）A.$2$B.$-1$C.$2$或$-1$D.$0$曲線$y=x^2$與直線$y=x$所圍成的封閉圖形的面積為（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$1$設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$F(x)$是$f(x)$的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是（）A.$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$B.$\int_{a}^F'(x)dx=f(b)-f(a)$C.$\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$D.$\frac6oa4k6o{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)$定積分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2xdx$的值為（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$D.$\frac{\pi}{2}+1$若函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\sinx,&x>0\end{cases}$，則$\int_{-1}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=$（）A.$\frac{1}{3}+1$B.$\frac{1}{3}-1$C.$-\frac{1}{3}+1$D.$-\frac{1}{3}-1$由曲線$y=e^x$，$y=e^{-x}$及直線$x=1$所圍成的封閉圖形的面積為（）A.$e+\frac{1}{e}-2$B.$e-\frac{1}{e}$C.$e+\frac{1}{e}$D.$e-\frac{1}{e}-2$設(shè)$f(x)$是定義在$R$上的奇函數(shù)，且$\int_{0}^{1}f(x)dx=2$，則$\int_{-1}^{0}f(x)dx=$（）A.$-2$B.$2$C.$0$D.$4$二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）定積分$\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=$__________。若函數(shù)$f(x)=\int_{1}^{x}\lntdt$，則$f'(e)=$__________。曲線$y=\sqrt{x}$與直線$y=x$，$x=4$所圍成的封閉圖形的面積為__________。已知函數(shù)$f(x)=\int_{0}^{x}(e^t-\cost)dt$，則$f'(0)=$__________。設(shè)函數(shù)$f(x)$滿足$f(0)=1$，且$f'(x)=2x$，則$\int_{0}^{1}f(x)dx=$__________。三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）計算下列定積分：（1）$\int_{0}^{\pi}(3\sinx-2\cosx)dx$；（2）$\int_{1}^{2}(x^2+\frac{1}{x^4})dx$。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\int_{0}^{x}(t^2-3t+2)dt$，求：（1）$f(x)$的解析式；（2）$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值與最小值。（本小題滿分12分）求曲線$y=x^3-3x^2+2x$與$x$軸所圍成的封閉圖形的面積。（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$，且$f(1)=0$，$f'(1)=1$，$\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}$，求$a$，$b$，$c$的值。（本小題滿分13分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值與最小值；（3）曲線$y=f(x)$與直線$y=0$所圍成的封閉圖形的面積。（本小題滿分13分）（1）證明：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-a,a]$上是奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$；（2）利用（1）的結(jié)論計算定積分$\int_{-1}^{1}\frac{x^3\cosx}{1+x^2}dx$；（3）若函數(shù)$g(x)$在區(qū)間$[-a,a]$上是偶函數(shù)，且$\int_{0}^{a}g(x)dx=2$，求$\int_{-a}^{a}g(x)dx$的值。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題D2.C3.A4.A5.A6.A7.A8.C9.A10.A二、填空題$\frac{3}{2}+\frac{7}{12}=\frac{25}{12}$（注：原答案應(yīng)為$\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=\left[\frac{1}{2}x^2+\lnx\right]_{1}^{2}=(2+\ln2)-(\frac{1}{2}+0)=\frac{3}{2}+\ln2$，此處修正為$\frac{3}{2}+\ln2$）$1$$\frac{10}{3}$$0$$\frac{4}{3}$三、解答題（1）原式$=[-3\cosx-2\sinx]{0}^{\pi}=(-3\cos\pi-2\sin\pi)-(-3\cos0-2\sin0)=(3-0)-(-3-0)=6$（6分）（2）原式$=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3x^3}\right]{1}^{2}=(\frac{8}{3}-\frac{1}{24})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{3})=\frac{64}{24}-\frac{1}{24}=\frac{63}{24}=\frac{21}{8}$（12分）（1）$f(x)=\int_{0}^{x}(t^2-3t+2)dt=\left[\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+2t\right]_{0}^{x}=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x$（4分）（2）$f'(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$（6分）計算$f(0)=0$，$f(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$，$f(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$，$f(3)=9-\frac{27}{2}+6=\frac{3}{2}$（10分）最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為$0$（12分）令$y=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$，與$x$軸交點為$x=0$，$x=1$，$x=2$（4分）當(dāng)$x\in(0,1)$時，$y>0$；當(dāng)$x\in(1,2)$時，$y<0$（6分）面積$S=\int_{0}^{1}(x^3-3x^2+2x)dx+\int_{1}^{2}-(x^3-3x^2+2x)dx$（8分）計算得$S=\left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]{0}^{1}+\left[-\frac{1}{4}x^4+x^3-x^2\right]{1}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$（12分）由$f(1)=a+b+c=0$（2分），$f'(1)=2a+b=1$（4分），$\int_{0}^{1}(ax^2+bx+c)dx=\frac{a}{3}+\frac{2}+c=\frac{1}{3}$（7分）聯(lián)立解得$a=1$，$b=-1$，$c=0$（13分）（1）$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，單調(diào)增區(qū)間$[-2,-1]$，$[1,2]$；單調(diào)減區(qū)間$[-1,1]$（4分）（2）$f(-2)=-8+6+1=-1$，$f(-1)=-1+3+1=3$，$f(1)=1-3+1=-1$，$f(2)=8-6+1=3$，最大值$3$，最小值$-1$（8分）（3）令$f(x)=0$，得$x=-2$，$x=1$，$x=2$（舍），面積$S=\int_{-2}^{1}(x^3-3x+1)dx=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+x\right]_{-2}^{1}=(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+1)-(4-6-2)=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$（13分）（1）證明：$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx$，令$x=-t$，則$\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-t)dt=-