/人教版（2024）九年級下冊27.2.1相似三角形的判定講義【題型1】兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似【典型例題】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角形．若OA：OC-=OB：OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.①與②相似B.①與③相似C.①與④相似D.②與④相似【舉一反三1】如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與相似的是（

）

A.B.C.D.【舉一反三2】如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形（陰影部分）與相似的是（

）

A.B.C.D.【舉一反三3】如圖，在矩形ABCD中，，，點E在邊AD上，，點F在邊DC上，則當(dāng)

時，與相似．【舉一反三4】如圖，若

，則.【舉一反三5】如圖：已知AB⊥DB于B點，CD⊥DB于D點，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一點P，使以CDP為頂點的三角形與以PBA為頂點的三角形相似，則DP的長．【題型2】兩角分別相等的兩個三角形相似【典型例題】已知圖（1）、（2）中各有兩個三角形，其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖（2）中AB、CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（）A.只有（1）相似B.只有（2）相似C.都相似D.都不相似【舉一反三1】如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC＝BC．圖中相似三角形共有（）A.1對B.2對C.3對D.4對【舉一反三2】如圖，△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①△ABC≌△AEF；②∠AFC＝∠C；③DF＝CF；④△ADE∽△FDB其中正確的結(jié)論是

（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【舉一反三3】△ADE中，AD＝AE，C為DE延長線上一點，B為ED延長線上一點，∠DAE＝40°，當(dāng)∠BAC＝

°時，△BDA∽△AEC．【舉一反三4】如圖，點M是AB上一點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：△AMF∽△BGM；（2）請你再寫出兩對相似三角形．【題型3】平行線分線段成比例定理【典型例題】如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．點D在AB邊上，點E在CB的延長線上，已知AD＝1，BE＝1，連接ED并延長交AC于點F，則線段AF的長為（）A.B.C.D.1【舉一反三1】如圖，在中，點，分別在，邊上，，若，則（

）A.B.C.D.【舉一反三2】如圖，AD∥BE∥CF，直線m，n與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，則EF的長為()A.12.5B.12C.8D.4【舉一反三3】如圖，點D、E分別在△ABC邊BC、AC上，連接線段AD、BE交于點F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，則EF：FB＝

．【舉一反三4】如圖，點D、E分別在的邊、上，．如果，．求．【舉一反三5】如圖，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的長．【題型4】三邊成比例的兩個三角形相似【典型例題】如圖，在正方形網(wǎng)格上，與△ABC相似的三角形是（）A.△AFDB.△FEDC.△AEDD.不能確定【舉一反三1】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫2個相似三角形，正確的畫法有（

）

A.1個B.2個C.3個D.4個【舉一反三2】的邊長分別為的邊長分別，則與

（選填“一定”“不一定”“一定不”）相似【舉一反三3】一個三角形的三邊之比為3：4：5，另一個三角形的最短邊長為8，另外兩邊長為時，這兩個三角形相似．【舉一反三4】如圖，在中，，，，求證：．

人教版（2024）九年級下冊27.2.1相似三角形的判定講義（參考答案）【題型1】兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似【典型例題】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角形．若OA：OC-=OB：OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.①與②相似B.①與③相似C.①與④相似D.②與④相似【答案】C【解析】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正確；故選C．【舉一反三1】如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與相似的是（

）

A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由題意可得：，，，，，，，，，又，．故選：B．【舉一反三2】如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形（陰影部分）與相似的是（

）

A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根據(jù)題意可得：，；A．三角形中沒有角，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．B．夾的兩邊之比為：，圖中的三角形（陰影部分）與相似．C．三角形中沒有角，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．D．三角形中沒有角，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．故答案為：B．【舉一反三3】如圖，在矩形ABCD中，，，點E在邊AD上，，點F在邊DC上，則當(dāng)

時，與相似．【答案】5或【解析】解：由題意,知與都是直角三角形,所以當(dāng)或時,與相似,由,,,得,,∴或,∴5或．故答案為:5或．【舉一反三4】如圖，若

，則.【答案】【解析】解：∵∠AOC=∠BOD，∴當(dāng)時，故填：.【舉一反三5】如圖：已知AB⊥DB于B點，CD⊥DB于D點，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一點P，使以CDP為頂點的三角形與以PBA為頂點的三角形相似，則DP的長．【答案】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，∴∠D＝∠B＝90°，設(shè)DP＝x，當(dāng)PD：AB＝CD：PB時，△PDC∽△ABP，∴＝，解得DP＝2或12，當(dāng)PD：PB＝CD：AB時，△PCD∽△PAB，∴＝，解得DP＝5.6∴DP＝5.6或2或12．【題型2】兩角分別相等的兩個三角形相似【典型例題】已知圖（1）、（2）中各有兩個三角形，其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖（2）中AB、CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（）A.只有（1）相似B.只有（2）相似C.都相似D.都不相似【答案】C【解析】對于圖（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，則兩個三角形中有兩組角對應(yīng)相等，所以（1）圖中的兩個三角形相似；對于（2）圖：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．故選：C．【舉一反三1】如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC＝BC．圖中相似三角形共有（）A.1對B.2對C.3對D.4對【答案】C【解析】圖中相似三角形共有3對．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，F(xiàn)C＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故選：C．【舉一反三2】如圖，△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①△ABC≌△AEF；②∠AFC＝∠C；③DF＝CF；④△ADE∽△FDB其中正確的結(jié)論是

（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【答案】①②④【解析】在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正確，∴AC＝AF，∴∠C＝∠AFC，故②正確，∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，故④正確，無法證明DF＝CF，故③錯誤．故答案為①②④．【舉一反三3】△ADE中，AD＝AE，C為DE延長線上一點，B為ED延長線上一點，∠DAE＝40°，當(dāng)∠BAC＝

°時，△BDA∽△AEC．【答案】110【解析】∵AD＝AE，∠DAE＝40°，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣70°＝110°．在△ABD中，∵∠ADB＝110°，∴∠B+∠BAD＝180°﹣110°＝70°，同理可得∠C+∠EAC＝70°．∵△BDA∽△AEC，∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD，∴∠B+∠C＝∠EAC+∠BAD＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠BAC＝（∠EAC+∠BAD）+∠DAE＝70°+40°＝110°．【舉一反三4】如圖，點M是AB上一點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：△AMF∽△BGM；（2）請你再寫出兩對相似三角形．【答案】（1）證明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．∴△DMG∽△DBM，同法可證：△EMF∽△EAM．【題型3】平行線分線段成比例定理【典型例題】如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．點D在AB邊上，點E在CB的延長線上，已知AD＝1，BE＝1，連接ED并延長交AC于點F，則線段AF的長為（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】取CF的中點G，連接BG，如圖所示：∵BC＝1，BE＝1，∴點B為EC的中點，∴BG是△CEF的中位線，∴BG∥EF，∴＝，∴AF＝AG，∴FG＝CG＝2AF，∴AC＝AF+FG+CG＝5AF＝3，∴AF＝；故選：B．【舉一反三1】如圖，在中，點，分別在，邊上，，若，則（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：∵，，．故選：B．【舉一反三2】如圖，AD∥BE∥CF，直線m，n與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，則EF的長為()A.12.5B.12C.8D.4【答案】C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴，即，解得EF＝8，故選C.【舉一反三3】如圖，點D、E分別在△ABC邊BC、AC上，連接線段AD、BE交于點F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，則EF：FB＝

．【答案】【解析】作EH∥BC交AD于H，∴＝，∵＝，∴＝，∵EH∥BC，∴＝＝．【舉一反三4】如圖，點D、E分別在的邊、上，．如果，．求．【答案】解：∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，又，，∴，∴，（舍），∴．【舉一反三5】如圖，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的長．【答案】解：過C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如圖，∵CD∥AB，∴四邊形AQCD為平行四邊形，∴AQ＝CD＝6，同理可得GN＝EM＝CD＝6，∴BQ＝AB﹣AQ＝6，∵DC∥EF∥GH∥AB，∴DE：EG：GA＝CF：HF：HB＝3：4：5，∵MF∥NH∥BQ，∴MF：BQ＝CF：CB＝3：（3+4+5），NH：BQ＝CH：CB＝（3+4）：（3+4+5），∴MF＝×6＝1.5，NH＝×6＝3.5，∴EF＝EM+MF＝6+1.5＝7.5，HG＝GN+NH＝6+3.5＝9.5．【題型4】三邊成比例的兩個三角形相似【典型例題】如圖，在正方形網(wǎng)格上，與△ABC相似的三角形是（）A.△AFDB.△FEDC.△AEDD.不能確定【答案】A【解析】解：解：∵AF＝4，DF＝4，AD＝4，AB＝2，BC＝2，AC＝2，∴，∴△AFD∽△ABC．故選：A．【舉一反三1】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫2個相似三角形，正確的畫法有（

）

A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C【解析】解：第一個網(wǎng)格中的兩個三角形對應(yīng)邊的比例：，是相似三角形；第二個網(wǎng)格中的兩個三角形對應(yīng)邊的比例：，這兩個三角形是相似三角形；第三個網(wǎng)格中的兩個三角形對應(yīng)邊的比例：，這兩個三角形是相似三角形；第四個網(wǎng)格中的兩個三角形對應(yīng)邊的比例：，不是相似三角形；綜上，正確的畫法有3個，故選：C．【舉一反三2】的邊長分別為的邊長分別，則與

（選填“一定”“不一定”“一定不”）相似【答案】不一定【解