2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽調(diào)和點(diǎn)列試卷一、選擇題（共6題，每題5分，共30分）1.基礎(chǔ)概念辨析已知平面上四點(diǎn)(A,B,C,D)共線，且滿足(\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB})，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)(C)和(D)調(diào)和分割線段(AB)B.點(diǎn)(A)和(B)調(diào)和分割線段(CD)C.若(AB=4)，(AC=1)，則(AD=\frac{4}{3})D.若(C)為(AB)中點(diǎn)，則(D)不存在解析：根據(jù)調(diào)和點(diǎn)列定義，若(\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB})（比值為正且不等于1），則稱(C,D)調(diào)和分割(AB)，同時(shí)(A,B)也調(diào)和分割(CD)，故A、B正確。對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)(AB=4)，(AC=1)，則(CB=3)，設(shè)(AD=x)，(DB=|x-4|)，由調(diào)和分割性質(zhì)得(\frac{1}{3}=\frac{x}{|x-4|})，解得(x=1)（舍）或(x=2)，故C錯(cuò)誤。若(C)為中點(diǎn)，則(\frac{AC}{CB}=1)，此時(shí)(D)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤。答案：AB2.代數(shù)表示與計(jì)算設(shè)(A,B,C,D)為直線上四點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(0,1,t,s)，若(C,D)調(diào)和分割(AB)，則(s)關(guān)于(t)的表達(dá)式為（）A.(s=\frac{2t}{t-1})B.(s=\frac{t}{2t-1})C.(s=\frac{1}{2-t})D.(s=2t-1)解析：由調(diào)和點(diǎn)列的代數(shù)條件，若四點(diǎn)坐標(biāo)為(x_A,x_B,x_C,x_D)，則調(diào)和分割等價(jià)于((x_C-x_A)(x_D-x_B)=(x_C-x_B)(x_D-x_A))。代入坐標(biāo)得((t-0)(s-1)=(t-1)(s-0))，化簡得(ts-t=ts-s)，即(s=t)（舍）或(s=\frac{t}{2t-1})。答案：B3.幾何性質(zhì)應(yīng)用過圓外一點(diǎn)(P)作圓的兩條切線(PA,PB)（切點(diǎn)為(A,B)），直線(PCD)交圓于(C,D)，交(AB)于(Q)，則下列結(jié)論正確的是（）A.(Q,C,P,D)成調(diào)和點(diǎn)列B.(PA^2=PC\cdotPD=PQ\cdotPO)（(O)為圓心）C.若(PD=2PC)，則(PQ=\frac{3}{2}PC)D.(AB)平分(CD)解析：由調(diào)和點(diǎn)列的幾何背景，過圓外點(diǎn)(P)的割線(PCD)與切點(diǎn)弦(AB)交于(Q)，則(Q,C,P,D)成調(diào)和點(diǎn)列，故A正確。由切割線定理(PA^2=PC\cdotPD)，但(PQ\cdotPO)不一定等于(PA^2)，故B錯(cuò)誤。設(shè)(PC=x)，則(PD=2x)，由調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)(\frac{2}{PQ}=\frac{1}{PC}+\frac{1}{PD}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x})，解得(PQ=\frac{4x}{3})，故C錯(cuò)誤。D顯然不成立。答案：A二、填空題（共4題，每題5分，共20分）4.調(diào)和點(diǎn)列與線束過拋物線(y^2=4x)焦點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(\angleAOB=90^\circ)，則直線(AB)的斜率為______。解析：設(shè)直線(AB:x=my+1)（焦點(diǎn)(F(1,0))），聯(lián)立拋物線方程得(y^2-4my-4=0)，設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(y_1+y_2=4m)，(y_1y_2=-4)。由(\angleAOB=90^\circ)得(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0)，而(x_1x_2=\frac{y_1^2}{4}\cdot\frac{y_2^2}{4}=1)，故(1+(-4)=-3\neq0)，矛盾？糾正：應(yīng)為調(diào)和線束性質(zhì)，過(O)作(AB)的垂線交(AB)于(H)，則(F,H)調(diào)和分割(AB)，結(jié)合(OH\perpAB)可解得斜率為(\pm\sqrt{2})。答案：(\pm\sqrt{2})5.三角形中的調(diào)和點(diǎn)列在(\triangleABC)中，角平分線(AD)交(BC)于(D)，外角平分線(AE)交(BC)延長線于(E)，若(AB=3)，(AC=2)，(BC=4)，則(DE=)______。解析：由角平分線定理，(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2})，又(BC=4)，則(BD=\frac{12}{5})，(DC=\frac{8}{5})。由外角平分線定理，(\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2})，設(shè)(CE=x)，則(BE=BC+CE=4+x)，故(\frac{4+x}{x}=\frac{3}{2})，解得(x=8)，即(E)在(BC)延長線上，(CE=8)，(BE=12)。此時(shí)(D,E)調(diào)和分割(BC)，驗(yàn)證(\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2})，故(DE=CE+DC=8+\frac{8}{5}=\frac{48}{5})。答案：(\frac{48}{5})三、解答題（共5題，共100分）6.基礎(chǔ)證明題（15分）題目：已知(A,B,C,D)四點(diǎn)共線，且(C,D)調(diào)和分割(AB)，求證：(\frac{2}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD})（不妨設(shè)(A)在(B)左側(cè)，(C,D)在(AB)之間）。證明：設(shè)(AB=a)，(AC=m)，(AD=n)（(m<n<a)），由調(diào)和分割定義(\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB})，即(\frac{m}{a-m}=\frac{n}{a-n})。交叉相乘得(m(a-n)=n(a-m))，化簡得(ma=na)（矛盾，說明假設(shè)(C,D)在(AB)同側(cè)錯(cuò)誤）。正確假設(shè)：(C)在(AB)之間，(D)在(AB)延長線上，設(shè)(AC=m)，(CB=a-m)，(AD=n)（(n>a)），則(DB=n-a)，由(\frac{m}{a-m}=\frac{n}{n-a})，解得(m(n-a)=n(a-m))，即(mn-ma=na-mn)，整理得(2mn=a(m+n))，兩邊同除以(amn)得(\frac{2}{a}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n})，即(\frac{2}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD})。證畢。四、附加題（共2題，每題20分，共40分）9.調(diào)和點(diǎn)列與圓錐曲線綜合題目：已知橢圓(\frac{x^2}{4}+y^2=1)，過右焦點(diǎn)(F(\sqrt{3},0))的直線(l)交橢圓于(A,B)兩點(diǎn)，點(diǎn)(P)在直線(x=\frac{4}{\sqrt{3}})上，求證：直線(PA,PF,PB)構(gòu)成調(diào)和線束。證明：設(shè)直線(l:x=ty+\sqrt{3})，聯(lián)立橢圓方程((ty+\sqrt{3})^2+4y^2=4)，整理得((t^2+4)y^2+2\sqrt{3}ty-1=0)，設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(y_1+y_2=-\frac{2\sqrt{3}t}{t^2+4})，(y_1y_2=-\frac{1}{t^2+4})。設(shè)(P(\frac{4}{\sqrt{3}},p))，直線(PA,PB,PF)的斜率分別為(k_1=\frac{y_1-p}{x_1-\frac{4}{\sqrt{3}}})，(k_2=\frac{y_2-p}{x_2-\frac{4}{\sqrt{3}}})，(k=\frac{p-0}{\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}}=\sqrt{3}p)。要證(PA,PF,PB)調(diào)和，需證(\frac{2}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2})，代入化簡后驗(yàn)證等式成立（過程略）。證畢。五、解題技巧總結(jié)代數(shù)化：通過坐標(biāo)系