2025年下學期高中數(shù)學競賽構(gòu)造法試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）已知正整數(shù)(n)滿足(\sqrt{n}+\sqrt{n+2025})為有理數(shù)，則(n=)__________。在平面直角坐標系中，拋物線(y=x^2-2x+3)上存在兩點(A,B)，使得以(AB)為直徑的圓經(jīng)過原點，且線段(AB)的中點在直線(y=2x-1)上，則(AB)的長度為__________。設(shè)集合(S={1,2,\dots,2025})，若將(S)劃分為兩個子集(A,B)，且對任意(a\inA)，(b\inB)，均有(|a-b|\neq4)，則(\max(|A|,|B|))的最小值為__________。已知正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a^2+b^2+c^2=2025^2)，則(\min(abc)=)__________。在三棱錐(P-ABC)中，(PA=PB=PC=2)，且(\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=45^\circ)，則該三棱錐外接球的表面積為__________。設(shè)函數(shù)(f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x^2+1})的最大值為3，最小值為-1，則(a+b=)__________。滿足(x^2+y^2+z^2=2025)且(x+y+z=45)的正整數(shù)解((x,y,z))的組數(shù)為__________。用紅、藍兩種顏色對(3\times3)方格表的每個格子染色，要求任意兩個相鄰格子（有公共邊）不同色，則至少包含一個紅色(2\times2)子方格的染色方案數(shù)為__________。二、解答題（本大題共4小題，共136分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）9.（本題滿分32分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，且對任意(n\geq1)，有(a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n})。（1）證明：存在正整數(shù)(k)，使得(a_k=\frac{5}{3})；（2）構(gòu)造一個無窮正整數(shù)數(shù)列({b_n})，滿足(b_1=1)，且對任意(n\geq1)，(b_{n+1}=2b_n+1)，證明：對任意(m\geq1)，(a_{b_m}=\frac{2^{2^m}+1}{2^{2^m}-1})。10.（本題滿分34分）在平面直角坐標系中，橢圓(\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(\Gamma)的方程；（2）過橢圓右焦點(F)作兩條互相垂直的直線(l_1,l_2)，分別交橢圓于(A,B)和(C,D)兩點，構(gòu)造點(M)為線段(AB)的中點，點(N)為線段(CD)的中點，證明：直線(MN)過定點，并求出該定點的坐標。11.（本題滿分35分）設(shè)(p)為奇素數(shù)，(S={1,2,\dots,p-1})，定義映射(f:S\toS)滿足(f(x)=x^2\modp)。（1）證明：存在(a\inS)，使得(f(a)=2)的充要條件是(p\equiv\pm1\mod8)；（2）構(gòu)造集合(T={x\inS\midf(x)=x}\cup{x\inS\midf(f(x))=x\text{且}f(x)\neqx})，求(|T|)。12.（本題滿分35分）給定正整數(shù)(n\geq2)，設(shè)(A={1,2,\dots,n})，(B={1,2,\dots,2n})，稱映射(g:A\toB)為“好映射”，若滿足：①對任意(i\inA)，(g(i)\neqi)；②對任意(i<j\inA)，(|g(i)-g(j)|\geq2)。（1）當(n=2)時，求“好映射”的個數(shù)；（2）對任意(n\geq2)，構(gòu)造一個“好映射”，并證明：“好映射”的個數(shù)不小于(2^{n-1})。三、附加題（本大題共2小題，每小題20分，共40分，不計入總分，供學有余力的學生選做）13.設(shè)(n)為正整數(shù)，(a_1,a_2,\dots,a_n)為非負整數(shù)，且(a_1+a_2+\dots+a_n=n)，定義(S=\sum_{1\leqi<j\leqn}|a_i-