2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽完全四邊形試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分）1.完全四邊形的基本構(gòu)成中，四條直線兩兩相交且無三線共點(diǎn)時(shí)，形成的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)答案：C解析：完全四邊形由四條直線組成，其中每兩條直線相交于一點(diǎn)，且無三線共點(diǎn)，因此共有(\binom{4}{2}=6)個(gè)交點(diǎn)，對應(yīng)四個(gè)三角形和三條對角線。2.在完全四邊形(ABCDEF)中（如圖1），若對角線(AD)被(BE)和(CF)調(diào)和分割，則以下結(jié)論正確的是（）A.(\frac{AG}{GD}=\frac{AH}{HD})（(G,H)為對角線交點(diǎn)）B.(\frac{AG}{AD}=\frac{AH}{AD})C.(\frac{AG}{GD}=\frac{AH}{HD}=1)D.(\frac{AG}{GD}+\frac{AH}{HD}=1)答案：A解析：完全四邊形的調(diào)和分割性質(zhì)指一條對角線被其余兩條對角線分成的兩段滿足調(diào)和比，即(\frac{AG}{GD}=\frac{AH}{HD})，其中(G,H)為(BE,CF)與(AD)的交點(diǎn)。3.完全四邊形的四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為（）A.外心B.內(nèi)心C.密克點(diǎn)D.費(fèi)馬點(diǎn)答案：C解析：完全四邊形的核心性質(zhì)之一是四個(gè)三角形的外接圓交于同一點(diǎn)，即密克點(diǎn)。該點(diǎn)具有多組等角關(guān)系，是幾何證明中的重要輔助點(diǎn)。4.已知完全四邊形中三個(gè)三角形的面積分別為(S_1=2)，(S_2=3)，(S_3=6)，則第四個(gè)三角形的面積為（）A.4B.5C.6D.9答案：D解析：完全四邊形中四個(gè)三角形的面積滿足(S_1\cdotS_3=S_2\cdotS_4)，代入得(2\times6=3\timesS_4)，解得(S_4=4)。5.在完全四邊形中，若一條對角線長為10，被另兩條對角線分成的兩段長分別為(x)和(10-x)，且滿足調(diào)和分割條件，則(x)的值可能為（）A.2和8B.3和7C.4和6D.5和5答案：A解析：調(diào)和分割要求(\frac{x}{10-x}=\frac{m}{n})（(m,n)為常數(shù)），當(dāng)(x=2)時(shí)，(\frac{2}{8}=\frac{1}{4})，滿足調(diào)和比定義。二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）6.完全四邊形中，四條直線形成的四個(gè)三角形的垂心共線，該直線稱為________。答案：垂心線7.若完全四邊形的密克點(diǎn)到某三角形兩邊的距離分別為3和4，則該點(diǎn)到第三邊的距離為________。答案：5解析：密克點(diǎn)的等角性質(zhì)可轉(zhuǎn)化為距離關(guān)系，滿足勾股定理(3^2+4^2=5^2)。8.在完全四邊形(ABCDEF)中，若(AB=3)，(BC=4)，(CD=5)，則(DE\cdotEF\cdotFA=)________。答案：60解析：完全四邊形的線段比例關(guān)系滿足(AB\cdotCD\cdotEF=BC\cdotDE\cdotFA)，代入得(3\times5\timesEF=4\timesDE\timesFA)，即(DE\cdotEF\cdotFA=3\times4\times5=60)。9.完全四邊形的三條對角線長度分別為(a,b,c)，若(a=5)，(b=12)，則(c)的最小值為________。答案：13解析：對角線滿足勾股定理時(shí)長度最小，即(c=\sqrt{a^2+b^2}=13)。10.若完全四邊形中某三角形的外接圓半徑為5，則密克點(diǎn)到該三角形外心的距離為________。答案：5解析：密克點(diǎn)與三角形外心的距離等于外接圓半徑。三、解答題（共4小題，每小題30分，共120分）11.（幾何證明）如圖2，在完全四邊形(ABCDEF)中，對角線(AD)與(BE)交于點(diǎn)(G)，(CF)與(AD)交于點(diǎn)(H)，求證：(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AH}=\frac{1}{AD})。證明：由完全四邊形的調(diào)和分割性質(zhì)，得(\frac{AG}{GD}=\frac{AH}{HD}=k)（(k)為常數(shù)）。設(shè)(AG=k\cdotGD)，(AH=k\cdotHD)，令(GD=m)，(HD=n)，則(AG=km)，(AH=kn)。由(AD=AG+GD=k(m+n))，得(\frac{1}{AG}=\frac{1}{km})，(\frac{1}{AH}=\frac{1}{kn})。因此(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AH}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right))。又由(AD=k(m+n))，得(\frac{1}{AD}=\frac{1}{k(m+n)})，即(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AH}=\frac{1}{AD})。12.（代數(shù)計(jì)算）在完全四邊形中，已知四個(gè)三角形的面積分別為(S_1=1)，(S_2=2)，(S_3=3)，(S_4=6)，對角線(AD)長為10，求(AG)和(GD)的長度（(G)為對角線交點(diǎn)）。解答：由面積關(guān)系(S_1\cdotS_3=S_2\cdotS_4)，驗(yàn)證(1\times3=2\times6)成立，滿足調(diào)和分割條件。設(shè)(AG=x)，(GD=10-x)，則(\frac{S_1}{S_2}=\frac{AG}{GD})，即(\frac{1}{2}=\frac{x}{10-x})。解得(x=\frac{10}{3})，因此(AG=\frac{10}{3})，(GD=\frac{20}{3})。13.（數(shù)論應(yīng)用）證明：完全四邊形的密克點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之積為完全平方數(shù)。證明：設(shè)密克點(diǎn)為(M)，四個(gè)頂點(diǎn)距離為(MA,MB,MC,MD)。由密克點(diǎn)的等角性質(zhì)，得(\angleMAB=\angleMCD)，(\angleMBA=\angleMDC)，故(\triangleMAB\sim\triangleMCD)。因此(\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD})，即(MA\cdotMD=MB\cdotMC)。兩邊平方得((MA\cdotMD)^2=(MB\cdotMC)^2)，即(MA\cdotMB\cdotMC\cdotMD=(MA\cdotMD)^2)，為完全平方數(shù)。14.（組合綜合）在完全四邊形中隨機(jī)選取3個(gè)頂點(diǎn)，求這3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率。解答：完全四邊形共有6個(gè)頂點(diǎn)，任選3個(gè)頂點(diǎn)的組合數(shù)為(\binom{6}{3}=20)。直角三角形的構(gòu)成需滿足：對角線交點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：共4個(gè)直角三角形；密克點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：共4個(gè)直角三角形；垂心線與邊的交點(diǎn)：共4個(gè)直角三角形?？傊苯侨切蝹€(gè)數(shù)為(4+4+4=12)，概率為(\frac{12}{20}=\frac{3}{5})。四、附加題（共20分）15.（開放探究）設(shè)計(jì)一個(gè)基于完全四邊形的物理模型，說明其在力學(xué)平衡中的應(yīng)用。解答：將完全四邊形的四個(gè)三角形視為輕質(zhì)桿連接的支架，密克點(diǎn)處懸掛重