2025年下學期高中數(shù)學競賽夏令營試卷一試（滿分120分，時間80分鐘）一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-10x+29}$，則$f(x)$的最小值為________。在等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，且$a_2,a_3+1,a_4$成等差數(shù)列，則數(shù)列${a_n}$的前6項和為________。若復數(shù)$z$滿足$|z-2i|=1$，則$|z+1|$的最大值為________。在三棱錐$P-ABC$中，$PA=PB=PC=2$，$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=60^\circ$，則三棱錐的體積為________。設$x,y$為正實數(shù)，且$x+2y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為________。從1,2,3,...,10中任取3個不同的數(shù)，記事件$A$為“這3個數(shù)成等差數(shù)列”，則$P(A)=$________。已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$，則橢圓的標準方程為________。設$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，當$x\geq0$時，$f(x)=x^2-2x$，則不等式$f(x-1)>0$的解集為________。二、解答題（本大題共3小題，滿分56分）（本題滿分16分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，$g(x)=\sinx\cosx$。（1）求$f(x)$的最大值及此時$x$的取值集合；（2）若$f(x)=2g(x)$，求$\tanx$的值。（本題滿分20分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n+1$。（1）證明：數(shù)列${a_n+n+2}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$。（本題滿分20分）已知拋物線$C:y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線$l$與拋物線交于$A,B$兩點，且$|AF|=2|BF|$。（1）求直線$l$的方程；（2）求$\triangleAOB$（$O$為坐標原點）的面積。加試（滿分200分，時間170分鐘）一、（本題滿分40分）如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中點，$E$是$\triangleABD$的外接圓上一點，且$AE\perpBE$。求證：$CE\perpDE$。二、（本題滿分40分）設$a,b,c$為正實數(shù)，且$a+b+c=3$。證明：$$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3$$三、（本題滿分50分）求所有正整數(shù)$n$，使得存在正整數(shù)$a_1,a_2,\ldots,a_n$，滿足：$$a_1+a_2+\cdots+a_n=2025$$且$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=1$$四、（本題滿分70分）在平面直角坐標系中，有$n$個點$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\ldots,P_n(x_n,y_n)$，其中$x_i,y_i\in{0,1}$。定義兩點$P_i,P_j$的距離為$d(P_i,P_j)=|x_i-x_j|+|y_i-y_j|$。若對任意$i\neqj$，均有$d(P_i,P_j)\geq2$，求$n$的最大值。參考答案及評分標準（以下為簡要提示，完整解析略）一試$5$（幾何意義：兩點間距離）$63$（公比$q=2$）$4$（幾何法：圓上點到定點距離）$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（構(gòu)造正方體）$3+2\sqrt{2}$（均值不等式）$\frac{1}{6}$（枚舉法）$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$（離心率公式）$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$（分段討論）（1）$\sqrt{2}$，${x|x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}}$；（2）$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$（1）提示：$a_{n+1}+(n+1)+2=2(a_n+n+2)$；（2）$S_n=2^{n+2}-\frac{n(n+5)}{2}-4$（1）$y=\pm2\sqrt{2}(x-1)$；（2）$3\sqrt{2}$加試一、提示：利用圓冪定理及等腰三角形性質(zhì)二、提示：柯