數(shù)列的概念選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練單元達(dá)標(biāo)學(xué)能測試一、數(shù)列的概念選擇題1．已知數(shù)列滿足，，則的值不可能是（）A．2 B．4 C．10 D．14答案：B解析：B【分析】先由題中條件，得到，由累加法得到，根據(jù)，，逐步計(jì)算出所有可能取的值，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，則，所以，，……，，以上各式相加可得：，所以，又，所以，則，因?yàn)?，，則，所以，則或，所以或；則或，所以或；則或或，所以或或；則或或，所以或或；……，以此類推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值為，所以所有可能取的值為，，，，，，，，，，；則所有可能取的值為，，，，，，，，，，，即ACD都有可能，B不可能.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于將題中條件平方后，利用累加法，得到，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值問題，再由條件，結(jié)合各項(xiàng)取值的規(guī)律，即可求解.2．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式及二次函數(shù)的知識(shí)可得數(shù)列的最大項(xiàng)．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項(xiàng)相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)，可知：當(dāng)或時(shí)，取得最小值．，，的最小值為．．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項(xiàng)公式，構(gòu)造新數(shù)列的方法，累乘法通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；3．已知數(shù)列則該數(shù)列中最小項(xiàng)的序號(hào)是（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A解析：A【分析】首先將化簡為，即可得到答案?！驹斀狻恳?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最小值。故選：A4．設(shè)表示的個(gè)位數(shù)字，則數(shù)列的第38項(xiàng)至第69項(xiàng)之和（）A．180 B．160 C．150 D．140答案：B解析：B【分析】根據(jù)題意可得為的個(gè)位數(shù)為的個(gè)位數(shù)，而的個(gè)位是以為周期，的個(gè)位數(shù)是以為周期，即可求和.【詳解】由為的個(gè)位數(shù)，可得為的個(gè)位數(shù)，而的個(gè)位是以為周期，的個(gè)位數(shù)是以為周期，所以的個(gè)位數(shù)是以為周期，即的個(gè)位數(shù)是以為周期，第38項(xiàng)至第69項(xiàng)共32項(xiàng)，共8個(gè)周期，所以.故選：B5．函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】先將函數(shù)化簡為，再解函數(shù)零點(diǎn)得或，，再求即可.【詳解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正數(shù)零點(diǎn)從小到大構(gòu)成數(shù)列為：故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是中檔題.6．設(shè)數(shù)列滿足若，則（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由題意有且，即可求，進(jìn)而可得，即可比較它們的大小.【詳解】由題意知：，，∴，而，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列間的遞推關(guān)系比較項(xiàng)的大小，屬于簡單題.7．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)T，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．若，則可以取3個(gè)不同的數(shù)；B．若，則數(shù)列是周期為3的數(shù)列；C．存在，且，數(shù)列是周期數(shù)列；D．對(duì)任意且，存在，使得是周期為的數(shù)列．答案：C解析：C【解析】試題分析：A:當(dāng)時(shí)，由得時(shí)，由得；時(shí)，得；正確.B:所以，正確．C：命題較難證明，先考察命題D．D：命題的否定為“對(duì)任意的，且，不存在，使得是周期為的數(shù)列”，而由B顯然這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，因此D正確，從而只有C是錯(cuò)誤．考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查周期數(shù)列的推導(dǎo)和應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．此題首先要理解新定義“周期為T的數(shù)列”，然后對(duì)A、B、C、D四個(gè)命題一一驗(yàn)證，A、B兩個(gè)命題按照數(shù)列的遞推公式進(jìn)行計(jì)算即可，命題C較難證明，但出現(xiàn)在選擇題中，考慮到數(shù)學(xué)選擇題中必有一個(gè)選項(xiàng)正確，因此我們先研究D命題，并且在命題D本身也很難的情況下，采取“正難則反”的方法，考慮命題D的否定，命題D的否定由命題B很容易得出是錯(cuò)誤的，從而命題D是正確的．8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和記為，，，，則（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019答案：A解析：A【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前8項(xiàng)，分析可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，進(jìn)而可得，計(jì)算即可得答案．【詳解】解：因?yàn)?，，，則，，，，，，…，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，因?yàn)椋裕蔬x：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析數(shù)列各項(xiàng)變化的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列命題錯(cuò)誤的是A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】，則，兩式相減得到A正確；由A選項(xiàng)得到==進(jìn)而得到B正確；同理可得到C錯(cuò)誤；由得到進(jìn)而D正確.【詳解】已知，則，兩式相減得到，故A正確；根據(jù)A選項(xiàng)得到==，故B正確；===，故C不正確；根據(jù)故D正確.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)題干中所給的條件進(jìn)行推廣，屬于中檔題，這類題目不是常規(guī)的等差或者等比數(shù)列，要善于發(fā)現(xiàn)題干中所給的條件，應(yīng)用選項(xiàng)中正確的結(jié)論進(jìn)行其它條件的推廣.10．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)的規(guī)律，可推出一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)所求數(shù)列為，可得出，，，，因此，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第10項(xiàng) B．第11項(xiàng) C．第12項(xiàng) D．第21項(xiàng)答案：B解析：B【分析】根據(jù)題中所給的通項(xiàng)公式，令，求得n=11，得到結(jié)果.【詳解】令，解得n=11，故是這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng).故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題目.12．對(duì)于實(shí)數(shù)表示不超過的最大整數(shù).已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．135 B．141 C．149 D．155答案：D解析：D【分析】利用已知數(shù)列的前項(xiàng)和求其得通項(xiàng)，再求【詳解】解：由于正項(xiàng)數(shù)列滿足，，所以當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，所以，所以，因?yàn)楦黜?xiàng)為正項(xiàng)，所以因?yàn)?,,,.所以，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列的已知前項(xiàng)和求通項(xiàng)，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.13．已知數(shù)列滿足:，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010答案：D解析：D【分析】根據(jù)題設(shè)條件，可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且，從而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列滿足:，，可得，可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，其中解答中得出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14．已知數(shù)列滿足，，若，則（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】由遞推公式得出，計(jì)算出，利用遞推公式推導(dǎo)得出（為正奇數(shù)），（為正偶數(shù)），利用定義判斷出數(shù)列和的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】，，，，且，.，則，則，如此繼續(xù)可得知，則，所以，數(shù)列單調(diào)遞增；同理可知，，數(shù)列單調(diào)遞減.對(duì)于A選項(xiàng)，且，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，且，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，則，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列不等式的判斷，涉及數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出數(shù)列和的單調(diào)性，考查推理能力，屬于難題.15．已知數(shù)列，3，，，…，，…，則是它的（）A．第8項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第10項(xiàng) D．第11項(xiàng)答案：D解析：D【解析】【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)字規(guī)律,可知為等差數(shù)列.利用等差數(shù)列性質(zhì)求得通項(xiàng)公式,即可判斷為第幾項(xiàng).【詳解】根據(jù)數(shù)列中的項(xiàng),都改成根式形式為,,,,…,,由前幾項(xiàng)可知,根式下的數(shù)列是以5為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列則根式下的數(shù)字組成的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為而所以解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危美奂臃纯膳袛郈，D的正誤．【詳解】對(duì)A，，，故A不正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，由，，解析：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C，D的正誤．【詳解】對(duì)A，，，故A不正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，由，，，…，，可得，故C正確；對(duì)D，該數(shù)列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是對(duì)CD的判斷，即要善于利用對(duì)所給式子進(jìn)行變形.17．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值 D．答案：ABD【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，∴，解得，故，故A正確；∵，，故有，故B正確；該數(shù)解析：ABD【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，∴，解得，故，故A正確；∵，，故有，故B正確；該數(shù)列的前項(xiàng)和，它的最值，還跟的值有關(guān)，故C錯(cuò)誤；由于，，故，故D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式進(jìn)行化簡，直接根據(jù)性質(zhì)判斷結(jié)果.18．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8答案：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因?yàn)?，所以?00的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知滿足題意.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.已知，則（）A． B． C． D．答案：AD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知得，進(jìn)而得，故，.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)樗愿鶕?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式得：，解方程組得：，所以，.故選：AD.解析：AD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知得，進(jìn)而得，故，.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)樗愿鶕?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式得：，解方程組得：，所以，.故選：AD.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，則（）A．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，B．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，C．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，D．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，答案：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項(xiàng)【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，；解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項(xiàng)【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，且，，同號(hào)，所以，，均大于零，故.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題21．定義為數(shù)列的“優(yōu)值”已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項(xiàng)和為，則（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．，，成等差數(shù)列答案：AC【分析】由題意可知，即，則時(shí)，，可求解出，易知是等差數(shù)列，則A正確，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，判斷C，D的正誤.【詳解】解：由，得，所以時(shí)，，得時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由解析：AC【分析】由題意可知，即，則時(shí)，，可求解出，易知是等差數(shù)列，則A正確，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，判斷C，D的正誤.【詳解】解：由，得，所以時(shí)，，得時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由知，滿足．所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)，所以，所以，故C正確．，，，故D錯(cuò)，故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問題，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解及前n項(xiàng)和的求解，難度一般.22．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值 D．當(dāng)時(shí)，n的最小值為22答案：AD【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷A，B；由二次函數(shù)的配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由解不等式可判斷D．【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，由，可解析：AD【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷A，B；由二次函數(shù)的配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由解不等式可判斷D．【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，由，可得，即，①由是與的等比中項(xiàng)，得，即，化為，②由①②解得，，則，，由，可得或11時(shí)，取得最大值110；由，解得，則n的最小值為22.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.23．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則（）A． B．C． D．答案：AC【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，所以，.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解能力.解析：AC【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，所以，.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解能力.24．首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題中正