2025年統(tǒng)計學(xué)專業(yè)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?是來自該總體的樣本，則以下關(guān)于樣本均值X?的敘述錯誤的是（）。A.X?是μ的無偏估計量B.X?的抽樣分布為N(μ,σ2/n)C.X?是σ2的無偏估計量D.當(dāng)n增大時，X?的方差減小2.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤的概率記為α，犯第二類錯誤的概率記為β，則以下說法正確的是（）。A.α增大，β必然增大B.α減小，β必然減小C.α和β不能同時減小D.降低α的方法之一是增加樣本量3.設(shè)X和Y是兩個隨機變量，若ρ(X,Y)=0.8，則說明（）。A.X和Y線性相關(guān)B.X和Y不相關(guān)C.X和Y可能線性相關(guān)，也可能不線性相關(guān)D.X和Y之間存在函數(shù)關(guān)系4.一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε~N(0,σ2)，則回歸系數(shù)β?的估計量b?是（）。A.樣本相關(guān)系數(shù)B.回歸系數(shù)的最小二乘估計C.樣本方差D.總體方差5.在單因素方差分析中，假設(shè)有k個水平，每個水平下重復(fù)試驗n次，則總平方和SST可以分解為（）。A.SSTR+SSEB.SSW+SSBC.SSTR+SSWD.SSB+SSE6.設(shè)時間序列{Y?}的差分序列{Y?-Y???}是平穩(wěn)白噪聲，則{Y?}可能是什么類型的序列（）。A.平穩(wěn)序列B.非平穩(wěn)序列C.季節(jié)性序列D.隨機游走序列7.從總體中抽取樣本進行抽樣調(diào)查，以下抽樣方法中，抽樣誤差最小的是（）。A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣8.在決策分析中，如果決策者的偏好可以用期望值來表示，那么他應(yīng)該選擇（）。A.最小最大后悔值B.最大期望收益C.最小期望損失D.等概率準(zhǔn)則9.線性規(guī)劃問題中，如果存在多個最優(yōu)解，則這些最優(yōu)解的集合構(gòu)成（）。A.等值線B.極點C.凸集D.線段10.用蒙特卡洛方法模擬一個隨機變量X的分布，需要先產(chǎn)生（）。A.樣本數(shù)據(jù)B.概率密度函數(shù)C.隨機數(shù)D.統(tǒng)計量二、填空題（每題2分，共10分）1.設(shè)X?,X?,...,X?是來自總體N(μ,σ2)的樣本，則μ的(1-α)置信區(qū)間為______。2.假設(shè)檢驗的臨界值取決于______和顯著性水平α。3.設(shè)變量X和Y的協(xié)方差為Cov(X,Y)=4，X的標(biāo)準(zhǔn)差σ?=2，Y的標(biāo)準(zhǔn)差σ<0xE1><0xB5><0xA3>=3，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)=______。4.在一元線性回歸分析中，檢驗回歸方程線性關(guān)系的統(tǒng)計量F服從______分布。5.設(shè)總體X的分布未知，但知道它是對稱的，則根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計總體均值時，最有效的估計量是______。三、計算題（每題10分，共30分）1.從正態(tài)總體N(50,100)中隨機抽取一個容量為36的樣本，樣本均值為54。檢驗假設(shè)H?:μ=50vsH?:μ≠50，采用顯著性水平α=0.05。請計算檢驗統(tǒng)計量的值，并判斷是否拒絕原假設(shè)。（假設(shè)總體方差已知）2.某公司想考察廣告投入與銷售額之間的關(guān)系，收集了以下數(shù)據(jù)（單位：萬元）：廣告投入X：2,4,5,6,8銷售額Y：30,40,60,50,70請建立Y關(guān)于X的一元線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義。3.某研究比較三種不同肥料對作物產(chǎn)量的影響，隨機選擇10塊土地進行試驗，每塊土地等分為三部分，分別施用三種肥料。試驗結(jié)果（單位：kg）如下：肥料A：15,18,16,20,17肥料B：19,21,20,22,18肥料C：14,16,15,17,13請進行單因素方差分析，檢驗三種肥料的產(chǎn)量是否有顯著差異。（顯著性水平α=0.05）四、應(yīng)用題（每題15分，共30分）1.某公司考慮投資兩個項目A和B，已知兩個項目的預(yù)期收益和概率如下：項目A：收益100萬元，概率0.7；收益50萬元，概率0.3項目B：收益80萬元，概率0.6；收益20萬元，概率0.4請計算兩個項目的期望收益和方差，并說明哪個項目風(fēng)險更小。2.某超市想要了解顧客對兩種品牌（品牌1和品牌2）的偏好，隨機調(diào)查了100名顧客，其中喜歡品牌1的有60人，喜歡品牌2的有50人，同時喜歡兩種品牌的有30人。請計算兩種品牌之間的交叉表，并分析兩種品牌的偏好是否存在關(guān)聯(lián)性。五、綜合題（20分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。已知產(chǎn)品重量的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.5kg?，F(xiàn)隨機抽取100件產(chǎn)品，樣本平均重量為148.5kg。請建立σ2的(1-α)置信區(qū)間，并解釋置信區(qū)間的含義。（顯著性水平α=0.05）試卷答案一、選擇題1.C2.A3.C4.B5.A6.A7.B8.B9.D10.C二、填空題1.(X?-t_(n-1,1-α/2)s/√n,X?+t_(n-1,1-α/2)s/√n)2.檢驗統(tǒng)計量3.0.84.F(1,n-2)5.樣本中位數(shù)三、計算題1.檢驗統(tǒng)計量z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(54-50)/(10/√36)=1.8。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到臨界值z_(α/2)=1.96。由于|1.8|<1.96，因此不拒絕原假設(shè)H?。解析思路：由于總體方差已知，采用Z檢驗。計算檢驗統(tǒng)計量z的值，與臨界值比較，根據(jù)比較結(jié)果做出統(tǒng)計決策。2.計算樣本均值和協(xié)方差：X?=5,?=50,Cov(X,Y)=110?；貧w系數(shù)b?=Cov(X,Y)/Var(X)=110/16=6.875，b?=?-b?X?=50-6.875*5=26.875。回歸方程為Y=26.875+6.875X。解析思路：根據(jù)最小二乘法原理計算回歸系數(shù)b?和b?，得到回歸方程。b?表示X每增加一個單位，Y平均增加b?個單位。3.計算各水平均值和總均值：ā=17,B=20,C=15,?=17.6。計算組內(nèi)平方和SSW=120.8，組間平方和SSTR=40.8。計算MSW=SSW/(15)=8.0533，MSB=SSTR/(2)=20.4。F=MSB/MSW=2.536。查F分布表，得到臨界值F_(α,k-1,n-k)=3.68。由于F<3.68，因此不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為三種肥料的產(chǎn)量沒有顯著差異。解析思路：進行單因素方差分析，計算組內(nèi)和組間平方和，得到均方和。計算F統(tǒng)計量，與臨界值比較，根據(jù)比較結(jié)果做出統(tǒng)計決策。四、應(yīng)用題1.期望收益E(A)=100*0.7+50*0.3=80，Var(A)=(100-80)2*0.7+(50-80)2*0.3=150；E(B)=80*0.6+20*0.4=56，Var(B)=(80-56)2*0.6+(20-56)2*0.4=384。項目A的期望收益更大，且方差更小，因此項目A風(fēng)險更小。解析思路：計算兩個項目的期望收益和方差。期望收益反映預(yù)期回報，方差反映風(fēng)險大小，方差越小，風(fēng)險越小。2.交叉表：||喜歡品牌2|不喜歡品牌2|合計||---------|----------|------------|------||喜歡品牌1|30|30|60||不喜歡品牌1|20|20|40||合計|50|50|100|計算卡方統(tǒng)計量χ2=Σ((O-E)2/E)，其中O為觀測值，E為期望值。E??=60*50/100=30,E??=60*50/100=30,E??=40*50/100=20,E??=40*50/100=20。χ2=((30-30)2/30+(30-30)2/30+(20-20)2/20+(20-20)2/20)=0。由于χ2<3.841，因此不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩種品牌的偏好沒有顯著關(guān)聯(lián)性。解析思路：根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)構(gòu)建交叉表，計算期望值。計算卡方統(tǒng)計量，與臨界值比較，根據(jù)比較結(jié)果做出統(tǒng)計決策，判斷兩種品牌的偏好是否存在關(guān)聯(lián)性。五、綜合題χ2=(n-1)S2/σ?2=(100-1)*1.52/1.52=99。查χ2分布表，得到臨界值χ2_(1-α/2,n-1)