五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08解三角形7種常見考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢知識(shí)1正余弦定理（5年5考）考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形2025·天津2025·全國二卷2024·天津2023·上海2023·天津2023·全國乙卷2022·天津2021·全國甲卷2021·上海2021·天津1.三角形正余弦定理求基本量運(yùn)算是高考必考知識(shí)點(diǎn)，邊角轉(zhuǎn)化，最值問題與不等式相結(jié)合等都是高考高頻考點(diǎn)2.解三角形在高考解答題中，周長面積問題是高考中常考題型，難度一般，容易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以及與三線相結(jié)合，注重常規(guī)方法以及常規(guī)技巧考點(diǎn)02正余弦定理綜合2024·全國甲卷2023·北京2022·全國乙卷考點(diǎn)03三角形的面積問題2025·全國一卷2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2022·浙江2021·全國乙卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點(diǎn)04三角形的周長問題2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·北京2022·全國乙卷2021·北京知識(shí)2解三角形的應(yīng)用（5年5考）考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用2025·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國甲卷2022·全國甲卷2021·浙江2021·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)06解三角形的最值問題2022·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)07解三角形的實(shí)際應(yīng)用2024·上海2021·全國甲卷2021·全國乙卷考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形1．（2025·全國二卷·高考真題）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由余弦定理直接計(jì)算求解即可.【詳析】由題意得，又，所以.故選：A2．（2021·全國甲卷·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D〖祥解〗利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【『點(diǎn)石成金』】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．3．（2023·上?！じ呖颊骖}）在中，已知，，，則．【答案】〖祥解〗先利用余弦定理求得，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得.【詳析】，A為的內(nèi)角，.故答案為:.【『點(diǎn)石成金』】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.4．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.5．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．6．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【詳析】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則（3）法一：因?yàn)?，且，所以，由?）法一知，因?yàn)椋瑒t，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以7．（2025·天津·高考真題）在中，角的對(duì)邊分別為．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進(jìn)而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【詳析】（1）已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.8．（2021·上海·高考真題）已知A、B、C為的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，﹒(1)若，求b、c；(2)若，求c．【答案】(1)1，；(2)﹒〖祥解〗(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得、的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【詳析】（1）∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．（2）∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．9．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）〖祥解〗（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳析】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.10．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【詳析】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)椋裕?，又，所以，，而，所以，故．考點(diǎn)02正余弦定理綜合11．（2024·全國甲卷·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳析】因?yàn)?，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.12．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.13．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．〖祥解〗（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．考點(diǎn)03三角形的面積問題14．（2021·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則．【答案】〖祥解〗由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳析】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.15．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.〖祥解〗（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳析】（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.16．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．〖祥解〗（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳析】（1）由于，，則．因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．17．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳析】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.18．（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．【答案】.〖祥解〗根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳析】因?yàn)?，所以．故答案為?19．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).〖祥解〗(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳析】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.20．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳析】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.21．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳析】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．22．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.〖祥解〗（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【詳析】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，此時(shí)，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則23．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).〖祥解〗（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳析】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.24．（2025·全國一卷·高考真題）已知的面積為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC〖祥解〗對(duì)由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確，方法一分情況比較和的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利用和差化積公式，回避討論過程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳析】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項(xiàng)正確；由誘導(dǎo)公式，，展開可得，即，下證.方法一：分類討論若，則可知等式成立；若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導(dǎo)出，則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：邊角轉(zhuǎn)化時(shí)，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）由，結(jié)合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，則，可同方法一種討論的角度，推出，方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：，可知同時(shí)為或者異號(hào)，即，展開可得，，即，結(jié)合和差化積，，由上述分析，，則，則，則，即，于是，可知.由，由，則，即，則，同理，由上述推導(dǎo)，，則，不妨設(shè)，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項(xiàng)正確由兩角和的正切公式可得，，設(shè)，則，由，則，則，于是，B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC考點(diǎn)04三角形的周長問題25．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳析】（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.26．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【詳析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為28．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14〖祥解〗（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳析】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6〖祥解〗（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.30．（2023·全國甲卷·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】〖祥解〗方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．【『點(diǎn)石成金』】本題壓軸相對(duì)比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．31．（2022·全國甲卷·高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】/〖祥解〗設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.32．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則，.【答案】〖祥解〗由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.33．（2025·北京·高考真題）在中，．(1)求c的值；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．【答案】(1)6(2)答案見解析〖祥解〗（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面積法求得高；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.【詳析】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理有，解得；?）如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，若選①，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋@表明此時(shí)三角形有兩個(gè)鈍角，而這是不可能的，所以此時(shí)三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由有，由正弦定理得,所以，所以由余弦定理得,此時(shí)三角形是存在的，且唯一確定，所以,即，所以邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可以唯一確定，進(jìn)一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，這表明此時(shí)三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.34．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)椋裕?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.考點(diǎn)06解三角形的最值問題35．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．〖祥解〗（1）方法一：直接根據(jù)待求表達(dá)式變形處理，方法二：先二倍角公式處理等式右邊，在變形，方法三：根據(jù)誘導(dǎo)公式可將題干同構(gòu)處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推知即可求解，方法四：根據(jù)半角公式和兩角差的正切公式化簡后求解.（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳析】（1）方法一：直接法可得，則，即，注意到，于是，展開可得，則，又，.方法二：二倍角公式處理+直接法因?yàn)?，即，而，所以；方法三：?dǎo)數(shù)同構(gòu)法根據(jù)可知，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，，故，結(jié)合，解得.方法四：恒等變換化簡，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，，則，結(jié)合，解得.（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．考點(diǎn)07解三角形的實(shí)際應(yīng)用36．（2021·全國乙卷·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A〖祥解〗利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【『點(diǎn)石成金』】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．37．（2021·全國甲卷·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B〖祥解〗通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【詳析】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【『點(diǎn)石成金』】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．38．（2024·上海·高考真題）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則(精確到0.1度)【答案】〖祥解〗設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.【詳析】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因?yàn)?，得，利用?jì)算器即可得，故答案為：.專題08解三角形7種常見考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢知識(shí)1正余弦定理（5年5考）考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形2025·天津2025·全國二卷2024·天津2023·上海2023·天津2023·全國乙卷2022·天津2021·全國甲卷2021·上海2021·天津1.三角形正余弦定理求基本量運(yùn)算是高考必考知識(shí)點(diǎn)，邊角轉(zhuǎn)化，最值問題與不等式相結(jié)合等都是高考高頻考點(diǎn)2.解三角形在高考解答題中，周長面積問題是高考中常考題型，難度一般，容易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以及與三線相結(jié)合，注重常規(guī)方法以及常規(guī)技巧考點(diǎn)02正余弦定理綜合2024·全國甲卷2023·北京2022·全國乙卷考點(diǎn)03三角形的面積問題2025·全國一卷2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2022·浙江2021·全國乙卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點(diǎn)04三角形的周長問題2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·北京2022·全國乙卷2021·北京知識(shí)2解三角形的應(yīng)用（5年5考）考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用2025·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國甲卷2022·全國甲卷2021·浙江2021·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)06解三角形的最值問題2022·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)07解三角形的實(shí)際應(yīng)用2024·上海2021·全國甲卷2021·全國乙卷考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形1．（2025·全國二卷·高考真題）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由余弦定理直接計(jì)算求解即可.【詳析】由題意得，又，所以.故選：A2．（2021·全國甲卷·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D〖祥解〗利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【『點(diǎn)石成金』】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．3．（2023·上?！じ呖颊骖}）在中，已知，，，則．【答案】〖祥解〗先利用余弦定理求得，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得.【詳析】，A為的內(nèi)角，.故答案為:.【『點(diǎn)石成金』】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.4．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.5．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．6．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【詳析】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則（3）法一：因?yàn)?，且，所以，由?）法一知，因?yàn)椋瑒t，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以7．（2025·天津·高考真題）在中，角的對(duì)邊分別為．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進(jìn)而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【詳析】（1）已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.8．（2021·上海·高考真題）已知A、B、C為的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，﹒(1)若，求b、c；(2)若，求c．【答案】(1)1，；(2)﹒〖祥解〗(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得、的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【詳析】（1）∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．（2）∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．9．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）〖祥解〗（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳析】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.10．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【詳析】（1）因?yàn)椋?，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)椋?，故，又，所以，，而，所以，故．考點(diǎn)02正余弦定理綜合11．（2024·全國甲卷·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳析】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.12．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳析】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，則，故，又，所以.故選：B.13．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．〖祥解〗（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．考點(diǎn)03三角形的面積問題14．（2021·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則．【答案】〖祥解〗由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳析】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.15．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.〖祥解〗（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳析】（1）因?yàn)椋瑒t，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.16．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．〖祥解〗（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳析】（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．17．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳析】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.18．（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．【答案】.〖祥解〗根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳析】因?yàn)?，所以．故答案為?19．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).〖祥解〗(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳析】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.20．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳析】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.21．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳析】（1）因?yàn)椋?，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．22．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.〖祥解〗（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【詳析】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）選擇①，則，因?yàn)?，則為銳角，則，此時(shí)，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則23．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).〖祥解〗（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳析】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.24．（2025·全國一卷·高考真題）已知的面積為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC〖祥解〗對(duì)由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確，方法一分情況比較和的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利用和差化積公式，回避討論過程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳析】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項(xiàng)正確；由誘導(dǎo)公式，，展開可得，即，下證.方法一：分類討論若，則可知等式成立；若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導(dǎo)出，則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：邊角轉(zhuǎn)化時(shí)，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）由，結(jié)合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，則，可同方法一種討論的角度，推出，方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：，可知同時(shí)為或者異號(hào)，即，展開可得，，即，結(jié)合和差化積，，由上述分析，，則，則，則，即，于是，可知.由，由，則，即，則，同理，由上述推導(dǎo)，，則，不妨設(shè)，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項(xiàng)正確由兩角和的正切公式可得，，設(shè)，則，由，則，則，于是，B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC考點(diǎn)04三角形的周長問題25．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳析】（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.26．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【詳析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為28．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14〖祥解〗（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳析】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6〖祥解〗（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.30．（2023·全國甲卷·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】〖祥解〗方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．【『點(diǎn)石成金』】本題壓軸相對(duì)比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．31．（2022·全國甲卷·高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】/〖祥解〗設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.32．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則，.【答案】〖祥解〗由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.33．（2025·北京·高考真題）在中，．(1)求c的值；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．【答案】(1)6(2)答案見解析〖祥解〗（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面積法求得高；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.【詳析】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理有，解得；?）如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，若選①，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，這表明此時(shí)三角形有兩個(gè)鈍角，而這是不可能的，所以此時(shí)三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由有，由正弦定理得,所以，所以由余弦定理得,此時(shí)三角形是存在的，且唯一確定，所以,即，所以邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可