高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列直線的傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中直線的斜率分別為，其中，，且，所以當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角最大.故選：D.2.已知向量，，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，且，所以，即，所以，解得，即．故選：A.3.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的半徑為（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】由，可得圓的圓心為.因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，圓心在直線上，則，解得，故圓，可化為，所以圓的半徑為.故選：A.4.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知可得，，所以向量在向量上的投影向量是，故選：D.5.已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A.6 B. C. D.3【答案】B【解析】，圓的半徑為，所以，故選：B.6.設(shè)點(diǎn)，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，直線的斜率，直線的斜率，所以當(dāng)直線與線段相交時(shí)，的斜率的取值范圍是.故選：D.7.已知為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，又在圓：上，故，即的方程為．故選：C.8.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形是圓柱的軸截面，為上底面圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為12.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，且直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則，B.方程（）表示的直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.，直線不可能與軸垂直D.直線的橫、縱截距相等【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以可化為，若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則即，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線方程可整理為，由得所以直線恒過(guò)定點(diǎn)2,1，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)與軸垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的橫、縱截距均為，故正確．故選：BD．10.已知圓，圓，且圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則（）A.過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)最短的直線方程為B.直線的方程為C.D.以線段為直徑的圓的方程為【答案】BCD【解析】圓，圓，所以圓心為，半徑為，圓心為，半徑為，點(diǎn)A0,-1在圓內(nèi)，當(dāng)弦與垂直時(shí)，所截得的弦最短，此時(shí)的直線方程為，A錯(cuò)誤；圓和圓的方程相減可得，所以直線的方程為，B正確；點(diǎn)到直線：的距離為，故，C正確；直線的斜率直線的方程為，即，與直線的方程為聯(lián)立可得的中點(diǎn)為，即圓心為原點(diǎn)半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足（，），下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則與垂直B.三棱錐的體積恒為C.若，，平面與平面夾角的余弦值為D.若，，則點(diǎn)到平面距離為【答案】ACD【解析】A．若，則點(diǎn)在上且不與重合，建立如下空間直角坐標(biāo)系：，，，，，，故A正確．B．由（，），可知點(diǎn)在平面上，則點(diǎn)到平面的距離恒為1，故三棱錐的體積恒為，故B錯(cuò)誤．C．若，，則為的中點(diǎn)，由上圖，則，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，則令，則，易知是平面的一個(gè)法向量，，故C正確．D．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足．若，，，四點(diǎn)共面，則______．【答案】3【解析】由題意知，，根據(jù)四點(diǎn)共面充要條件可得，解得．13.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由直線的斜率為，可得，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為.14.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，直線的斜率為，則______.【答案】【解析】由，可化為，則圓心，設(shè)圓的半徑為且，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為，不妨取直線的方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，又由，可得，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)是為的中點(diǎn).（1）求中線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程.解：（1）因?yàn)?，所以，故的方程是，即；?）因?yàn)橹本€的斜率，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，即.16.如圖，在四棱柱中，，，，，是線段上的點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與所成角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，即，所以，．?），，，，所以異面直線與所成角的余弦值為．17.已知直線過(guò)點(diǎn)且與圓相切.（1）求直線的方程；（2）若圓與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）可化為，即圓心為，半徑為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，成立，則點(diǎn)在圓上，點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為，所以直線的斜率為1，故直線的方程為，即.（2）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，由于該圓與軸相切，因此該圓的半徑為，所以該圓的方程是.因?yàn)樵搱A被直線截得的弦長(zhǎng)為，所以該圓圓心到直線的距離，由，解得.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．（1）證明：平面．（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，又平面，所以．因?yàn)椋?，平面，所以平面．?）解：在中，，．以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則取，得，所以點(diǎn)到平面的距離．（3）解：取為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．易知平面，平面BCD，所以，則．設(shè)，則，，因?yàn)?，平面平面，平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓：，直線：（），如圖，直線與圓相交于（在軸的上方），兩點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原軸負(fù)半軸，原軸正半軸，原軸正半軸所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）若．（ⅰ）求三棱錐的體積；（ⅱ）求二面角的余弦值．（2）是否存在，使得折疊后的長(zhǎng)度與折疊前的長(zhǎng)度之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）（?。┤?，折疊前直線的方程為，聯(lián)立，解得或，可得，，圓：，與軸交于兩點(diǎn)，則，折疊后三棱錐的體積為．（ⅱ）由（ⅰ）及已知，則，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以．易知為平面一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由題可知為銳角，所以故二面角的余弦值為．（2）設(shè)折疊前，，圓心到直線的距離，則，直線與圓方程聯(lián)立得，即，．設(shè)，在新圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．若折疊后的長(zhǎng)度與折疊前的長(zhǎng)度之比為，則，解得，故當(dāng)時(shí)，折疊后的長(zhǎng)度與折疊前的長(zhǎng)度之比為．廣西部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列直線的傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中直線的斜率分別為，其中，，且，所以當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角最大.故選：D.2.已知向量，，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，且，所以，即，所以，解得，即．故選：A.3.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的半徑為（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】由，可得圓的圓心為.因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，圓心在直線上，則，解得，故圓，可化為，所以圓的半徑為.故選：A.4.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知可得，，所以向量在向量上的投影向量是，故選：D.5.已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A.6 B. C. D.3【答案】B【解析】，圓的半徑為，所以，故選：B.6.設(shè)點(diǎn)，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，直線的斜率，直線的斜率，所以當(dāng)直線與線段相交時(shí)，的斜率的取值范圍是.故選：D.7.已知為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，又在圓：上，故，即的方程為．故選：C.8.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形是圓柱的軸截面，為上底面圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為12.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，且直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則，B.方程（）表示的直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.，直線不可能與軸垂直D.直線的橫、縱截距相等【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以可化為，若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則即，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線方程可整理為，由得所以直線恒過(guò)定點(diǎn)2,1，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)與軸垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的橫、縱截距均為，故正確．故選：BD．10.已知圓，圓，且圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則（）A.過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)最短的直線方程為B.直線的方程為C.D.以線段為直徑的圓的方程為【答案】BCD【解析】圓，圓，所以圓心為，半徑為，圓心為，半徑為，點(diǎn)A0,-1在圓內(nèi)，當(dāng)弦與垂直時(shí)，所截得的弦最短，此時(shí)的直線方程為，A錯(cuò)誤；圓和圓的方程相減可得，所以直線的方程為，B正確；點(diǎn)到直線：的距離為，故，C正確；直線的斜率直線的方程為，即，與直線的方程為聯(lián)立可得的中點(diǎn)為，即圓心為原點(diǎn)半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足（，），下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則與垂直B.三棱錐的體積恒為C.若，，平面與平面夾角的余弦值為D.若，，則點(diǎn)到平面距離為【答案】ACD【解析】A．若，則點(diǎn)在上且不與重合，建立如下空間直角坐標(biāo)系：，，，，，，故A正確．B．由（，），可知點(diǎn)在平面上，則點(diǎn)到平面的距離恒為1，故三棱錐的體積恒為，故B錯(cuò)誤．C．若，，則為的中點(diǎn)，由上圖，則，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，則令，則，易知是平面的一個(gè)法向量，，故C正確．D．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足．若，，，四點(diǎn)共面，則______．【答案】3【解析】由題意知，，根據(jù)四點(diǎn)共面充要條件可得，解得．13.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由直線的斜率為，可得，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為.14.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，直線的斜率為，則______.【答案】【解析】由，可化為，則圓心，設(shè)圓的半徑為且，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為，不妨取直線的方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，又由，可得，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)是為的中點(diǎn).（1）求中線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程.解：（1）因?yàn)?，所以，故的方程是，即；?）因?yàn)橹本€的斜率，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，即.16.如圖，在四棱柱中，，，，，是線段上的點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與所成角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，即，所以，．?），，，，所以異面直線與所成角的余弦值為．17.已知直線過(guò)點(diǎn)且與圓相切.（1）求直線的方程；（2）若圓與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）可化為，即圓心為，半徑為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，成立，則點(diǎn)在圓上，點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為，所以直線的斜率為1，故直線的方程為，即.（2）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，由于該圓與軸相切，因此該圓的半徑為，所以該圓的方程是.因?yàn)樵搱A被直線截得的弦長(zhǎng)為，所以該圓圓心到直線的距離，由，解得.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．（1）證明：平面．（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，且，平面，所以平面．?）解：在中，，．以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示