高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市水城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為集合，，所以，即集合中有2個元素.故選：B.2.下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（）A.零向量是任意直線的方向向量B.方向相同的兩個向量是相等向量C.空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底D.任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量【答案】D【解析】A選項，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，A錯誤；B選項，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤；C選項，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，C錯誤；D選項，任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，D正確.故選：D.3.已知一組數(shù)據(jù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C.6 D.7【答案】A【解析】的平均數(shù)為：，且，故這組數(shù)據(jù)的方差為：.故選：A.4.已知直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知直線的斜率，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故直線的傾斜角的取值范圍是，故選：C.5.如圖，在八面體中，平面均垂直于底面，且，則下列向量中與向量在平面上的投影向量相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取分別為的中點，連接，因，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，同理可得平面，所以向量在平面上的投影向量為，且.故選：.6.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，高為3，且該圓臺的體積為，則該圓臺的母線長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)圓臺較大的底面半徑為，較小的底面半徑為，則，解得，過點作垂直于點，則母線長，故選：C.7.在空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知在空間四邊形中，，，，且，，則，故選：D.8.把某種物體放在空氣中，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度滿足.將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度為的空氣中，要使兩塊物體的溫度之差不超過，至少要經(jīng)過（）(取:)A. B.C. D.【答案】B【解析】的物體經(jīng)過后的溫度為，的物體經(jīng)過后的溫度為，由題可得，，即，解得，所以要使兩塊物體的溫度之差不超過，至少要經(jīng)過，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱，，，F(xiàn)是棱的中點，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱，，，F(xiàn)是棱的中點，，所以，，，，所以A，D正確，B，C錯誤.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域為B.的值域為C.是偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對于選項A，由對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可得，函數(shù)的定義域即為的解集，解得，所以選項A正確；對于選項B，當(dāng)時，，于是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故選項B錯誤；對于選項C，由于函數(shù)定義域為，又，滿足偶函數(shù)的定義，所以選項C正確；對于選項D，當(dāng)時，由于為復(fù)合函數(shù)，設(shè)內(nèi)層函數(shù)，在上遞增，而外層函數(shù)也為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”可得，在上為增函數(shù)，故選項D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為B.的最小正周期為C.曲線關(guān)于直線軸對稱D.當(dāng)時，函數(shù)有個零點【答案】BC【解析】，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為，A選項錯誤；因為，的最小正周期均為，所以的最小正周期為，B選項正確；因為，所以曲線y=fx關(guān)于直線軸對稱，C選項正確；令，得，則，結(jié)合函數(shù)的圖象，可知方程在上有個不同的實根，D選項錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則的實部為______.【答案】【解析】因為，所以，所以的實部為.13.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，易經(jīng)八卦分別為乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌，現(xiàn)將乾?坤?巽三卦按任意次序排成一排，則乾?坤相鄰的概率為__________.【答案】【解析】將乾?坤?巽排成一排有：（乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽），（坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6種可能.乾?坤相鄰的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4種.所以乾?坤相鄰的概率為.14.已知向量，，則在方向上的投影向量的模為______.【答案】【解析】由題意，，則在方向上的投影向量的模為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知，，，判斷，，三點是否在同一條直線上；（2）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過，兩點，判斷與是否垂直.解：（1）因為A0,3，B4,0，所以，又直線均過點，所以點三點在同一條直線上；（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，因為直線經(jīng)過，兩點，所以，所以，所以與互相垂直.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）因為，由正弦定理可得，且，則，可得，即，所以.（2）因，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所以.17.如圖，在棱長均為1的四棱柱中，，設(shè)．（1）試用表示；（2）求的長度；（3）求直線與直線所成角的余弦值．解：（1）．（2）棱長均為1的四棱柱中，，，所以．（3），因為，所以直線與直線所成角的余弦值為．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）和不垂直，理由如下：設(shè)，則，在中，，所以為等邊三角形，所以，因為，，所以，從而，所以在直角中，，，又因為，所以，所以在中，滿足，故為直角三角形，則；又因為，，所以平面；因為，所以，所以，故以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.（2）由（1）可知，，，所以平面，故為平面的一個法向量；又，，設(shè)平面法向量，所以，即，取，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.19.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為底面內(nèi)一動點（包括邊界），且滿足.（1）是否存在點，使得平面？（2）求的取值范圍.（3）求點到直線的距離的最小值.解：（1）如圖，以為原點，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)，所以，又，所以，即，所以，設(shè)存在點，使得平面，則，解得，則，則，所以存在點，使得平面（2）由（1）知，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以的取值范圍是.（3）由（1）知點滿足，取中點，則點軌跡為線段，所以點到直線的距離的最小值就是異面直線與的距離，，，，，，設(shè)，，則，可取，又，點到直線的距離的最小值.貴州省六盤水市水城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為集合，，所以，即集合中有2個元素.故選：B.2.下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（）A.零向量是任意直線的方向向量B.方向相同的兩個向量是相等向量C.空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底D.任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量【答案】D【解析】A選項，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，A錯誤；B選項，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤；C選項，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，C錯誤；D選項，任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，D正確.故選：D.3.已知一組數(shù)據(jù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C.6 D.7【答案】A【解析】的平均數(shù)為：，且，故這組數(shù)據(jù)的方差為：.故選：A.4.已知直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知直線的斜率，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故直線的傾斜角的取值范圍是，故選：C.5.如圖，在八面體中，平面均垂直于底面，且，則下列向量中與向量在平面上的投影向量相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取分別為的中點，連接，因，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，同理可得平面，所以向量在平面上的投影向量為，且.故選：.6.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，高為3，且該圓臺的體積為，則該圓臺的母線長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)圓臺較大的底面半徑為，較小的底面半徑為，則，解得，過點作垂直于點，則母線長，故選：C.7.在空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知在空間四邊形中，，，，且，，則，故選：D.8.把某種物體放在空氣中，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度滿足.將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度為的空氣中，要使兩塊物體的溫度之差不超過，至少要經(jīng)過（）(取:)A. B.C. D.【答案】B【解析】的物體經(jīng)過后的溫度為，的物體經(jīng)過后的溫度為，由題可得，，即，解得，所以要使兩塊物體的溫度之差不超過，至少要經(jīng)過，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱，，，F(xiàn)是棱的中點，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱，，，F(xiàn)是棱的中點，，所以，，，，所以A，D正確，B，C錯誤.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域為B.的值域為C.是偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對于選項A，由對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可得，函數(shù)的定義域即為的解集，解得，所以選項A正確；對于選項B，當(dāng)時，，于是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故選項B錯誤；對于選項C，由于函數(shù)定義域為，又，滿足偶函數(shù)的定義，所以選項C正確；對于選項D，當(dāng)時，由于為復(fù)合函數(shù)，設(shè)內(nèi)層函數(shù)，在上遞增，而外層函數(shù)也為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”可得，在上為增函數(shù)，故選項D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為B.的最小正周期為C.曲線關(guān)于直線軸對稱D.當(dāng)時，函數(shù)有個零點【答案】BC【解析】，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為，A選項錯誤；因為，的最小正周期均為，所以的最小正周期為，B選項正確；因為，所以曲線y=fx關(guān)于直線軸對稱，C選項正確；令，得，則，結(jié)合函數(shù)的圖象，可知方程在上有個不同的實根，D選項錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則的實部為______.【答案】【解析】因為，所以，所以的實部為.13.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，易經(jīng)八卦分別為乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌，現(xiàn)將乾?坤?巽三卦按任意次序排成一排，則乾?坤相鄰的概率為__________.【答案】【解析】將乾?坤?巽排成一排有：（乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽），（坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6種可能.乾?坤相鄰的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4種.所以乾?坤相鄰的概率為.14.已知向量，，則在方向上的投影向量的模為______.【答案】【解析】由題意，，則在方向上的投影向量的模為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知，，，判斷，，三點是否在同一條直線上；（2）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過，兩點，判斷與是否垂直.解：（1）因為A0,3，B4,0，所以，又直線均過點，所以點三點在同一條直線上；（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，因為直線經(jīng)過，兩點，所以，所以，所以與互相垂直.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）因為，由正弦定理可得，且，則，可得，即，所以.（2）因，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所以.17.如圖，在棱長均為1的四棱柱中，，設(shè)．（1）試用表示；（2）求的長度；（3）求直線與直線所成角的余弦值．解：（1）．（2）棱長均為1的四棱柱中，，，所以．（3），因為，所以直線與直線所成角的余弦值為．18.