高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市固始縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，且，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以．故選：C．2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長是（）A.10 B.12 C.16 D.20【答案】D【解析】由題意得，由橢圓定義可知，，所以的周長為.故選：D．3.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由于線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，由解得，則，而，所以，，兩邊除以得，解得或（舍去）.故選：D．4.已知直線l：的傾斜角為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率，所以，解得.故選：C．5.已知在四面體中，，，，，為BC的中點(diǎn)，若.則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因?yàn)?，為BC的中點(diǎn)，所以，又，則，，，所以.故選：B.6.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋硎镜近c(diǎn)和的距離之和.又在直線上，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以，所求最小值為：.故選：B．7.年月我校組織年校慶活動，有甲、乙、丙名志愿者負(fù)責(zé)、、、等個(gè)任務(wù)．每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)任務(wù)的分配方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】因任務(wù)有個(gè)，人只有三個(gè)，結(jié)合題意可知有人負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù).若甲負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；若甲負(fù)責(zé)個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；綜上，滿足題意的分配方法共有種.故選：C.8.過雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，漸近線方程為.因?yàn)椋灾本€的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)椋?，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.已知圓，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心距為，解得，故C正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，，故D正確．故選：BCD．10.已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則是兩條直線B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是橢圓D.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上【答案】AD【解析】對于A：若，，則曲線：，即，表示兩條平行于軸的直線，故A正確；對于B：若，方程化為，則是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)，時(shí)滿足，但是曲線：表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故C錯(cuò)誤；對于D：若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故D正確；故選：AD．11.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D.當(dāng)時(shí)，平面【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在上，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點(diǎn)到平面距離為定值，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以且，，即，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故在線段上，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則，即，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．【答案】【解析】方程可化，所以是以為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)，與的距離是，所以的最小值是.13.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為______.【答案】4【解析】根據(jù)橢圓定義可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面積為.14.已知直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，又，兩式相減，得，即，整理得，直線的方程為，化簡得，故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）計(jì)算：；（2）若，則x的值為_____；（3）若，求正整數(shù)n．解：（1）.（2）依題意，，則，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16．已知直線與直線．（1）若，求m的值；（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程．解：（1）因?yàn)?，所以，且，由，得，解得或（舍去），所?（２）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線的方程為或.17.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．（1）寫出橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）求的面積．解：（1）橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，所以，離心率.（2）由（1）知，直線的方程為，由消去得：，解得，所以的面積.18.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)的直線與拋物線相切，且切點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線C上的點(diǎn)．（1）求直線的方程；（2）若直線不與軸垂直，點(diǎn)在軸上，軸，．若直線QP與拋物線和直線分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：．解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則，所以拋物線的方程為，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，因?yàn)橹本€與拋物線相切，則聯(lián)立得，，由解得，，所以直線的方程為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，滿足過點(diǎn)的直線與拋物線相切，故過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為或（2）因?yàn)橹本€不與軸垂直，則直線的方程為，根據(jù)題意如圖所示：由得，因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線C上的點(diǎn)，設(shè)，由，則為的中點(diǎn)，則，因?yàn)檩S，且直線QP與拋物線和直線分別交于M，N兩點(diǎn)，則得，由得，由，所以為的中點(diǎn)，即.19.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：在中，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）解：由（1）可得，，又，所以，，兩兩垂直，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）解：假設(shè)存在，設(shè)，則，所以，設(shè)平面DHP的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，即，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，所以，即，令，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或（舍），所以存在點(diǎn)，使得滿足要求，此時(shí)，即.河南省信陽市固始縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以．故選：C．2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長是（）A.10 B.12 C.16 D.20【答案】D【解析】由題意得，由橢圓定義可知，，所以的周長為.故選：D．3.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由于線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，由解得，則，而，所以，，兩邊除以得，解得或（舍去）.故選：D．4.已知直線l：的傾斜角為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率，所以，解得.故選：C．5.已知在四面體中，，，，，為BC的中點(diǎn)，若.則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因?yàn)椋瑸锽C的中點(diǎn)，所以，又，則，，，所以.故選：B.6.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，表示到點(diǎn)和的距離之和.又在直線上，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以，所求最小值為：.故選：B．7.年月我校組織年校慶活動，有甲、乙、丙名志愿者負(fù)責(zé)、、、等個(gè)任務(wù)．每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)任務(wù)的分配方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】因任務(wù)有個(gè)，人只有三個(gè)，結(jié)合題意可知有人負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù).若甲負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；若甲負(fù)責(zé)個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；綜上，滿足題意的分配方法共有種.故選：C.8.過雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，漸近線方程為.因?yàn)椋灾本€的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.已知圓，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心距為，解得，故C正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，，故D正確．故選：BCD．10.已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則是兩條直線B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是橢圓D.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上【答案】AD【解析】對于A：若，，則曲線：，即，表示兩條平行于軸的直線，故A正確；對于B：若，方程化為，則是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)，時(shí)滿足，但是曲線：表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故C錯(cuò)誤；對于D：若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故D正確；故選：AD．11.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D.當(dāng)時(shí)，平面【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在上，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點(diǎn)到平面距離為定值，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以且，，即，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故在線段上，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則，即，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．【答案】【解析】方程可化，所以是以為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)，與的距離是，所以的最小值是.13.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為______.【答案】4【解析】根據(jù)橢圓定義可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面積為.14.已知直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，又，兩式相減，得，即，整理得，直線的方程為，化簡得，故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）計(jì)算：；（2）若，則x的值為_____；（3）若，求正整數(shù)n．解：（1）.（2）依題意，，則，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16．已知直線與直線．（1）若，求m的值；（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程．解：（1）因?yàn)?，所以，且，由，得，解得或（舍去），所?（２）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線的方程為或.17.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．（1）寫出橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）求的面積．解：（1）橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，所以，離心率.（2）由（1）知，直線的方程為，由消去得：，解得，所以的面積