2025年下學期初中數(shù)學基本國際學校競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）若方程(x^2-3x+2=0)的兩根為(a)、(b)，則代數(shù)式(a^2+b^2-ab)的值為（）A.3B.5C.7D.9已知(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，設(\sinA=m)，(\cosB=n)，則(m)與(n)的大小關系為（）A.(m>n)B.(m=n)C.(m<n)D.以上情況都有可能下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.等腰梯形C.平行四邊形D.菱形已知(x+\frac{1}{x}=3)，那么代數(shù)式(x^4+\frac{1}{x^4})的值是（）A.47B.49C.51D.53如圖1，梯形(ABCD)中，(AD\parallelBC)，(CD)平分(\angleBCD)，且(AB\perpCD)，(BC=10)厘米，(AD=4)厘米，則梯形的面積是（）A.28平方厘米B.30平方厘米C.32平方厘米D.34平方厘米已知當(x=2)時，代數(shù)式(ax^3+bx+1)的值為5，則當(x=-2)時，代數(shù)式的值為（）A.-5B.-3C.-1D.1若關于(x)的方程(|x^2-4x+3|=m)有三個解，則(m)的值為（）A.0B.1C.2D.3某國際學校采用學分制收費，學生每學期基礎學費為8000元，額外選修課程按學分收費，標準如下：前10學分每學分100元，11-20學分每學分150元，21學分及以上每學分200元。若某學生本學期繳納學費11500元，則他選修的學分數(shù)為（）A.20B.25C.30D.35二、填空題（共8小題，每小題5分，滿分40分）方程(\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1)的解為______。如圖2，在高為2米，坡角為(30^\circ)的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需______米（精確到0.1米，(\sqrt{3}\approx1.732)）。已知(x)為實數(shù)，則代數(shù)式(x^2-4x+5)的最小值為______。若(\sqrt{5})與(\sqrt{7})的小數(shù)部分分別為(a)與(b)，則(a+b=)______。已知(n^2+2025)是完全平方數(shù)，則自然數(shù)(n)的值為______。已知多項式(x^2+ax-12)能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，則符合條件的整數(shù)(a)的個數(shù)為______。已知(\odotO)內(nèi)有一點(M)，過點(M)作圓的弦，在所有的弦中，最長的弦的長度為10cm，最短的弦的長度為8cm，則點(M)與圓心(O)的距離為______cm。一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是______。三、解答題（共5小題，滿分70分）9.（本題滿分12分）下面有一個圓，但沒有標出圓心，請你用直尺和圓規(guī)確定這個圓的圓心（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）。10.（本題滿分14分）已知關于(x)的一元二次方程(x^2+(m+1)x+m+4=0)的兩個整數(shù)根恰好比方程(x^2-mx+n=0)的兩個根都大1，求(m)和(n)的值。11.（本題滿分14分）如圖3，點(H)為(\triangleABC)的垂心，以(AB)為直徑的(\odotO_1)和(\triangleBCH)的外接圓(\odotO_2)相交于點(D)，延長(AD)交(CH)于點(P)，求證：點(P)為(CH)的中點。12.（本題滿分15分）某國際學校組織學生參加數(shù)學建模競賽，現(xiàn)有A、B兩個問題可供選擇。已知：選擇問題A并成功解決的概率為0.6，可獲得獎金1000美元選擇問題B并成功解決的概率為0.4，可獲得獎金2000美元若未成功解決問題，將扣除200美元報名費(1)若只選擇一個問題，從期望收益角度分析應選擇哪個問題？(2)若可以先嘗試解決問題A，若成功則再嘗試問題B；若失敗則不再嘗試，求這種策略的期望收益。13.（本題滿分15分）在平面直角坐標系中，已知點(A(0,2))，(B(4,0))，(C(6,4))，(D(2,6))。(1)求證：四邊形(ABCD)是菱形；(2)點(P)是線段(AC)上一動點，當(PB+PD)取得最小值時，求點(P)的坐標；(3)在四邊形(ABCD)內(nèi)是否存在點(Q)，使得(\angleAQB=\angleCQD=90^\circ)？若存在，求出點(Q)的軌跡方程；若不存在，說明理由。四、創(chuàng)新應用題（共2小題，滿分30分）14.（本題滿分15分）國際學校數(shù)學俱樂部計劃設計一個"數(shù)學文化"主題展覽，需要制作一批正多面體模型。現(xiàn)有邊長為10cm的正方體塑料塊若干：(1)若要制作一個正四面體模型，棱長為5cm，至少需要多少塊正方體塑料塊？(2)若要用一塊正方體塑料塊加工成一個盡可能大的正八面體模型，求這個正八面體的體積與原正方體體積之比；(3)請你設計一種由正四面體和正八面體組合而成的空間幾何體，使其有12個頂點，18條棱，并計算其面數(shù)。15.（本題滿分15分）某國際學校有來自5個不同國家的學生，學校計劃組織一次"國際數(shù)學文化節(jié)"，需要從這些學生中選拔10名志愿者，要求：每個國家至少有1名志愿者來自亞洲國家的志愿者人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的一半來自歐美國家的志愿者人數(shù)不少于亞洲國家的志愿者人數(shù)(1)若5個國家中2個亞洲國家，3個歐美國家，共有多少種不同的選拔方案？(2)若志愿者服務分為"活動組織"、"翻譯服務"、"文化展示"三個小組，每組至少2人，有多少種不同的分組方法？(3)在(2)的條件下，若來自同一國家的學生不能全部分在同一小組，有多少種不同的分組方法？五、開放探究題（共1小題，滿分20分）16.（本題滿分20分）在數(shù)學史上，不同文明對幾何學的發(fā)展做出了重要貢獻。(1)古埃及人在測量土地時發(fā)現(xiàn)："一個三角形的面積等于底乘以高的一半"。請用坐標法證明這個結(jié)論。(2)古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中提出了"勾股定理"。請用兩種不同方法證明勾股定理。(3)中國古代數(shù)學家劉徽發(fā)明了"割圓術"計算圓周率。請用現(xiàn)代極限思想解釋"割圓術"的原理，并設計一個用計算機計算圓周率的算法（用偽代碼表示）。(4)現(xiàn)代分形幾何中，科赫雪花曲線是一種重要的分形圖形。請描述科赫雪花曲線的構(gòu)造過程，并計算其分形維數(shù)。六、英文數(shù)學題（共2小題，滿分20分）17.（本題滿分10分）Inainternationalschool,theratioofboystogirlsis3:2.If20%oftheboysand30%ofthegirlstakepartinthemathcompetition,whatpercentageofthetotalstudentstakepartinthecompetition?18.（本題滿分10分）Asequenceisdefinedby(a_1=1),(a_2=2),andfor(n\geq3),(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}).Findthesumofthefirst20termsofthissequence,anddeterminehowmanyofthesetermsaredivisibleby3.七、團隊合作題（共1小題，滿分30分）19.（本題滿分30分）Ateamof4studentsistaskedwithdesigningamathematicalmodelforaschoolgarden.Thegardenisarectangularareaof100squaremeters,andneedstoinclude:Acircularflowerbedwithradiusatleast1meterArectangularvegetableplotwithareaatleast20squaremetersApathofuniformwidtharoundtheflowerbed(1)Establishacoordinatesystemanddefinevariablesforthedesignparameters.(2)Formulateconstraintsbasedonthegivenrequirements.(3)Developanobjectivefunctiontominimizethetotalcost,assumingthecostoftheflowerbedis$50persquaremeter,thevegetableplotis$30persquaremeter,andthepathis$20persquaremeter.(4)Usecalculusorgeometricmethodstofindtheoptimaldesign.(5)Presentyoursolutionwithdiagramsandexplainhowitbalancesaestheticandfun